Massimi e minimi – Problema 11

Inscrivere in un triangolo, di base b e altezza h, il rettangolo avente la base su b e di area massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{HF}=\overline{KE}=x \] \[ \overline{KH}=\overline{EF}=y \] \[ \overline{HB}=b \] \[ \overline{AH}=h \] Consideriamo il rettangolo GFED. La sua area vale \[ A_{2}=xy \] Scriviamo y in funzione […]

Massimi e minimi – Problema 12

Determinare il massimo dell’area di un trapezio isoscele, dati la base minore b e il lato obliquo c. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{DC}=b \] \[ \overline{BC}=\overline{AD}=c \] \[ \overline{HB}=x \] Risulta \[ \overline{AB}=b+2x \] \[ \overline{CH}=\sqrt{c^{2}-x^{2}} \] L’area del trapezio vale \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] Viste le considerazioni sopra, possiamo scrivere questa […]

Massimi e minimi – Problema 10

Inscrivere in un dato semicerchio il quadrilatero di superficie massima con un lato parallelo al diametro. Soluzione Rappresentiamo un semicerchio, e notiamo che il quadrilatero inscritto richiesto risulta un trapezio isoscele: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{OC}=\overline{OB}=r\rightarrow\overline{AB}=2r \] \[ \overline{OM}=\overline{CH}=h \] \[ \overline{DC}=b\rightarrow\overline{MC}=\overline{OH}=\frac{b}{2} \] La superficie del trapezio è \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] \[ A=\frac{h\left(2r+b\right)}{2} \] […]

Massimi e minimi: quadrilateri

Problemi svolti di massimo e minimo sui quadrilateri: Massimi e minimi – Problema 7 Massimi e minimi – Problema 8 Massimi e minimi – Problema 9 Massimi e minimi – Problema 10 Massimi e minimi – Problema 11 Massimi e minimi – Problema 12

Massimi e minimi – Problema 7

Di tutti i rettangoli inscritti in uno stesso cerchio di raggio di misura R, qual’è quello di perimetro massimo? E di area massima? Soluzione Rappresentiamo un rettangolo qualunque inscritto in una circonferenza: Vista la figura, chiamiamo \[ \overline{OB}=r\;;\;\overline{AB}=b\;;\;\overline{BC}=h \] \[ \overline{OH}=\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{b}{2} \] \[ \overline{BH}=\frac{1}{2}\overline{BC}=\frac{h}{2} \] Dal teorema di Pitagora sul triangolo OBH, otteniamo l’altezza del […]

Massimi e minimi – Problema 8

Di tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro 2P, qual’è quello di superficie massima? Soluzione Dato un rettangolo generico di base b e altezza h, l’area vale \[ A=bh \] Visto che il perimetro è costante, possiamo ricavarci h in funzione di b: \[ 2P=2\left(b+h\right)\rightarrow P=b+h \] \[ h=P-b \] Ora la nostra funzione A […]

Massimi e minimi – Problema 9

Circoscrivere ad un cerchio di raggio r il rombo di area minima. Soluzione Rappresentiamo un rombo qualunque circoscritto ad una circonferenza: Vista la figura, chiamiamo \[ \overline{OH}=r\;;\;\overline{OA}=a\;;\;\overline{OB}=b \] \[ \overline{AC}=2a \] \[ \overline{BD}=2b \] \[ O\hat{A}B=x \] \[ O\hat{B}A=90^{o}-x \] Dal triangolo rettangolo AOH ricaviamo a in funzione di r e di x: \[ a=\frac{r}{\sin […]

Problemi di massimo e di minimo

Problemi svolti, raggruppati per argomento, relativi al calcolo dei massimi e dei minimi in un intervallo chiuso e limitato (dettato dalle limitazioni geometriche dell’esercizio): Problemi di massimo e minimo – Triangoli (6 problemi svolti) Problemi di massimo e minimo – Quadrilateri (6 problemi svolti) Problemi di massimo e minimo – Circonferenza (6 problemi svolti) Problemi […]