Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione:
Esercizio 1 \[ \int e^{3x-1}dx \] Ponendo \[ t=3x-1 \] ricaviamo x: \[ x=\frac{1+t}{3} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}\rightarrow dx=\frac{1}{3}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int e^{3x-1}dx=\int e^{t}\cdot\frac{1}{3}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}\int e^{t}dt \] \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{t}+C \] Risulta quindi: \[ \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{3x-1}+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx \] Ponendo \[ t=e^{x} \] ricaviamo x: \[ x=\ln t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\rightarrow dx=\frac{1}{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\int\frac{t\cdot\frac{1}{t}}{t+2}dt \] \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\int\frac{1}{t+2}dt \] \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\left|t+2\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\left(e^{x}+2\right)+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{\ln x}{x}dx \] Ponendo \[ t=\ln x \] ricaviamo x: \[ x=e^{t} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=e^{t}\rightarrow dx=e^{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{t}{e^{t}}e^{t}dt \] \[ \int\frac{\ln x}{x}dx=\int tdt \] \[ \int\frac{\ln x}{x}dx=\frac{t^{2}}{2}+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{\ln x}{x}dx=\frac{\ln^{2}x}{2}+C \]
Ciao Albert! senti ti volevo chiedere perchè nel primo esercizio, la derivata di x in base a t di : (1+t)/3 ti viene uguale a 1/3? non dovrebbe venire (1/3)+(t/3). grazie e scusami per il disturbo ;)
ma nel terzo esercizio come hai fatto a trovare il dt? non è dt/e^t
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Perche nel secondo esercizio moltiplica 1/t al numeratore ? Non dovrebbe essere 1*il numeratore e t* il denominatore ?
voglio saperlo anche io!!!
grazie :)
é la stessa identica cosa! Se moltiplichi 1 al numeratore e la t al denominatore, in ogni caso viene t/t( t+2) ….. t al numeratore e t al denominatore si semplificano
scusami ma integrare con il metodo della sostituzione nel secondo esercizio è totalmente inutile, visto che si torna alla stessa forma iniziale.
Si può fare anche in altro modo, ma no, non si torna alla forma iniziale con la sostituzione…
Non ho capito perché al secondo esercizio moltiplica i7t dt al numeratore! Non bisognerebbe moltiplicare 1 per il numeratore e t al denominatore??? :\
scusa dove vedi 7 al secondo esercizio?
Voleva dire 1/t
ma è sbagliato risolvere il secondo integrale con la formula derivata della f di x fratto la f di x??
No non è sbagliato, va bene anche così!
Credo che ci sia un errore nell’esponente del risultato del primo integrale. Non è e^(3x+1) ma e^(3x-1). Giusto?
Si ho modificato, grazie!
scusa ma la derivata di (1+t)/3 nel primo esercizio non è 1?
(1+t)/3 = 1/3 + t/3
quindi la derivata è:
0+1/3= 1/3
Salve. Potete spiegarmi come calcolate dx/dt?
Faccio semplicemente la derivata tenendo conto che la variabile è t (e non x come avviene di solito)
Ciao Francesca,
1) t=3x-1 –> 3x=t+1 –> x=(t+1)/3
2) t=e^x –> x è l’esponente da dare a e per ottenere t, quindi x=ln(t)
3) t=ln(x) –> t è l’esponente da dare a e per ottenere x, quindi x=e^t
Salve, no riesco a capire come trovare la X nel metodo di risoluzione per sostituzione.
Grazie