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Studiamo la funzione

\[
f(x)=x^{\frac{3}{5-4x}}
\]

Dominio, asintoti e simmetrie

\[
5-4x\neq 0\rightarrow x \neq\frac{5}{4}
\]
\[
\mathcal{D}: \left(-\infty; \frac{5}{4}\right)\bigcup\left(\frac{5}{4};+\infty\right)
\]

Non sono presenti simmetrie evidenti.

Comportamento agli estremi del dominio
\[
\lim_{x\to \frac{5}{4}^-}xe^{\frac{3}{5-4x}}=\frac{5}{4}e^{\frac{3}{0^+}}=\frac{5}{4}e^{+\infty}=+\infty
\]
\[
\lim_{x\to \frac{5}{4}^+}xe^{\frac{3}{5-4x}}=\frac{5}{4}e^{\frac{3}{0^-}}=\frac{5}{4}e^{-\infty}=0
\]
\(x=\frac{5}{4}\) Asintoto verticale (sinistro)
\[
\lim_{x \to -\infty}xe^\frac{3}{5-4x}=-\infty e^0=-\infty
\]

Non esiste l’asintoto orizzontale, potrebbe esistere l’asintoto obliquo \(y=mx+q\).

Ricerco \(m\):
\[
m=\lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{xe^{\frac{3}{5-4x}}}{x}=\lim_{x \to -\infty}e^{\frac{3}{5-4x}}=e^0=1
\]
Ricerco \(q\):

\[
q=\lim_{x \to\pm \infty}f(x)-mx=\lim_{x \to-\infty}xe^{\frac{3}{5-4x}}-x=\lim_{x\to -\infty}x \left(e^{\frac{3}{5-4x}}-1\right)=-\infty\cdot 0 \hspace{5 mm}\text{Forma indeterminata}
\]

Bisogna operare in modo tale da poter ricondurre il limite in una forma nota.
Si procede per sostituzione, quindi si pone

\[
t=\frac{3}{5-4x} \hspace{5mm}\text{se}\hspace{3mm}x\rightarrow – \infty \hspace{5mm}t \rightarrow0^+
\]
Si ricava \(x\)

\[
\frac{5-4x}{3}=\frac{1}{t} \hspace{3mm}\rightarrow\hspace{3mm} 5-4x=\frac{3}{t}\hspace{3mm} \rightarrow\hspace{3mm} 4x=\frac{5t-3}{t}\hspace{3mm}\rightarrow\hspace{3mm} 4tx=5t-3 \hspace{3mm}\rightarrow\hspace{3mm} x=\frac{5t-3}{4t}
\]

Si può ora scrivere il limite in questo modo

\[
q=\lim_{t\to 0^+}\frac{5t-3}{4t}\left(e^t -1\right)=\lim_{t\to 0^+}\frac{5t-3}{4}\cdot \lim_{t \to 0^+}\frac{e^t -1}{t}=-\frac{3}{4}
\]

dove \(\lim_{t \to 0^+}\frac{e^t -1}{t} \) è un limite notevole e vale 1.
Del tutto analogo è il procedimento per \(x \rightarrow +\infty \). Quindi \(y=x-\frac{3}{4}\) è asintoto obliquo.

Segno della funzione

\[
f(x)>0 \hspace{5mm}\rightarrow\hspace{5mm} xe^{\frac{3}{5-4x}}>0 \text{per} \hspace{5mm} x>0
\]

Significa che la funzione è positiva e negativa negli intervalli \(I_p\) e \(I_n\) rispettivamente.

\[
I_p \left(0;\frac{5}{4}\right)\bigcup\left(\frac{5}{4};+\infty\right), \hspace{3mm} I_n \left(-\infty;0\right)
\]

Intersezione con gli assi

\[
f(0)=0
\]
\[
f(x)=0 \hspace{3mm}\text{per}\hspace{3mm}x=0.
\]

La funzione, quindi, interseca gli assi all’origine \(O(0,0)\)

Punti di massimo, minimo e flesso

\begin{align*}
f'(x)&=e^{\frac{3}{5-4x}}+e^{\frac{3}{5-4x}}\cdot\frac{12}{(5-4x)^2}=\\
&=e^{\frac{3}{5-4x}}+\frac{12xe^{\frac{3}{5-4x}}}{(5-4x)^2}=\\
&=\frac{(5-4x)^2 e^{\frac{3}{5-4x}}+12xe^{\frac{3}{5-4x}}}{(5-4x)^2}=\\
&=e^{\frac{3}{5-4x}}\left[(5-4x)^2 +12x\right]=\\
&=\frac{e^{\frac{3}{5-4x}}(16x^2 -28x+25)}{(5-4x)^2}
\end{align*}
\[
f'(x)=0 \hspace{5mm} e^{\frac{3}{5-4x}}(16x^2 -28x+25)=0 \hspace{3mm}\text{mai verificata}
\]

La derivata prima non si annulla mai, dunque la funzione non possiede punti di massimo o di minimo.

\begin{align*}
&f'(x)>0 \hspace{5mm} e^{\frac{3}{5-4x}}\hspace{2mm}\forall x\in D
&(16x^2 -28x+25)>0 \hspace{2mm}\forall x \in D
&(5-4x)^2>0 \hspace{2mm }\forall x\in D
\end{align*}

Bisogna ora determinare eventuali punti di flesso e le concavità.
Svolgendo i calcoli si ottiene
\[
f”(x)=\frac{24e^{\frac{3}{5-4x}}(25-14x)}{(4x-5)^4}\hspace{3mm}\rightarrow\hspace{3mm}f”(x)=0 \hspace{1mm} \text{per}\hspace{1mm} x=\frac{25}{14}
\]

Si ha quindi un punto di flesso a tangente obliqua in \(F\left(\frac{25}{14};f(\frac{25}{14})\approx (1.78;0.44)\right)\).

\(f”(x)>0 \hspace{1 mm}\text{per}\hspace{1mm}x<\frac{25}{14}\)

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