Le funzioni logaritmiche sono funzioni matematiche che hanno molteplici applicazioni in diversi campi scientifici. La funzione logaritmica è una funzione matematica importante che ha molteplici applicazioni in diversi campi della scienza e dell’ingegneria. Il logaritmo di un numero rispetto a una base specifica è il valore dell’esponente a cui la base deve essere elevata per produrre il numero dato. In altre parole, la funzione logaritmica rappresenta l’inverso della funzione esponenziale.

La funzione logaritmica viene rappresentata dall’equazione:

dove $x$ è il valore di input della funzione, $a$ è la base del logaritmo e $y$ è il valore di output della funzione. La base può essere qualsiasi numero reale positivo diverso da 1. Quando la base è $e$, la funzione logaritmica è chiamata logaritmo naturale e viene indicata con $\ln x$.

Grafico della funzione logaritmica

Il grafico della funzione logaritmica dipende dalla base del logaritmo. Il grafico della funzione $\log_{10}x$ è una curva crescente che passa per l’origine degli assi cartesiani, mentre il grafico della funzione $\ln x$ è una curva crescente che ha un asintoto verticale all’origine degli assi cartesiani.

Qui di seguito, una rappresentazione grafica della funzione logaritmica $\log x$:

Proprietà della funzione logaritmica

La funzione logaritmica ha alcune proprietà che sono utili per risolvere problemi matematici. Queste proprietà sono:

1. Dominio: La funzione logaritmica ha un dominio di tutti i numeri reali positivi, cioè $x > 0$.
2. Asintoto verticale: La funzione logaritmica ha un asintoto verticale all’origine degli assi cartesiani.
3. Crescenza: La funzione logaritmica è una funzione crescente, cioè se $x_1 < x_2$ allora $\log_{a}x_1 < \log_{a}x_2$ per qualsiasi base $a$.
4. Decrescenza: La funzione logaritmica è decrescente rispetto alla base del logaritmo. In altre parole, se $a_1 < a_2$ allora $\log_{a_1}x > \log_{a_2}x$ per qualsiasi valore di $x$.
5. Iniettività: La funzione logaritmica è una funzione iniettiva, cioè ogni valore di output ha un unico valore di input corrispondente.
6. Proprietà del cambio di base: $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ per qualsiasi base $a$, $b$, $c$.
7. Proprietà della somma di logaritmi: $\log_{a}(xy) = \log_{a}x + \log_{a}y$.
8. Proprietà della differenza di logaritmi: $\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}x – \log_{a}y$.
9. Proprietà del logaritmo di un quoziente: $\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}x – \log_{a}y$.
10. Proprietà del logaritmo di una potenza: $\log_{a}(x^k) = k\log_{a}x$.
11. Proprietà del logaritmo di un radicale: $\log_{a}(\sqrt[k]{x}) = \frac{\log_{a}x}{k}$.
12. Inversa della funzione esponenziale: $\log_{a}(a^y) = y$ e $a^{\log_{a}x} = x$.
13. Proprietà del logaritmo di un prodotto: $\log_{a}(xy) = \log_{a}x + \log_{a}y$.
14. Proprietà del logaritmo di una frazione: $\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}x – \log_{a}y$.

La funzione logaritmica è una funzione matematica importante che ha molteplici applicazioni in diversi campi scientifici e ingegneristici. La conoscenza delle proprietà della funzione logaritmica è essenziale per risolvere problemi matematici complessi.

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