Calcolo probabilità mediante conteggio delle disposizioni con ripetizione

Si vuole riservare l’accesso ad un certo servizio a M=100 utenti, a ciascuno dei quali viene assegnata una diversa password formata da n cifre decimali (le password sono cioè stringhe lunghe n in cui ciascun elemento è un numero da 0 a 9). Sia p la probabilità di trovare una password al generico tentativo sciegliendo una stringa. Qual è il minimo valore di n tale per cui \(p < 10^{-2}\)?

1. 5
2. 2
3. 4
4. 3

Soluzione
La probabilità p generica di trovare una delle 100 password (degli studenti) scegliendo tra tutte le possibili stringhe di n numeri da 0 a 9 che si possono formare è data dal rapporto
\[p=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{100}{10^{n}}=10^{2-n}\]

Il numero di casi possibili non sono altro che le disposizioni con ripetizione di 10 oggetti (cifre da 0 a 9) in n posti.
Per rispondere alla richiesta, dobbiamo risolvere la seguente disequazione nella variabile n:

\[\begin{eqnarray*}
p &<& 10^{-2}\\
10^{2-n} &<& 10^{-2}\\
2-n && 4\end{eqnarray*}\]

Poichè n è intero, il minimo valore che soddisfa la disequazione è n=5.