Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo:

Esercizio 1 \[ \int x^{2}\arctan xdx \] Soluzione

Questo integrale si può risolvere per parti, ponendo \[ f\left(x\right)=\arctan x \] \[ g’\left(x\right)=x^{2} \] Otteniamo: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx \] Proseguiamo dividendo i polinomi della nuova funzione integranda: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\left(\int xdx+\int\frac{-x}{x^{2}+1}dx\right) \] \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{x^{3}\arctan x}{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C \] Risulta quindi: \[ \int x^{2}\arctan xdx=\frac{1}{6}\left[2x^{3}\arctan x-x^{2}+\ln\left(x^{2}+1\right)\right]+C \] Esercizio 2 \[ \int\tan^{3}xdx \] Soluzione

Si può risolvere agevolmente per sostituzione, ponendo: \[ t=\tan x \] \[ x=\arctan t \] \[ dx=\frac{1}{1+t^{2}}dt \] e otteniamo: \[ \int\tan^{3}xdx=\int\frac{t^{3}}{t^{2}+1}dt \] Proseguiamo dividendo i polinomi della nuova funzione integranda: \[ \int\tan^{3}xdx=\int tdt-\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^{2}+1}dt \] \[ \int\tan^{3}xdx=\frac{t^{2}}{2}-\ln\sqrt{t^{2}+1}+C \] Risulta quindi: \[ \int\tan^{3}xdx=\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln\sqrt{\tan^{2}x+1}+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{5x+2}{4+x^{2}}dx \] Soluzione

Separiamolo in due parti, per ottenere un logaritmo più un arcotangente: \[ \int\frac{5x+2}{4+x^{2}}dx=5\cdot\frac{1}{2}\int\frac{2x}{4+x^{2}}dx+2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\int\frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+1}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{5x+2}{4+x^{2}}dx=\frac{5}{2}\ln\left(4+x^{2}\right)+\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C \]

Quest’ultimo esercizio, come altri in questa sezione di riepilogo, omette chiaramente alcuni passaggi, ma faccio notare che questi argomenti (integrali per parti, sostituzione, funzioni razionali fratte, etc.) vengono ampiamente approfonditi nelle rispettive sezioni a loro dedicate sul sito.