Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln\left|x+1\right| \] 1) Dominio: \[ x+1\neq0\rightarrow x\neq-1 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ -1\right\} \] La funzione si può scrivere in questo modo: \[ f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{x^{2}}{2}-x+\ln\left(x+1\right)\; se\; x>-1\\ \frac{x^{2}}{2}-x+\ln\left(-x-1\right)\; se\; x<-1 \end{array}\right. \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x}{e^{x}-1} \] 1) Dominio: \[ e^{x}-1\neq0\rightarrow e^{x}\neq1\rightarrow x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=0 \end{array}\right.\rightarrow x=0\:\notin D\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{\ln x-1}{1-x} \] 1) Dominio: \[ \left\{ \begin{array}{c} x>0\\ x\neq1 \end{array}\right. \] \[ D=\left(0;1\right)\:\cup\:\left(1;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ \ln x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=e […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=2^{x+\frac{1}{x}} \] La funzione può essere scritta anche così: \[ f\left(x\right)=2^{\frac{x^{2}+1}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=2^{-\frac{x^{2}+1}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=e^{\frac{x-2}{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=e^{\frac{x+2}{x}} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\:\forall x\in D \] […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{e^{\tan x}-1}{e^{\tan x}+1}\;,\: con\; x\in\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 1) Dominio: \[ D=\left(-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\frac{e^{\tan\left(-x\right)}-1}{e^{\tan\left(-x\right)}+1}=\frac{e^{-\tan x}-1}{e^{-\tan x}+1} \] \[ f\left(-x\right)=\left(\frac{1}{e^{\tan x}}-1\right):\left(\frac{1}{e^{\tan x}}+1\right)=\frac{1-e^{\tan x}}{e^{\tan x}}\cdot\frac{e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}}=\frac{1-e^{\tan x}}{1+e^{\tan x}} \] \[ f\left(-x\right)=-f\left(x\right) \] f(x) è dispari, per comodità la studiamo solo nell’intervallo {[}0;pi/2). Per x negative, la curva sarà simmetrica rispetto […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)^{2}}{\left(x+1\right)^{2}} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R}-\left\{ -1\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ f\left(0\right)=0\rightarrow\left(0;0\right)\in f\left(x\right) \] \[ f\left(x\right)=0\rightarrow x\left(x-1\right)^{2}=0\rightarrow x=0\:,\: x=1\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x>0 \] \[ f\left(x\right)<0\rightarrow x<0 \] […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\frac{2x-1}{xe^{x}} \] 1) Dominio: \[ x\neq0 \] \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\rightarrow\left(\frac{1}{2};0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)\geq0\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} Num\geq0\rightarrow […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x+\ln x+\frac{2}{x}+2 \] 1) Dominio: \[ x>0 \] \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: \[ x=0\:\notin D \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0 \end{array}\right.\rightarrow\nexists x\in D\;|\; x+\ln x+\frac{2}{x}+2=0\rightarrow S=\textrm{Ø} \] 4) […]

Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=x-\sqrt{x^{2}-1} \] 1) Dominio: \[ x^{2}-1\geq0\rightarrow x\leq-1\:\vee\: x\geq+1 \] \[ D=\left(-\infty;-1\right]\:\cup\:\left[+1;+\infty\right) \] In particolare, ai confini del dominio, appartengono alla funzione i punti (-1;-1) e (1;1). 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=-x-\sqrt{x^{2}-1} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari, ne dispari. 3) Intersezioni con gli assi: […]