Distribuzione di variabile Uniforme trasformata

Sia data la variabile casuale X con distribuzione uniforme sull’intervallo [-3,1]. Calcolare la distribuzione e la media della variabile Y=g(x) con g definita come
\[g(x)=\begin{cases}
2x+3 & x\leq -1\\
-x & x > -1\end{cases}\]

Soluzione

Dato che \(X\) ha distribuzione uniforme in [-3,1], la sua funzione di ripartizione è
\(F_x(x)=P(X\leq x)=\begin{cases}
0 & x\leq -3\\
\frac{x+3}{4} & -3 < x < 1\\
1 & x\geq 1\end{cases}\)

Troviamo la distribuzione di Y calcolando la funzione di ripartizione mediante la definizione:
per \(-3 < x\leq -1\) si ha:
\(\begin{eqnarray}
F_y(y)&=&P(Y\leq y)=P(2X+3\leq y)=P\left(X\leq\frac{y-3}{2}\right)\\
&=&F_x\left(\frac{y-3}{2}\right)=\frac{\frac{y-3}{2}+3}{4}=\\
&=&\frac{y+3}{8}\end{eqnarray}\)

per \(-1 < x < 1\) si ha:
\(\begin{eqnarray}
F_y(y)&=&P(Y\leq y)=P(-X\leq y)=P(X\geq y)\\
&=&1-P(X < y)=1-\frac{y+3}{4}=\frac{1-y}{4}\end{eqnarray}\)

In definitiva abbiamo
\(F_y(y)=\begin{cases}
0 & x\leq -3\\
\frac{y+3}{8} & -3 < x\leq -1\\
\frac{1-y}{4} & -1 < x < 1\\
1 & x\geq 1\end{cases}\)

la cui derivata è la funzione di densità:

\(f_y(y)=\begin{cases}
\frac{1}{8} & -3\leq x < -1\\
-\frac{1}{4} & -1\leq x < 1\end{cases}\)

Il valore atteso si calcola pure mediante la defizione:

\(E(Y)=\int_{-3}^{-1}\frac{1}{8}y\ dy+\int_{-1}^{1}-\frac{1}{4}y\ dy=-\frac{1}{2}\)

A cura di Samuel Leanza