Studiamo la funzione \[ f(x)=x^{\frac{3}{5-4x}} \] Dominio, asintoti e simmetrie \[ 5-4x\neq 0\rightarrow x \neq\frac{5}{4} \] \[ \mathcal{D}: \left(-\infty; \frac{5}{4}\right)\bigcup\left(\frac{5}{4};+\infty\right) \] Non sono presenti simmetrie evidenti. Comportamento agli estremi del dominio \[ \lim_{x\to \frac{5}{4}^-}xe^{\frac{3}{5-4x}}=\frac{5}{4}e^{\frac{3}{0^+}}=\frac{5}{4}e^{+\infty}=+\infty \] \[ \lim_{x\to \frac{5}{4}^+}xe^{\frac{3}{5-4x}}=\frac{5}{4}e^{\frac{3}{0^-}}=\frac{5}{4}e^{-\infty}=0 \] \(x=\frac{5}{4}\) Asintoto verticale (sinistro) \[ \lim_{x \to -\infty}xe^\frac{3}{5-4x}=-\infty e^0=-\infty \] Non esiste l’asintoto orizzontale, potrebbe esistere […]

Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo: Esercizio 1 \[ \int x^{2}\arctan xdx \] Soluzione Questo integrale si può risolvere per parti, ponendo \[ f\left(x\right)=\arctan x \] \[ g’\left(x\right)=x^{2} \] Otteniamo: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx \] Proseguiamo dividendo i polinomi della nuova funzione integranda: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\left(\int xdx+\int\frac{-x}{x^{2}+1}dx\right) \] \[ \int […]