La seguente raccolta di esercizi di statistica con soluzioni è rivolta agli studenti universitari delle facoltà scientifiche, in particolare ingegneria gestionale, ma anche agli studenti di economia aziendale o appassionati di statistica, o per corsi di approfondimento delle scuole superiori.
Statistica per Economia
Temi di statistica per economia – La Sapienza (4 esami svolti)
Temi di statistica per economia – Unical Cosenza (1 esame svolto)
Temi di statistica per economia – Unito (1 esame svolto)Statistica per Ingegneria Gestionale
Temi di statistica per Ing. gestionale (3 esami svolti)
Di seguito, alcuni esercizi svolti di statistica e probabilità.
Esercizio 1: Probabilità di estrazione di una palline da un’urna
Si consideri un’urna contenente 3 palline rosse e 4 blu. Quanto vale la probabilità di estrarre due palline (non ordinate) rosse?
- \(\frac{2}{14}\)
- \(\frac{2}{7}\)
- \(\frac{2}{21}\)
- \(\frac{{4\choose 2}}{{7\choose 2}}\)
Soluzione
Possiamo utilizzare la definizione classica di probabilità:
\[p=\frac{\#casi\ favorevoli}{\#casi\ equipossibili}\]
I casi favorevoli sono tutti i modi con cui posso estrarre due palline rosse. Essendo tre il totale delle palline rosse e poichè l’ordine con cui le estraggo non importa, tali modi corrispondono alle combinazioni di tre elementi scelti a due a due, ossia \(C_{3,2}={3\choose 2}\).
I casi possibili corrispondono invece a tutti in modi con cui posso estrarre due palline qualsiasi dall’urna. Dato che il totale delle palline è sette, tali casi sono \(C_{7,2}={7\choose 2}\).
Calcoliamo infine la probabilità:
\[\begin{eqnarray*}
p&=&\frac{{3\choose 2}}{{7\choose 2}}=\frac{\frac{3!}{2!1!}}{\frac{7!}{2!5!}}=\\
&=&\frac{3\cdot 2!}{2!}\cdot\frac{2\cdot 5!}{7\cdot 6\cdot 5!}=\frac{1}{7}\end{eqnarray*}\]
Dunque la risposta corretta è la 1).
Esercizio 2: Probabilità estrazione carta da un mazzo di carte
Si consideri l’estrazione casuale di una carta da un mazzo da poker (contenente 13 carte per ognuno dei 4 differenti semi). Quanto vale la probabilità di estrarre una carta di seme di cuori con valore strettamente inferiore a 5?
- \(\frac{1}{13}\)
- Nessuna delle altre
- \(\frac{5}{52}\)
- \(\frac{4}{13}\)
Soluzione
L’approccio è equivalente a quello utilizzato per rispondere alla precedente domanda.
I casi favorevoli sono quattro e corrispondono al numero di carte di seme di cuori con valore inferiore al 5; mentre tutti i casi possibili sono banalmente 52, ossia tutte le carte del mazzo da poker.
Dunque, la probabilità è
\[p=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\]
Dunque la risposta corretta è la 1).
Esercizio 3: Distribuzione binomiale del numero di lanci del piattello
Un tiratore al piattello ha probabilità p di colpire , sul singolo tentativo, il bersaglio. Se si effettuano n tentativi, quanto vale la probabilità di colpire tutti i piattelli?
- \(p^n\)
- \(np\)
- \(\frac{p}{n}\)
- \({n\choose p}p\)
Soluzione
Cerchiamo di formalizzare l’esercizio. I lanci del piattello sono delle prove indipendenti dato che un lancio non influenza nessun’altro; inoltre, dato che il tiratore ha probabilità p di colpire il piattello, tali prove sono pure equiprobabili.
Se indichiamo con X il numero di piattelli colpiti su n tentativi, X ha distribuzione binomiale di parametri n e p.
In accordo con la funzione di massa di probabilità per una binomiale, otteniamo che:
\[P(X=n)={n\choose n}p^n(1-p)^{n-n}=p^n\]
Quindi la risposta esatta è la 1).
Esercizio 4: Calcolo probabilità mediante conteggio delle disposizioni con ripetizione
Si vuole riservare l’accesso ad un certo servizio a M=100 utenti, a ciascuno dei quali viene assegnata una diversa password formata da n cifre decimali (le password sono cioè stringhe lunghe n in cui ciascun elemento è un numero da 0 a 9). Sia p la probabilità di trovare una password al generico tentativo sciegliendo una stringa. Qual è il minimo valore di n tale per cui \(p < 10^{-2}\)?
- 5
- 2
- 4
- 3
Soluzione
La probabilità p generica di trovare una delle 100 password (degli studenti) scegliendo tra tutte le possibili stringhe di n numeri da 0 a 9 che si possono formare è data dal rapporto
\[p=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{100}{10^{n}}=10^{2-n}\]
Il numero di casi possibili non sono altro che le disposizioni con ripetizione di 10 oggetti (cifre da 0 a 9) in n posti.
Per rispondere alla richiesta, dobbiamo risolvere la seguente disequazione nella variabile n:
\[\begin{eqnarray*}
p &<& 10^{-2}\\
10^{2-n} &<& 10^{-2}\\
2-n && 4\end{eqnarray*}\]
Poichè n è intero, il minimo valore che soddisfa la disequazione è n=5.
Esercizio 5: Calcolo probabilità mediante combinazioni semplici
Quanto vale la probabilità di avere una coppia servita alla prima mano in una partita a poker?
- circa 0.1
- circa 0.04
- circa 0.42
- circa 0.01
Soluzione
Anche in questo caso la probabilità va calcolata mediante la definizione classica (casi favorevoli fratto casi possibili).
Nel caso che i giocatori siano 4, il mazzo da poker contiene 32 carte, 8 valori (7,8,9,10,J,Q,K,A) e 4 seme (cuori, quadri, fiori e picche). Inoltre, ad ogni giocatore vengono distribuite 5 carte.
Dunque, i casi possibili sono banalmente tutte le combinazioni senza ripetizione che posso ottenere con 32 carte (oggetti) disponendole in 5 posti, ossia
\[C_{32,5}=\frac{32!}{27!*5!}=201376\]
Analizziamo i casi favorevoli guardando l’immagine qui in basso.
Per ottenere una coppia ho bisogno di due carte con lo stesso valore e altre 3 con valori tutti diversi tra loro.
La prima carta puo essere scelta in 32 modi, mentre la seconda in 3 modi (in modo tale da avere due carte con lo stesso valore). Inoltre, poiche’ l’ordine non conta, il numero di modi con cui posso scegliere le prime due carte e’ dato da 32*3/2=48.
La terza carta puo’ essere scelta tra i 7 valori rimasti e quindi in 7*4=28 modi; la quarta carta in 6*4=24 modi e la quinta in 5*4=20 modi. Poiche’ l’ordine non e’ importante, il numero totale di modi con cui posso scegliere le ultime 3 carte e’ 28*24*20/3!=2240.
In definitiva otteniamo:
\[\begin{eqnarray*}
p &=& \frac{48*2240}{C_{32,5}}=\\
&=& \frac{107520}{201376}=0.53\end{eqnarray*}\]
La risposta corretta non e’ presente tra quelle indicate probabilmente perchè il prof ha considerato un mazzo formato da un numero di carte diverso.