L’obiettivo finale di uno studio di funzione è quello di riuscire a rappresentare, con la migliore approssimazione possibile, il grafico della funzione data \[ y=f\left(x\right) \] sul piano cartesiano. Illustriamo di seguito i passi da seguire per lo studio di funzione, ricordando che questo tutorial precede i 100 studio di funzione completamente svolti presenti sul sito.

1) Determinazione del dominio D della funzione. Per realizzare questo primo passo è importante conoscere i domini delle funzioni elementari che compongono la nostra funzione (qui il formulario a riguardo).

2) Determinazione di eventuali simmetrie e periodicità. Se la funzione è simmetrica rispetto all’asse y (funzione pari), \[ f\left(x\right)=f\left(-x\right) \] o rispetto all’origine (funzione dispari), \[ f\left(x\right)=-f\left(-x\right) \] basterà proseguire lo studio per x positive \[ x\geq0 \] semplificando così i calcoli. Lo stesso vale per le funzioni periodiche di periodo T, che possono essere studiate in un intervallo di ampiezza T.

3) Determinazione delle intersezioni con gli assi. Si pone \[ x=0 \] per determinare l’eventuale punto di intersezione della funzione con l’asse y; si determinano invece i punti di intersezione con l’asse x ponendo y=0, ovvero \[ f\left(x\right)=0 \]
4) Studio del segno della funzione. Ponendo per convenzione \[ f\left(x\right)>0 \] si trova gli intervalli di x per i quali la funzione è positiva (quando sta sopra l’asse x) e, di conseguenza per esclusione, anche quelli per i quali è negativa (quando sta sotto l’asse x).

5) Calcolo dei limiti. Bisogna stabilire come la funzione si comporta quando si “avvicina” agli eventuali punti di discontinuità della funzione, calcolando i limiti (qui la sezione esercizi svolti sui limiti, completa di formulari) del tipo \[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right) \] Si determinano così eventuali asintoti verticali. Inoltre bisogna stabilire come la funzione si comporta, nel caso il dominio lo richieda, quando x tende all’infinito: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right) \] Si determinano così eventuali asintoti orizzontali e, calcolando \[ m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left(x\right)}{x} \] \[ q=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[f\left(x\right)-mx\right] \] eventuali asintoti obliqui del tipo \[ y=mx+q \]
6) Determinazione dei punti di massimo, minimo, e flesso: studio del segno delle derivate. Si calcola la derivata prima (qui la sezione esercizi svolti sulle derivate, completa di formulari) \[ f’\left(x\right)=\frac{dy}{dx} \] Si studia il segno della derivata risolvendo la disequazione \[ f’\left(x\right)\geq0 \] Negli intervalli in cui la derivata è positiva la funzione f(x) è crescente, negli intervalli in cui la derivata è negativa la funzione f(x) è decrescente; nei punti in cui la derivata si annulla abbiamo quindi per la nostra f(x) dei punti di massimo, minimo, o flesso a tangente orizzontale. Successivamente si calcola la derivata seconda \[ f”\left(x\right) \] Si studia il segno della derivata seconda risolvendo la disequazione \[ f”\left(x\right)\geq0 \] Negli intervalli in cui la derivata seconda è positiva la funzione f(x) è convessa, negli intervalli in cui la derivata seconda è negativa la funzione f(x) risulta concava; nei punti in cui la derivata seconda si annulla si determinano per la nostra f(x) gli eventuali punti di flesso a tangente obliqua.

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 2,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a alberto@matepratica.it