Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int x^{2}\arctan xdx \] Soluzione Questo integrale si può risolvere per parti, ponendo \[ f\left(x\right)=\arctan x \] \[ g’\left(x\right)=x^{2} \] Otteniamo: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx \] Proseguiamo dividendo i polinomi della nuova funzione integranda: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\left(\int xdx+\int\frac{-x}{x^{2}+1}dx\right) \] \[ \int […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int e^{-2x}\sin xdx \] Soluzione Questo integrale si può risolvere attuando per due volte il metodo di integrazione per parti: \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\cos xdx \] \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}\sin xdx \] \[ \frac{5}{4}\int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4} \] […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx \] Soluzione Possiamo ricondurre questo integrale ad una somma di integrali immediati: \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=\int\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}dx+3\int\frac{x}{x^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=\int dx+3\cdot\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=x+\frac{3}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{\sqrt[5]{\tan^{2}x}}{\cos^{2}x}dx \] Soluzione Visto che \[ \frac{1}{\cos^{2}x} \] è la derivata della tangente, possiamo ricondurlo ad […]

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti con l’utilizzo di metodi di vario tipo: integrali immediati, integrali di funzioni razionali fratte, integrali per parti e per sostituzione. Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 1 (3 esercizi svolti) Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 2 (3 esercizi svolti) Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 3 (3 […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx \] Soluzione Visto che -seno è la derivata del coseno, si può ricondurlo ad un integrale immediato: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\int\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\int-\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\left(-\frac{1}{3}\cos^{-3}x\right)+C \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\frac{1}{3\cos^{3}x}+C \] Esercizio 2 \[ […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx \] Soluzione Visto che il Delta del denominatore è negativo, e il numeratore è di primo grado, possiamo ricondurre questo integrale ad una somma tra l’integrale di un logaritmo e quello di un arcotangente: \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2+6}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^{2}-2x+10}dx+\frac{1}{2}\cdot6\int\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx \] […]