Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int e^{3x-1}dx \] Ponendo \[ t=3x-1 \] ricaviamo x: \[ x=\frac{1+t}{3} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}\rightarrow dx=\frac{1}{3}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int e^{3x-1}dx=\int e^{t}\cdot\frac{1}{3}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}\int e^{t}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{t}+C \] Risulta quindi: \[ \int […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\tan^{4}xdx \] Ponendo \[ t=\tan x \] ricaviamo x: \[ x=\arctan t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^{2}}\rightarrow dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\tan^{4}xdx=\int\frac{t^{4}}{1+t^{2}}dt \] Dividiamo \[ t^{4}:\left(t^{2}+1\right) \] ottenendo quoziente \[ Q\left(x\right)=t^{2}-1 \] e resto \[ R\left(x\right)=1 \] […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}} \] Ponendo \[ t=\sqrt{x+2} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2}-2 \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\int\frac{2tdt}{t^{2}-2-t} \] \[ \int\frac{dx}{x-\sqrt{x+2}}=\int\frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}dt \] Ricaviamo A e B tali che \[ \frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t-2} \] \[ \frac{2t}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)}=\frac{\left(A+B\right)t-2A+B}{\left(t+1\right)\left(t-2\right)} \] \[ […]

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti con il metodo di integrazione per sostituzione: Integrali per sostituzione – Batteria 1 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 2 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 3 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 4 (3 esercizi svolti)Integrali per sostituzione – Batteria 5 (3 esercizi svolti)

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx \] Ponendo \[ t=e^{x} \] ricaviamo x: \[ x=\ln t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\rightarrow dx=\frac{1}{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{1+t}\cdot\frac{1}{t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{t\left(t+1\right)}dt \] Cerchiamo ora A e B tali che \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1} \] \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{\left(A+B\right)t+A}{t\left(t+1\right)} […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione: Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx \] Ponendo \[ t=\sqrt{x} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=\int\frac{2t}{t+t^{3}}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\int\frac{t}{t\left(1+t^{2}\right)}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\int\frac{1}{1+t^{2}}dt \] \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\arctan t+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx=2\arctan\sqrt{x}+C \] Esercizio […]