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La MatePratica

Esercizi svolti, lezioni online

Categoria: riepilogo

Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 4

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int x^{2}\arctan xdx \] Soluzione Questo integrale si può risolvere per parti, ponendo \[ f\left(x\right)=\arctan x \] \[ g’\left(x\right)=x^{2} \] Otteniamo: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx \] Proseguiamo dividendo i polinomi della nuova funzione integranda: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\left(\int xdx+\int\frac{-x}{x^{2}+1}dx\right) \] \[ \int […]

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Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 5

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int e^{-2x}\sin xdx \] Soluzione Questo integrale si può risolvere attuando per due volte il metodo di integrazione per parti: \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\cos xdx \] \[ \int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}\sin xdx \] \[ \frac{5}{4}\int e^{-2x}\sin xdx=-\frac{e^{-2x}\sin x}{2}-\frac{e^{-2x}\cos x}{4} \] […]

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Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 2

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx \] Soluzione Visto che il Delta del denominatore è negativo, e il numeratore è di primo grado, possiamo ricondurre questo integrale ad una somma tra l’integrale di un logaritmo e quello di un arcotangente: \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2+6}{x^{2}-2x+10}dx \] \[ \int\frac{x+2}{x^{2}-2x+10}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^{2}-2x+10}dx+\frac{1}{2}\cdot6\int\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx \] […]

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Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 3

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx \] Soluzione Visto che -seno è la derivata del coseno, si può ricondurlo ad un integrale immediato: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\int\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\int-\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\left(-\frac{1}{3}\cos^{-3}x\right)+C \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\frac{1}{3\cos^{3}x}+C \] Esercizio 2 \[ […]

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Integrali indefiniti di riepilogo

Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti con l’utilizzo di metodi di vario tipo: integrali immediati, integrali di funzioni razionali fratte, integrali per parti e per sostituzione. Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 1 (3 esercizi svolti) Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 2 (3 esercizi svolti) Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 3 (3 […]

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Integrali indefiniti di riepilogo – Batteria 1

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx \] Soluzione Possiamo ricondurre questo integrale ad una somma di integrali immediati: \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=\int\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}dx+3\int\frac{x}{x^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=\int dx+3\cdot\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=x+\frac{3}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{\sqrt[5]{\tan^{2}x}}{\cos^{2}x}dx \] Soluzione Visto che \[ \frac{1}{\cos^{2}x} \] è la derivata della tangente, possiamo ricondurlo ad […]

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Limiti di funzioni – Forme indeterminate

Calcolare i seguenti limiti, che si presentano in forme indeterminate: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata del tipo \[ \left[\frac{0}{0}\right] \] Scomponendo il denominatore come differenza di quadrati otteniamo \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} \] quindi \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{2} \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2\log^{2}x+3}{3\log^{2}x+\log x} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata […]

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Limiti di funzioni – Esercizi di riepilogo

Calcolare i seguenti limiti, che spesso si presentano in forme indeterminate: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}} \] Questo limite NON si presenta in forma indeterminata, perchè \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}\cos x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-} \] quindi l’esponente \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}\frac{1}{2\cos x-1}=\frac{1}{1^{-}-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty \] Di conseguenza \[ \lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{\frac{1}{2\cos x-1}}=\lim_{x\rightarrow\left(\frac{\pi}{3}\right)^{+}}e^{-\infty}=0 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} \] Questo limite si presenta, all’interno della parentesi, nella […]

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Studio di funzioni – Esercizio 90

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x\geq+1 \] \[ D=\left(-\infty;-1\right]\:\cup\:\left[+1;+\infty\right) \] In particolare, ai confini del dominio, appartengono alla funzione i punti (-1;-1) e (1;1). 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: […]

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Studio di funzioni – Esercizi di riepilogo

Esercizi svolti di riepilogo sullo studio del grafico di una funzione: Studio di funzioni – Esercizio 89 Studio di funzioni – Esercizio 90 Studio di funzioni – Esercizio 91 Studio di funzioni – Esercizio 92 Studio di funzioni – Esercizio 93 Studio di funzioni – Esercizio 94 Studio di funzioni – Esercizio 95 Studio di […]

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