Determinare un punto sull’asse delle ascisse per il quale è minima la somma del quadrato della sua distanza dalla retta y=x+1 con il quadrato della sua distanza dalla retta x=4. Soluzione Rappresentazione grafica: Chiamiamo P il punto da determinare, si ha \[ \overline{OP}=x\rightarrow P\left(x;0\right) \] La funzione da determinare è \[ \overline{PA}^{2}+\overline{PH}^{2} \] possiamo scrivere […]
Il dominio di una funzione è l’insieme su cui la funzione è definita, mentre il codominio è l’insieme dei valori che la funzione può assumere. Formulari sui domini di funzioni: Funzioni elementari e loro domini – Formulario Esercizi svolti sul calcolo dei dominio: Per quanto riguarda il calcolo del dominio, e quindi la determinazione del […]
Problemi svolti di massimo e minimo sulla circonferenza: Massimi e minimi – Problema 13 Massimi e minimi – Problema 14 Massimi e minimi – Problema 15 Massimi e minimi – Problema 16 Massimi e minimi – Problema 17 Massimi e minimi – Problema 18
Determinare il punto della parabola \[ 4y+x^{2}=10x-5 \] per il quale è massima la somma delle sue coordinate. Soluzione Scrivendo l’equazione della parabola in forma esplicita otteniamo: \[ y=\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right) \] Il punto generico P della parabola ha coordinate: \[ P\left(x;\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right)\right) \] La somma delle coordinate di P è la nostra funzione di x: \[ f=x_{P}+y_{P} […]
Data la retta di equazione \[ \frac{x}{m}+\frac{y}{m-1}=1 \] determinare m in modo che l’area del quadrato avente per lato il segmento intercettato sulla retta dagli assi sia minima. Soluzione Chiamiamo A e B le intersezioni della retta con gli assi cartesiani, e determiniamone le coordinate in funzione di m: \[ x=0\rightarrow y=m-1\rightarrow A\left(0;m-1\right) \] \[ […]
Determinare un punto P della parabola \[ x^{2}-4y=0 \] per il quale risulta minimo il rapporto \[ \frac{\overline{PO}}{\overline{PF}} \] essendo O il vertice della parabola, e F il fuoco. Soluzione Scriviamo la parabola data in forma esplicita: \[ y=\frac{1}{4}x^{2} \] Il vertice ha coordinate \[ O\left(0;0\right) \] Il fuoco ha stessa x del vertice e […]
Problemi risolti di massimo e minimo di geometria analitica: Massimi e minimi – Problema 19 Massimi e minimi – Problema 20 Massimi e minimi – Problema 21 Massimi e minimi – Problema 22 Massimi e minimi – Problema 23 Massimi e minimi – Problema 24
L’obiettivo finale di uno studio di funzione è quello di riuscire a rappresentare, con la migliore approssimazione possibile, il grafico della funzione data \[ y=f\left(x\right) \] sul piano cartesiano. Illustriamo di seguito i passi da seguire per lo studio di funzione, ricordando che questo tutorial precede i 100 studio di funzione completamente svolti presenti sul […]
Sono dati una circonferenza di raggio r e centro O, una corda variabile AB e il diametro CD a essa perpendicolare in H. Calcolare il massimo di AB(CH-HD) con CH>HD. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{OD}=\overline{CO}=r \] \[ \overline{OH}=x \] Scriviamo AB, CH e HD in funzione di x: \[ \overline{AB}=2\overline{AH}=2\sqrt{r^{2}-x^{2}} \] \[ \overline{CH}=\overline{CO}+\overline{OH}=r+x \] \[ \overline{HD}=\overline{OD}-\overline{OH}=r-x […]
E’ data una semicirconferenza di diametro AB=2r: si determini su essa un punto C tale che, condotta la perpendicolare CD ad AB, risulti massima la somma CD+DB. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ C\hat{O}D=x \] Scriviamo CD e DB in funzione di x: \[ \overline{CD}=\overline{CO}\sin x=r\sin x \] \[ \overline{DB}=\overline{OB}+\overline{OD}=r+r\cos x \] \[ \overline{DB}=r\left(1+\cos x\right) […]