Calcolare i seguenti limiti:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{x^{2}+3x+6} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta sotto radice: \[ \lim_{x\rightarrow2}\left(x^{2}+3x+6\right)=4+6+6=16 \] Visto che il radicando tende a 16, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{x^{2}+3x+6}=\lim_{x\rightarrow2}\sqrt{16}=4 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow1}\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x-1}} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta sotto radice: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\left(x+1\right)=2 \] Visto che il radicando tende a 2, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow1}\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x-1}}=\lim_{x\rightarrow1}\sqrt{2}=\sqrt{2} \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\ln\frac{x}{1+x^{2}} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del logaritmo: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x\left(\frac{1}{x^{2}}+1\right)}=0^{+} \] Visto che il limite della funzione che sta all’argomento del logaritmo tende a 0 da destra, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\ln\frac{x}{1+x^{2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln0^{+}=-\infty \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow8}\left[4\arctan\left(x-7\right)+\sqrt[3]{x}\right]^{2} \] Calcoliamo il limite della funzione alla base della potenza: \[ \lim_{x\rightarrow8}\left(4\arctan\left(x-7\right)+\sqrt[3]{x}\right)=4\arctan1+\sqrt[3]{8}=4\cdot\frac{\pi}{4}+2=\pi+2 \] Visto che il limite della funzione alla base della potenza tende a (pi+2), avremo: \[ \lim_{x\rightarrow8}\left[4\arctan\left(x-7\right)+\sqrt[3]{x}\right]^{2}=\lim_{x\rightarrow8}\left(\pi+2\right)^{2}=\left(\pi+2\right)^{2} \]