E’ data la parabola \[ y=2x^{2}-4x+2 \] e siano A e B i suoi punti di intersezione con gli assi y=0 e x=0. Trovare i punti dell’arco AB di parabola, le cui distanze dagli assi coordinati abbiano somma minima e massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Abbiamo che \[ \overline{PK}=x_{P}=x \] \[ \overline{PH}=y_{P}=y \] Sapendo che \[ […]
Problemi svolti di massimo e minimo sulla circonferenza: Massimi e minimi – Problema 13 Massimi e minimi – Problema 14 Massimi e minimi – Problema 15 Massimi e minimi – Problema 16 Massimi e minimi – Problema 17 Massimi e minimi – Problema 18
Determinare il punto della parabola \[ 4y+x^{2}=10x-5 \] per il quale è massima la somma delle sue coordinate. Soluzione Scrivendo l’equazione della parabola in forma esplicita otteniamo: \[ y=\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right) \] Il punto generico P della parabola ha coordinate: \[ P\left(x;\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right)\right) \] La somma delle coordinate di P è la nostra funzione di x: \[ f=x_{P}+y_{P} […]
Data la retta di equazione \[ \frac{x}{m}+\frac{y}{m-1}=1 \] determinare m in modo che l’area del quadrato avente per lato il segmento intercettato sulla retta dagli assi sia minima. Soluzione Chiamiamo A e B le intersezioni della retta con gli assi cartesiani, e determiniamone le coordinate in funzione di m: \[ x=0\rightarrow y=m-1\rightarrow A\left(0;m-1\right) \] \[ […]
Determinare un punto P della parabola \[ x^{2}-4y=0 \] per il quale risulta minimo il rapporto \[ \frac{\overline{PO}}{\overline{PF}} \] essendo O il vertice della parabola, e F il fuoco. Soluzione Scriviamo la parabola data in forma esplicita: \[ y=\frac{1}{4}x^{2} \] Il vertice ha coordinate \[ O\left(0;0\right) \] Il fuoco ha stessa x del vertice e […]
Problemi risolti di massimo e minimo di geometria analitica: Massimi e minimi – Problema 19 Massimi e minimi – Problema 20 Massimi e minimi – Problema 21 Massimi e minimi – Problema 22 Massimi e minimi – Problema 23 Massimi e minimi – Problema 24
Sono dati una circonferenza di raggio r e centro O, una corda variabile AB e il diametro CD a essa perpendicolare in H. Calcolare il massimo di AB(CH-HD) con CH>HD. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{OD}=\overline{CO}=r \] \[ \overline{OH}=x \] Scriviamo AB, CH e HD in funzione di x: \[ \overline{AB}=2\overline{AH}=2\sqrt{r^{2}-x^{2}} \] \[ \overline{CH}=\overline{CO}+\overline{OH}=r+x \] \[ \overline{HD}=\overline{OD}-\overline{OH}=r-x […]
E’ data una semicirconferenza di diametro AB=2r: si determini su essa un punto C tale che, condotta la perpendicolare CD ad AB, risulti massima la somma CD+DB. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ C\hat{O}D=x \] Scriviamo CD e DB in funzione di x: \[ \overline{CD}=\overline{CO}\sin x=r\sin x \] \[ \overline{DB}=\overline{OB}+\overline{OD}=r+r\cos x \] \[ \overline{DB}=r\left(1+\cos x\right) […]
Nel piano cartesiano è data la circonferenza passante per l’origine e di centro A(1;0); sia P un punto della semicirconferenza situata nel primo quadrante e sia Q il punto in cui la parallela per P all’asse x incontra la semicirconferenza. Determinare il punto P in modo che il trapezio non intrecciato OAPQ abbia area massima. […]
E’ dato un semicerchio di raggio r: si divide il diametro in due parti su ciascuna delle quali si descrive un semicerchio interno al primo. Si chiede che sia massima la superficie compresa fra le tre circonferenze. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ \overline{OP}=x \] L’area della circonferenza di diametro […]