Integrali definiti – Batteria 2

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{x-1}{x^{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{x}{x^{2}}dx-\int\frac{1}{x^{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln x+\frac{1}{x}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=F\left(e\right)-F\left(1\right) \] \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=\left(\ln e+\frac{1}{e}+C\right)-\left(\ln1+1+C\right) \] \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=1+\frac{1}{e}+C-0-1-C=\frac{1}{e} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{1}^{e}\frac{x-1}{x^{2}}dx=\frac{1}{e} \] […]

Integrali definiti – Batteria 5

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx \] Soluzione Calcoliamo per parti l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\arcsin xdx \] \[ f\left(x\right)=\arcsin x\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g’\left(x\right)=1\rightarrow g\left(x\right)=x \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\frac{1}{2}\int-2x\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ […]

Integrali definiti – Batteria 4

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}dx \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2} \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(A+B\right)x+2A+3B}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ 2A+3B=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} A=-1\\ B=+1 \end{array}\right. \] \[ F\left(x\right)=-\int\frac{1}{x+3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln\left|\frac{x+2}{x+3}\right|+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero […]

Integrali definiti – Batteria 3

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx+\int\frac{1}{\sin^{2}x}dx \] \[ F\left(x\right)=\tan x-co\tan x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=F\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\left(\frac{\pi}{6}\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\left(\tan\frac{\pi}{3}-co\tan\frac{\pi}{3}+C\right)-\left(\tan\frac{\pi}{6}-co\tan\frac{\pi}{6}+C\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3} \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\frac{4\sqrt{3}}{3} \] Esercizio […]

Calcolo di integrali definiti

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali definiti: Calcolo di integrali definiti – Batteria 1 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 2 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 3 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 4 (3 esercizi svolti)Calcolo di integrali definiti – Batteria 5 (3 esercizi svolti)

Integrali definiti

L’integrale definito permette di calcolare, nel caso di una funzione di una sola variabile, l’area compresa tra il suo grafico e l’asse delle x, entro un dato intervallo nel dominio. Formulari sugli integrali definiti: Integrali definiti e loro proprietà – Formulario Esercizi svolti sugli integrali definiti: Calcolo di integrali definiti (15 esercizi svolti) Integrali definiti […]

Integrali definiti – Batteria 1

Calcolare i seguenti integrali definiti: Esercizio 1 \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(3x^{2}-x+2\right)dx=x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+2x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx=F\left(1\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx=\left(1^{3}-\frac{1^{2}}{2}+2\cdot1+C\right)-\left(0^{3}-\frac{0^{2}}{2}+2\cdot0+C\right) \] \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx=1-\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{1}\left(3x^{2}-x+2\right)dx=\frac{5}{2} \] Esercizio 2 \[ \int_{-\frac{1}{2}}^{1}\left(3x^{3}-4x^{2}+3x-1\right)dx \] Soluzione Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(3x^{3}-4x^{2}+3x-1\right)dx=\frac{3}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+C \] […]

Integrali definiti e loro proprietà – Formulario

Formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] Area della regione di piano compresa tra le curve di due funzioni: \[ S=\int_{a}^{b}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx \] Teorema della media (calcolo del valore medio di una funzione in un intervallo del suo dominio): \[ V_{m}=\frac{\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx}{b-a} \] Volume dei solidi di rotazione: \[ V=\pi\int_{a}^{b}\left[f\left(x\right)\right]^{2}dx \] Altre proprietà degli integrali definiti: […]

Esercizi di riepilogo sulle derivate – Batteria 1

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\left\{ \left[\frac{1}{2\sqrt{2-x^{2}}}\cdot\left(-2x\right)\right]\cdot x-\sqrt{2-x^{2}}\cdot1\right\} \cdot\frac{1}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=\left(-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}-\sqrt{2-x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}} \] […]

Esercizi di riepilogo sulle derivate – Batteria 2

Ricordando le derivate fondamentali, applicando i teoremi sul calcolo della derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili, e/o applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte o le regole che ne conseguono, calcolare le derivate delle seguenti funzioni: Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\ln\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2} \] Soluzione \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{\left(2\sin x+\sin2x\right)^{2}}\cdot2\left(2\sin x+\sin2x\right)\cdot\left(2\cos x+2\cos2x\right) \] \[ f’\left(x\right)=\frac{2\cdot2\left(\cos […]