Studio di funzione: esercizi svolti

L’analisi matematica dello studio di funzione si riferisce alle tecniche utilizzate per esaminare la funzione f(x) con l’obiettivo di individuarne alcune proprietà qualitative. Grazie ad un adeguato studio di funzione, è possibile disegnare il grafico della funzione e avere una comprensione completa del suo comportamento.

Se sei alla ricerca di esercizi di studio di funzione, sei nel posto giusto. La nostra pagina offre molti di esercizi matematici relativi allo studio di funzione, ideati per aiutarti a comprendere appieno questo argomento. Abbiamo oltre 100 esercizi per lo studio di funzione, dai più semplici ai più complessi, che coprono un’ampia gamma di temi matematici.

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Formulari sullo studio di funzioni:

Esercizi svolti sullo studio di funzioni:

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163 thoughts on “Studio di funzione: esercizi svolti”

  1. avrei bisogno di capire come stabilire la concavità/convessità della f(x) = (e^x-1)/x. La derivata seconda mi risulta essere: x[e^x(x^2-2x+2)-2]/x^4
    Studiando le due funzioni F1 [che è una parabola con vertice in (1;1) e concavità verso l’alto, intersez. con asse y a (0;2)] e F2,con F1=x^2-2x+2 e F2= 2/e^x ottengo che per x 0 il contrario (F1>F2). Chiedo gentilmente come fare.

    Rispondi

    1. Per prima cosa studia il dominio della funzione, argomento della radice maggiore o uguale a zero(dovresti ottenere x2. Poi verifica se la funzione è pari o dispari( non è nessuna delle due), dopo calcolati i limiti per x che tende a + o – infinto(dovresti ottenere y=1).

  4. Dopo tanti anni utilizzo ancora questo sito come punto di riferimento per lo studio di funzione.Complimenti davvero albert per il lavoro che hai svolto

    Rispondi

    1. Grazie mille! Sono proprio felice che dopo molti anni questi esercizi siano ancora utili!

    3. Perché perdete tempo con le simmetrie per funzioni il cui dominio include solo valori positivi di x? E’ proprio assurdo. Non bisogna dare l’impressione che la matematica sia un elenco di regole da applicare acriticamente. La matematica dovrebbe aprire le menti, non renderle ottuse. Certo, mti docenti hanno colpe enormi su wuesto versante. Capire la matematica non significa esercitarsi all’infinito.

  7. Sito interessante , ma è impossibile da guardare a causa della eccessiva pubblicità che si manifesta in continuazione impedendo la lettura.

    Rispondi

  8. Il sito è fantastico e mi aiutato a studiare per la verifica sullo Studio dei limiti. Non ho trovato però gli asintoti obliqui !

    Rispondi

    1. Li trovi nella sezione “Studio di funzioni – Funzioni razionali fratte” come ad esempio nell’esercizio 38

  9. Ciao,
    complimenti per il sito, utile e ben fatto, vorrei però lasciare una critica costruttiva per quanto riguarda lo s.d.f :
    servirebbero più esercizi su funzioni definite per casi

    ciaooo :)

    Rispondi

  10. Ciao sono una studentessa del 5 anno dell’Istituto tecnico commerciale. Chi riesce a risolvermi questo studio di funzione x-2+ radice di x??

    Rispondi

    2. Dovrei calcolare dominio, intersezione assi e negatività e positività questa funzione:
      y= x^2 -2x +5
      x^2 +3x +2
      Chi mi aiuta

  11. Qualcuno per favore mi può risolvere il seguente studio di funzione:
    1/rad( 1+lnx)
    Fatemi sapere al più presto perché mi serve per domani
    Grazie

    Rispondi

  14. salve ho trovato il vostro sito strepitoso mi potreste risolvere questo studio di funzione e^ – radice quadrata di valore assoluto di x^2 -1 grazie in anticipooooooo

    Rispondi

  15. scusate volevo segnalarvi che il primo link di esercizi sullo studio di funzioni non è più disponibile;li potreste ripristinare ?!

    Rispondi

  16. Ciao a tutti! Frequento l ist t. Nautico di riposto(ct) e l anno prossimo (4anno) mi imbatterò anch’io nello studio delle funzioni.. Volevo sapere quali conoscenze di base sono importanti da sapere al fine di imparare al meglio l argomento?? Consigliatemi sono nel panico!!!!

    Rispondi

  18. Salve sono uno studente universitario. Mi complimento per il sito, in quanto ricco di esercizi e perlopiù molto concreto. Ho una richiesta da fare. E’ presente qualche sezione sul sito dove ci sono videolezioni?
    Resto in attesa per una risposta e porgo distinti saluti
    Domenico

    Rispondi

  22. ciao Albert, complimenti per il sito, davvero grandioso! potresti aiutarmi risolvendo questo studio di funzione? x-1/X^2-2x+2 vorrei vedere se l’ho risolta bene. ho alcuni dubbi. grazie :)

    Rispondi

  30. Ciao Albert per prima cosa grazie per il sito davvero utilissimo poi vorrei farti una domanda al volo. Nel dominio di questa funzione arctan x/(x^2-1) anche se l’arcotangente o ovunque definita in R devo comunque escludere i caliri di X= +1 e x=-1 visto che il denominatore va a zero ? Grazie in anticipo :)

    Rispondi

  32. ciao, scusami io ho uno studio di funzione di questo tipo: (1-x^2)*e^2x
    non riesco a capire perche i limiti non mi coincidono con l’andamento del grafico, puoi risolvermi il problema?
    ti ringrazio!

    Rispondi

  34. domani ho l’esame di matematica e ho risolto quasi tutti gli studi di funzione. volevo chiederti il mio prof nello studio chiede anche i punti di discontinuità e gli intervalli di monotonia. come gli calcolo?
    grazie in anticipo!

    Rispondi

  35. Hey Albert grazie mille per il sito, è molto d’aiuto! Ho problemi con la derivata di questa funzione: sinhx – 1/(1 – sinhx)^2 (la linea di frazione va sotto sinhx -1 e non solo 1)

    Rispondi

  42. ciao,io ho un dubbio riguardo allo studio dei limiti, più esattamente per quanto riguarda le forme indeterminate:
    nel caso in cui x–> – inf di f(x)/g(x) = Forma Indeterminata
    so che quando x–> +inf f(x)/g(x) se le funzioni non sono più scomponibili devo guardare il grado di infinito maggiore, quindi se ad esempio g(x) = e^x mentre f(x)=x^2+3x , arriva prima g(x) e quindi il limite è uguale a 0. ma nel caso in cui per la stessa funzione il limite tende a -inf non vale più la stessa regola.giusto? c’è un modo simile per arrivare facilmente alla soluzione??o come mi devo comportare se non riesco a uscire dalla forma indeterminata? senza fare riferimento al caso che ho posto, perchè mi riferisco a casi veramente complicati.. grazie mille

    Rispondi

    1. se x->-inf e^x tende a zero, e inf/0=inf (non è più una forma indeterminata).

      Detto questo, non posso sintezzare qui tutti i casi possibili (ognuno ha una sua strategia di risoluzione). Ti consiglio di andarti a vedere la sezione “limiti” di questo sito ;)

  43. ciao mi risolvete questa?? (2x-1)/(2x^3)
    studio di funzione completa..(domini,intersezioni,positività,asintoti,derivata prima e seconda,crescenza e decrescenza,massimi e minimi,concavità e convessità e punti di flesso)

    Rispondi

  45. Ciao albert, sto preparando l’esame di analisi 1, potresti darmi dei chiarimenti?

    ho questa funzione:

    f(x)=x^2(3log^2 x – 8logx+2)

    Chiede: verificare che f è prolungabile per continuità nel punto 0 e precisare la legge di corrispondenza g di tale prolungamento. In seguito dopo ever fatto il grafico di g mi chiede l’equazione della retta tangente al grafico di g nel punto di ascisse 1.

    Potresti indicarmi come procedere? anche a somme linee.

    Grazie anticipatamente per la risposta :)

    Rispondi

    1. 1) Il dominio è (0;+inf). Per rispondere alla prima domanda devi fare lim_(x->0+) di f(x) e verificare che NON diverge (ovvero deve risultare un numero k. La legge sarà f(x)=x^2(3log^2 x – 8logx+2) se x>0, mentre f(x)=k se x=0.

      2) f(1)=2, quindi la retta passa per il punto (1;2). Il fascio per questo punto è y-2=m(x-1). Ti manca solo m, che vale: m=f'(1) ovvero è il valore della derivata nel punto x=1

  46. Ciao Albert, scusami mi trovo in difficoltà con questa funzione : y = ln[(x^2-3x+2)/x^2]
    Il dominio dovrebbe essere D: (-inf; 1)U(2;+inf) giusto?
    Allora perchè il libro mi porta un asintoto in zero ?
    Grazie :)

    Rispondi

    2. Il dominio è quello che hai scritto tu, però devi escludere anche x=0 perchè ti compare x^2 al denominatore

  47. f=(2-x)/log(x-2)
    f=(2-x)(log(x-2))^(-1)

    f’= -1(log(x-2))^(-1) + (2-x)(-1)(log(x-2))^(-2)(1/(x-2))

    f’= -1/(log(x-2)) + (x-2)/((x-2)(log(x-2))^2)
    f’= -1/(log(x-2)) + 1/(log(x-2))^2
    f’=(1-log(x-2))/(log(x-2))^2

    Rispondi

    1. grazie mille davvero! e poi la derivata prima è maggiore di 0 per x>2,minore di 0 per x<2 e uguale a 0 per x=2 vero?

  48. salve Albert gentilmente potresti aiutarmi a svolgere la derivata prima di (2-x)/log(x-2)?
    io ho fatto cosi -1 per log(x-2)-(2-x) per 1/(x-2) tutto fratto (log(x-2))^2 e poi non riesco ad andare avanti…

    Rispondi

  49. ciao, sito davvero interessante e ben fatto.
    Mi potresti risolvere questo studio di funzione?

    y= x / x^2 – 5x + 6

    Ieri ho fatto la verifica in classe. Voglio controllare se ho fatto bene…

    grazie

    Rispondi

    1. Ciao Kelly, grazie,

      mi dispiace ma non ho tempo di fare studi completi: se invece hai qualche domanda in particolare a riguardo chiedi pure.

    1. L’argomento dell’arcoseno dev’essere compreso tra -1 e 1, quindi in questo caso devi mettere a sistema le seguenti disequazioni:

      x/(x+1) > -1
      x/(x+1) < 1

    2. grazie.. i lim poi sono:
      lim x-> +inf = -inf
      lim x->0 = +inf
      lim x->4 = +inf
      lim x-> +inf = + inf

  55. ecco io l’ho svolto in qst modo,dimmi dove sbaglio:
    dopo aver distinto i due casi x<0 e x>0
    I.D=R
    limx-> -inf (e^-x)+x =+inf
    limx-> +inf (e^-x)-x =+inf

    derivata prima
    (-e^-x)-1
    (-e^-x)+1
    le quali sono maggiori di zero per x>0 e minori di zero per x<0
    derivata seconda
    e^-x
    e^-x
    sono sepre maggiori di zero

    Rispondi

    1. limx-> +inf (e^-x)-x = 0 -inf = -inf

      (-e^-x)-1>0 –> MAI, questa derivata è sempre negativa

      (-e^-x)+1>0 –> e^(-x)<1 –> x>0 (qui hai ragione)

      Il resto è giusto.

  58. Albert!!
    Ho questa f'(x)= e^x (2x^2-4x-1) / (2x^2-1)^2
    quando vado per fare il segno, per il numeratore mi esce (4 +- 2rad di 6)/4, che è ancora scomponibile? Invece il denominatore come si calcola?
    Grazie mille per l’aiuto!!!

    Rispondi

    1. Ciao Rossella,

      il denominatore è sempre positivo nel dominio perchè è un quadrato, e^x è un esponenziale e quindi sempre positivo. Il segno di f’ coincide quindi col segno di
      (2x^2-4x-1). Quindi:

      2x^2-4x-1>=0
      L’equazione associata ti da come soluzioni quelle che hai trovato tu, semplificabili:
      x_(1,2)=(2 +- rad di 6)/2

      Quindi f’>0 per
      x <= (2 – rad di 6)/2 oppure x >= (2 + rad di 6)/2

    3. Ciao,

      mi dispiace ma non ho tempo di fare studi completi: se invece hai qualche domanda in particolare a riguardo chiedi pure.

    1. f(x)=e^(rad|x+1|)

      Dominio: tutto R perchè |x+1|>=0 sempre

      Segno: sempre positiva perchè la funzione esponenziale, quando esiste, è sempre positiva

      Per x->+-inf l’esponente tende in entrambi i casi a +inf così come tutta la funzione e^(+inf)=+inf

    1. Ciao,
      mi dispiace ma non riesco più a svolgere studi completi. Se hai qualche domanda in particolare a riguardo, ti rispondo volentieri appena posso…

  63. Ciao Albert,gentilmente puoi spiegarmi come faccio, dove sia possibile, a stabilire concavità e convessità senza calcolo della seconda derivata. puntualmente sbaglio, cerco di seguire gli asintoti, ma è sempre il contrario…
    grazie…

    Rispondi

    1. Purtroppo non c’è un metodo preciso: disegni il grafico con tutte le informazioni che hai e poi vai per intuizione (in ogni caso non hai garanzie che sia giusto, a meno di funzioni elementari).

      Riguardo all’asintoto ti faccio un esempio di intuizione. Se hai un asintoto orizzontale destro: con funzione crescente per x–>+inf avrai funzione concava, con funzione decrescente per x–>+inf avrai funzione convessa.

  64. Ciao intanto volevo farti i complimenti per il sito, è fatto davvero bene! Mi era sorto un dubbio sul dominio di questa funzione f(x)= e^-(log(x-2)^2, potrebbe essere tutto R con x diverso da 2?

    ^ STA PER “ELEVATO ALLA”

    Grazie!

    Rispondi

    1. Ciao Anonimo,

      mi dispiace ma non ho tempo di fare studi completi: se invece hai qualche domanda in particolare a riguardo chiedi pure.

  66. mi sapreste dire le condizioni del dominio? nel senso, in una frazione il denominatore va posto diverso da 0.. vorrei sapere tutte le condizioni (logaritmo, radice, radice al denominatore…) Grazie in anticipo

    Rispondi

  67. Grazie mille! =) Ragionandoci sù ieri sono giunta alla stessa conclusione…dovevo solo rifletterci un po’! =) Grazie ancora!

    Rispondi

  68. Ciao Albert,ho un problema…potresti solo spiegarmi il dominio di questa funzione?
    f(x)= x-1/radice quadrata di x2+1? Perchè sono bloccata proprio dall’inizio e quindi non posso andare avanti se non capisco neanche il dominio :D Grazie mille!!!

    Rispondi

    1. Devono valere contemporaneamente:

      1) Il denominatore (e di conseguenza il radicando x^2 +1) deve essere diverso da zero.

      2) Il radicando x^2 +1 deve essere maggiore o uguale a zero.

      Di conseguenza ottengo che:

      x^2 +1 >0 –> x^2 > -1 che è sempre vera, quindi il dominio è tutto R: D=R

  69. Ciao Albert…nello studio del segno della derivata prima, come mai la stassa viene posta alcune volte >=0 altre invece solo >….nn riesco a capire la differenza…grz mille e complimenti x il sito ;)

    Rispondi

    1. In generale voglio sapere quando la derivata è positiva (e per esclusione deduco e mi interessa anche quando è negativa), e anche quando è nulla. Se a volte l’ho posta solo maggiore significa probabilmente che avevo già dedotto che non sia annulla mai…

    1. Si allora: se la tua funzione è e^(2x-x^2) la derivata è (2-2x)e^2x-x^2=2(1-x)e^(2x-x^2) e hai quindi un max per x=1.

  73. a seconda invece è fx=2-2x-x^3. il dominio è tutto R.la derivata prima è=-2-3x^2 non ci sono punti di massimo e minimo la derivata seconda invece è=-6x ed è concava per x>0. la terza invece è fx=e^2x-x^2 il dominio è tutto R la fx<0 mai perché l’esponenziale è sempre positiva, la derivata prima è e^2x-x^2(-x)eventuali estremi un punto di massimo x=0

    Rispondi

    1. Tutto giusto tranne un’imperfezione nella derivata della terza funzione che è -2xe^(2x-x^2). hai cmq un max per x=0.

  74. ho svolto tre studi di funzione e volevo confrontarmi per vedere se ho svolto bene l’esercizio.
    il primo studio di funzione mi chiedeva di trovare il dominio,la fx<0 e la derivata
    la funzione è:x^2-5x+6/x^2-2x+3. il dominio è tutto R perchè il delta mi viene negativo. la fx<0 è 2<x<3.la derivata prima è 3(x?2-2x-1/(x^2-2x+3)^2

    Rispondi

    1. Raccogli la x:
      x(2lnx +1)>0

      Studi i due fattori:
      F1>0 –> x>0
      F2>0 –> 2lnx +1>0 –>
      –> lnx>-1/2 –> x>e^(-1/2)

      Quindi:
      Se x<=0 f(x) non esiste perchè il logaritmo non esiste
      Se 00 e F2<0
      Se x>=e^(-1/2) f(x)>=0 perchè F1>0 e F2>=0

  77. Riguardo alla funzione x^2*e^(1/x):

    Ha dominio D=R-{0} perchè per x=0 si annulla il denominatore all’esponente.

    La derivata (2x-1)e^(1/x) è giusta, come anche il minimo in x=1/2.

    Beh si, diciamo che per x>0 il grafico “assomiglia vagamente” ad una parabola… Eccolo:

    http://ow.ly/dOYJu

    Rispondi

  79. volevo sapere se il dominio è da
    (-inf;+inf),quindi i limiti sono tutti inf,la derivata è e^(1/x)*(2x-1)quindi minimo ad 1/2 e parabola come grafico…puo tornare senza calcoli?
    grazie!

    Rispondi

  82. – Per prima cosa nel commento precedente non ho scritto il primo sistema, anche se era intuibile visto il primo passaggio. Correggo:

    “Devi fare il sistema tra le due disequazioni:

    a) -1=0 “

    – La derivata prima non è difficilissima da calcolare (ma ometto i calcoli perchè impazzirei con le parentesi) la trovi qui:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=der+arcsin%28sqrt%284x-x^2%29%29

    ed è positiva (f crescente) per x<2, ovvero nel primo ramo della funzione (vedi dominio). Nel secondo ramo f sarà quindi decrescente.

    – La derivata seconda è questa:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=der+%282-x%29%2Fsqrt%28-%28x-4%29x%28x^2-4x%2B1%29%29

    il suo studio non è per niente semplice e dovrebbe darti due flessi, visto il grafico:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsin%28sqrt%284x-x^2%29%29

    Rispondi

  84. Devi fare il sistema tra le due disequazioni:

    a) -1=0

    la radice quadrata quando esiste è sempre positiva quindi anche maggiore di -1:

    a) rad(4x-x^2)<1
    b) 4x-x^2>=0

    la radice è minore di 1 quando il suo radicando è minore della rad1=1:

    a) 4x-x^2<1
    b) 4x-x^2>=0

    Risolvendo singolarmente le due disequazioni ottengo:

    a) x<2-rad3 V x>2+rad3
    b) 0 <= x <= 4

    e la soluzione del sistema (il dominio) risulta:

    0 <= x < 2-rad3 V 2+rad3 < x <= 4

    Rispondi

  85. salve,potrebbe svolgermi il dominio della funzione arcsen di radice quadrata di (4x-x^2) ?!?! devo imporre che 4x-x^2 sia maggiore di zero,e allo stesso tempo devo imporre che la radice di 4x-x^2 sia compreso tra -1 e 1 giusto?!?e poi dovrei unire i due risultati,ma non sono molto sicura del mio risultati!può svolgerlo così vedo se ho fatto giusto?grazie mille

    Rispondi

  87. salve, può aiutarmi con lo studio di funzione lnx \ ln x +1 ?? non riesco a capire se al denominatore il +1 è argomento del logaritmo o no

    Rispondi

  89. Complimenti per il sito! ** Dopo tante ricerche, finalmente ho trovato un sito che mi è molto utile… ben fatto! :)
    Oddio, speriamo per l’esame, domani… Incrociamo le dita xD
    Grazie, Eva.

    Rispondi

  93. Ciao Albert sono Gianni.Scusa se disturbo ma martedi ho l’esame e tra gli esercizi della prof non riesco a svolgere queste due tipologie di studio di funzione.Se te li posto saresti cosi gentile da darmi una mano???

    f(x)= log in base 4 di radice((4^x)-1)

    f(x)= log in base 2 di ((2^x)+1)

    Rispondi

  96. scusate ragazzi qualcuno sa fare questi studi di funzione: 1) radice quadrata(2x + 1) / e ^(-x)

    2) e^(-x) / radice quadrata(2x + 1)

    Rispondi

  100. salve,
    innanzi tutto complimenti per il sito.
    vorrei proporvi questo studio di funzione
    |x^2-|x||*e^|x^2-|x||
    vi ringrazio in anticipo

    Rispondi

  102. ciao albert…
    domandina velocissima:) sto facendo questa funzione: (x-4)e^((1)/(x-2))

    ma nn sono sicuro sulla intersezione dell asse y…xche se sostituisco lo 0 alla x viene 4 x infinito no??:((

    grazie mille:) complimenti x il sito!:) spettacolareee!:)

    Rispondi

  104. Ciao Giulia,

    f(x)= (x^2 – 1)*e^|x|

    Dominio: D=R

    Intersezioni con gli assi:
    x=0 –> y=-1
    y=0 –> x=-1 , x=1

    Simmetrie: SI, rispetto all’asse y (funzione pari)

    Segno:

    f(x)>0 –> x^2 -1 >0 –> x<-1 V x>1

    Limiti:

    lim per x->+inf di f(x) = +inf

    lim per x->-inf di f(x) = +inf

    lim per x->+inf di f(x)/x = -inf
    lim per x->-inf di f(x)/x = -inf quindi NO asintoti obliqui

    Derivate:

    possiamo considerare x>0 perchè la f è pari (simm rispetto all’asse y). Quindi:

    f(x)= (x^2 – 1)*e^x

    f'(x)= (x^2 +2x -1)*e^x

    f’>0 –> x^2 +2x -1>0
    f’>0 –> x>-1+rad2

    quindi x=-1+rad2 MINIMO, e per simmetria x=-1-rad2 MASSIMO

    f”(x) = (e^x)*(x^2 +4x + 1)

    che per x>0 è sempre positiva e la funzione sempre convessa.

    Qui il grafico:
    http://ow.ly/bCNEe

    Rispondi

  105. Salve, ho trovato su internet il vostro sito e mi è davvero piaciuto, è molto chiaro ed esaustivo, complimenti!
    Vorrei sapere però se è possibile avere la risoluzione del seguente studio di funzione: f(x)= (e^|x|) che moltiplica la radice quadrata di x^2 – 1.
    Grazie!!
    Giulia.

    Rispondi

  107. Ciao Anonimo,

    f(x) = (x-3)e^(-x)

    Dominio: D=R

    Intersezioni con gli assi:
    x=0 –> y=-3
    y=0 –> x=3

    Simmetrie: NO

    Segno:

    f(x)>0 –> x-3>0 –> x>3

    Limiti:

    lim per x->+inf di f(x) = 0 quindi y=0 asintoto orizzontale

    lim per x->-inf di f(x) = -inf

    lim per x->-inf di f(x)/x = -inf quindi NO asintoti obliqui

    Derivate:

    f'(x) = e^(-x) – (x-3)e^(-x)

    f'(x) = (4-x)e^(-x)

    f’>0 –> x<4 quindi x=4 MASSIMO

    f”(x) = -e^(-x) – (4-x)e^(-x)

    f”(x) = (x-5)e^(-x)

    f”>0 –> x>5 quindi x=5 FLESSO

    Rispondi

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