Massimi e minimi – Problema 19

Determinare un punto sull’asse delle ascisse per il quale è minima la somma del quadrato della sua distanza dalla retta y=x+1 con il quadrato della sua distanza dalla retta x=4. Soluzione Rappresentazione grafica: Chiamiamo P il punto da determinare, si ha \[ \overline{OP}=x\rightarrow P\left(x;0\right) \] La funzione da determinare è \[ \overline{PA}^{2}+\overline{PH}^{2} \] possiamo scrivere […]

Massimi e minimi – Problema 21

E’ data la parabola \[ y=2x^{2}-4x+2 \] e siano A e B i suoi punti di intersezione con gli assi y=0 e x=0. Trovare i punti dell’arco AB di parabola, le cui distanze dagli assi coordinati abbiano somma minima e massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Abbiamo che \[ \overline{PK}=x_{P}=x \] \[ \overline{PH}=y_{P}=y \] Sapendo che \[ […]

Massimi e minimi – Problema 18

Determinare sull’arco di un settore di raggio r un punto per cui sia massima la somma delle distanze dai lati del settore. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=\overline{OP}=r \] \[ A\hat{O}B=\alpha \] \[ A\hat{O}P=x \] Vogliamo sia massima la funzione \[ f=\overline{KP}+\overline{HP} \] Scriviamo KP in funzione di x, sapendo che il […]

Massimi e minimi – Problema 16

Qual è l’arco di cerchio per cui è massima la differenza fra la corda e la saetta* dell’arco stesso? * Ricorda che la saetta di un arco di circonferenza è la distanza tra il punto medio dell’arco e il punto medio della corda sottesa. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ […]

Massimi e minimi – Problema 17

Fra tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sopra un dato arco di circonferenza di raggio r, qual è quello per cui è massima la somma dei lati che comprendono l’angolo? Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ A\hat{O}B=\alpha \] \[ A\hat{C}O=x \] \[ B\hat{C}O=y \] Vogliamo sia massima la funzione […]

Massimi e minimi – Problema 15

E’ dato un semicerchio di raggio r: si divide il diametro in due parti su ciascuna delle quali si descrive un semicerchio interno al primo. Si chiede che sia massima la superficie compresa fra le tre circonferenze. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ \overline{OP}=x \] L’area della circonferenza di diametro […]

Massimi e minimi – Problema 24

Nel piano cartesiano è data la circonferenza passante per l’origine e di centro A(1;0); sia P un punto della semicirconferenza situata nel primo quadrante e sia Q il punto in cui la parallela per P all’asse x incontra la semicirconferenza. Determinare il punto P in modo che il trapezio non intrecciato OAPQ abbia area massima. […]

Massimi e minimi – Problema 13

E’ data una semicirconferenza di diametro AB=2r: si determini su essa un punto C tale che, condotta la perpendicolare CD ad AB, risulti massima la somma CD+DB. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ C\hat{O}D=x \] Scriviamo CD e DB in funzione di x: \[ \overline{CD}=\overline{CO}\sin x=r\sin x \] \[ \overline{DB}=\overline{OB}+\overline{OD}=r+r\cos x \] \[ \overline{DB}=r\left(1+\cos x\right) […]

Massimi e minimi – Problema 14

Sono dati una circonferenza di raggio r e centro O, una corda variabile AB e il diametro CD a essa perpendicolare in H. Calcolare il massimo di AB(CH-HD) con CH>HD. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{OD}=\overline{CO}=r \] \[ \overline{OH}=x \] Scriviamo AB, CH e HD in funzione di x: \[ \overline{AB}=2\overline{AH}=2\sqrt{r^{2}-x^{2}} \] \[ \overline{CH}=\overline{CO}+\overline{OH}=r+x \] \[ \overline{HD}=\overline{OD}-\overline{OH}=r-x […]

Massimi e minimi: Geometria analitica

Problemi risolti di massimo e minimo di geometria analitica: Massimi e minimi – Problema 19 Massimi e minimi – Problema 20 Massimi e minimi – Problema 21 Massimi e minimi – Problema 22 Massimi e minimi – Problema 23 Massimi e minimi – Problema 24