I prodotti notevoli sono formule matematiche che vengono utilizzate per semplificare i calcoli e per risolvere problemi più facilmente. Queste formule includono il quadrato di binomi, la somma e la differenza di monomi, il quadrato di trinomi, il cubo di binomi e la potenza di binomi. Imparare a usare i prodotti notevoli può aiutare a risolvere problemi di matematica più velocemente e facilmente. In questa pagina trovi una spiegazione dettagliata con formulario per tutti i prodotti noteoli.
Se stai cercando, invece, esercizi svoli sui prodotti notevoli, li trovi nella nostra scheda dedicata.
Quadrato di binomio
Il quadrato di un binomio è la formula che si ottiene quando si eleva al quadrato un binomio. La formula è:
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
In questa formula, $a$ e $b$ sono numeri, lettere o espressioni. Ad esempio, se vogliamo trovare il quadrato di $(x + 3)$, possiamo sostituire $a = x$ e $b = 3$ nella formula:
$$(x + 3)^2 = x^2 + 2x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$$
Quando si risolve un problema che richiede l’uso del quadrato di un binomio, è importante ricordare di utilizzare la formula correttamente e di effettuare tutte le operazioni in modo accurato.
Per esercitarti sui quadrati di binomio, vai nelle schede di esercizi svolti sul: calcolo di quadrato di binomio o scomposizione di quadrato di binomio.
Somma per differenza di monomi
La somma per differenza di monomi è una formula che viene utilizzata per semplificare l’espressione:
$$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$$
In questa formula, $a$ e $b$ sono numeri, lettere o espressioni. Ad esempio, se vogliamo semplificare l’espressione $x^2 – 9$, possiamo sostituire $a = x$ e $b = 3$ nella formula:
$$x^2 – 9 = (x + 3)(x – 3)$$
La somma per differenza di monomi può essere utile quando si deve scomporre un’espressione o risolvere un’equazione.
Per esercitarti somma per differenza di monomi, vai nelle schede di esercizi svolti su: esercizi somma per differenza o esercizi differenza di quadrati.
Quadrato di trinomio
Il quadrato di un trinomio è la formula che si ottiene quando si eleva al quadrato un trinomio. La formula generale è:
$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$$
In questa formula, $a$, $b$ e $c$ sono numeri, lettere o espressioni. Ci sono anche alcune formule specifiche per il quadrato di un trinomio che possono semplificare i calcoli. Ad esempio, la formula per il quadrato di un trinomio del tipo $a^2 + 2ab + b^2$ è:
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Mentre la formula per il quadrato di un trinomio del tipo $a^2 – 2ab + b^2$ è:
$$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$$
Se abbiamo un trinomio diverso da questi due tipi, possiamo utilizzare la formula generale per il quadrato di un trinomio. Ad esempio, se vogliamo trovare il quadrato del trinomio $(2x + 3y – z)$, possiamo sostituire $a = 2x$, $b = 3y$ e $c = -z$ nella formula generale:
$$(2x + 3y – z)^2 = (2x)^2 + (3y)^2 + (-z)^2 + 2(2x \cdot 3y) + 2(2x \cdot -z) + 2(3y \cdot -z)$$ $$= 4x^2 + 9y^2 + z^2 + 12xy – 4xz – 6yz$$
Il quadrato di un trinomio può essere utile quando si risolvono problemi che richiedono la scomposizione di un trinomio o l’identificazione delle radici di un’equazione di secondo grado.
In generale, il quadrato di un trinomio può essere scomposto utilizzando la formula quadrato di binomio e poi utilizzando la proprietà distributiva. Ad esempio, se vogliamo trovare il quadrato di $(x + 2y + 3)$, possiamo scomporlo come segue:
$$(x + 2y + 3)^2 = [(x + 2y) + 3]^2$$
Utilizzando la formula quadrato di binomio, possiamo scrivere:
$$[(x + 2y) + 3]^2 = (x + 2y)^2 + 2 \cdot (x + 2y) \cdot 3 + 3^2$$
Sostituendo con le formule per il quadrato di un binomio, abbiamo:
$$(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$$
Quindi, sostituendo in precedenza:
$$(x + 2y + 3)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 + 6x + 12y + 9$$
Il quadrato di un trinomio può sembrare complicato, ma utilizzando la formula quadrato di binomio e la proprietà distributiva, possiamo semplificarlo e risolverlo facilmente. Per esercitarti sul quadrato di trinomio, vai nelle schede di esercizi svolti su: esercizi quadrato di trinomio o esercizi sulla scomposizione di quadrato di trinomio.
Cubo di binomio
Il cubo di un binomio è la formula che si ottiene quando si eleva al cubo un binomio. La formula è:
$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
In questa formula, $a$ e $b$ sono numeri, lettere o espressioni. Ad esempio, se vogliamo trovare il cubo di $(x + 2)$, possiamo sostituire $a = x$ e $b = 2$ nella formula:
$$(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$
Il cubo di un binomio può essere utile quando si risolvono problemi che richiedono la scomposizione di un’espressione o l’identificazione delle radici di un’equazione di terzo grado. Per esercitarti a risolvere i cubi di binomio, vai alla scheda di esercizi svolti: esercizi cubo di binomio oppure esercizi di scomposizione dei cubi di binomio.
Potenza di binomio
La potenza di un binomio è la formula che si ottiene quando si eleva un binomio ad una potenza maggiore di 1. Ci sono alcune formule specifiche per la potenza di un binomio che possono semplificare i calcoli. Ad esempio, la formula per il quadrato di un binomio del tipo $a+b$ è quella vista in precedenza, mentre la formula per il cubo di un binomio del tipo $a+b$ è:
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
Esistono anche formule per le potenze di binomi di grado superiore, ma diventano rapidamente complesse. Quando si risolvono problemi che richiedono l’uso di una potenza di un binomio, è importante essere familiari con le formule specifiche e di effettuare tutte le operazioni con attenzione.