Studio di funzioni – Esercizio 2

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\left(x^{2}-1\right)e^{x} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\left(\left(-x\right)^{2}-1\right)e^{-x}=\left(x^{2}-1\right)e^{-x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=-1 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;-1\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ x^{2}-1=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(\pm1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x^{2}-1>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x<-1\:\vee\: x>1\\ f\left(x\right)<0\rightarrow x>-1\:\wedge\: x<1 \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\infty\cdot0\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{2}-1}{e^{-x}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Con De L'Hopital otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{-e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2}{e^{-x}}=0 \] y=0 è quindi asintoto orizzontale per la funzione. Inoltre \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=2xe^{x}+\left(x^{2}-1\right)e^{x} \] \[ f’\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+2x-1\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+2x-1\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-1-\sqrt{2}\:\vee\: x\geq-1+\sqrt{2} \] Per x compreso tra i due valori -1-rad2 e -1+rad2 la funzione è decrescente, per valori esterni è invece crescente. Otteniamo un minimo per \[ x_{MIN}=-1+\sqrt{2} \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-1-\sqrt{2} \]

Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+2x-1\right)+e^{x}\left(2x+2\right) \] \[ f”\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+4x+1\right) \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+4x+1\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-2-\sqrt{3}\:\vee\: x\geq-2+\sqrt{3} \] Abbiamo quindi due punti di flesso: \[ x_{F1}=-2-\sqrt{3} \] \[ x_{F2}=-2+\sqrt{3} \] Per valori interni la funzione è concava, per valori esterni f(x) è convessa.

 

 

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42 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 2

  1. Hei ciao volevo chiederti perchè dopo l’intersezione x=1 la funzione non continua asintoticamente per y=0?? grazie.

  2. salve…volevo chiedere perché nel limite che tende a meno infinito, alla fine l’x che sta al numeratore se ne va col “meno” che sta al denominatore? grazie

  3. nella seguente funzione: (x+3/4)*e^-((1/-x)) il Df= R\(O) esatto? cioè 0 punto di accumulazione per il dominio ma non appartenente al dominio(Df). Perchè facendo il limite per x che tende a 0 da sx e dx mi risulta che non esiste asintoto verticale? dove ho sbagliato?

  4. ciao, scusa volevo chiederti se è possibile applicare sempre due volte de l’hopital? xk se non lo avessi applicato ovviamente non ci sarebbe stato un assintoto orizzontale, quando si può applicare due volte de l’hopital? e lo si può fare sempre?
    ti ringrazio in anticipo :)

    1. lo si può applicare quante volte vuoi, l’importante è che tu abbia una forma indeterminata del tipo inf/inf oppure 0/0

  5. scusami ma se il grafico non corrisponde allo studio di convessità come dovrebbe essere quello giusto?
    a me calcolando i punti di flesso e di max e min (con gli stessi valori che sono suciti a te) mi escono
    F(-3.7;-8.1) escluso dallo studio del segno
    MAX(-2.4;-5)anche questo escluso
    e poi min(0.4;-1.5) e F(-0.3;-1.7) quindi punti diversi dal disegno del tuo grafico..mi diresti il grafico giusto com è?

  6. Ciao albert, ma dopo il calcolo del segno della derivata prima, trovati i punti(il punto) sono sempre sicuro che questi siano un max/min relativo?oppure è semplicemente un punto/i critico/i, quindi “candidato/i”ad essere un max e min relativo e di conseguenza c’è un metodo matematico per capire quando effettivamente rispondono a determinati requisiti che li rendono tali?grazie e scusa la domanda un po’ confusa!!!

    1. Dopo lo studio del segno della f’ sei sicura dei max e min o flessi a tg orizzontale, non ci sono ulteriori considerazioni.

  7. Ciao Albert, volevo chiederti di spiegarmi con più dettagli per quale motivo nel calcolo dei punti d’intersezione, quando poni y=0, non consideri e^x in ” (x^2-1)*e^x=0 . Ho letto il tuo commento di sopra ma non riesco a capire il motivo. Grazie in anticipo

    1. (x^2-1)*e^x=0 quando uno dei due fattori è uguale a zero, quindi quando:

      1) x^2 -1 =0 –> x=-1 e x=1
      2) e^x=0 –> MAI perchè e^x>0 per ogni x

    1. Devo fare la derivata del prodotto f=(x^2-1)e^x, quindi la derivata del primo fattore (F1=x^2-1) è F1’=2x e la derivata del secondo (F2=e^x) resta F2’=e^x:

      Se f = F1 * F2 allora
      f’ = F1’*F2 + F1*F2′

      Quindi:
      f’ = 2xe^x+(x^2-1)e^x

  8. scusi non ho capito bene il fatto delle intersezioni nelle funzioni esponenziali.perchè negli altri esempi nelle intersezioni la x=0 non esiste in questo esempio invece è calcolata?

    1. Dipende dal dominio della funzione: se x=0 appartiene al dominio cerco l’intersezione, se invece per x=0 la funzione non esiste non ha senso cercare una intersezione che so già che non esiste.

  9. Per x che tende a meno infinito la funzione ha asintoto orizzontale y=0, e dal grafico si vede… Ma il fatto che la funzione abbia un dato asintoto orizzontale non significa che essa in uno o più punti non possa intersecarlo (in questo caso avviene in x=+1 e x=-1)

  10. Ciao Albert, mi spieghi come mai nel calcolo delle intersezioni con l’asse delle x tralasci l’e^x e consideri solo x^2-1? grazie

  11. Delta = b^2 – 4ac =
    = 2^2 -4*1*(-1) =
    = 4+4 = 8

    x(1,2) = (-b +- rad(delta)) / (2a) =
    = (-2 +- rad(8)) / (2a) =
    = (-2 +- 2rad(2)) / (2a) =
    = 2(-1 +- rad(2)) / (2a) =
    = (-1 +- rad(2)) / a

  12. Scusa, perchè quando fai il segno della derivata prima ti viene -1-rad2 e -1+rad2? A me viene -2-rad2 e -2+rad2… :(

  13. Ciao,

    per x=-2-rad3 e x=-2+rad3 la f(x)”=0, e f(x) ha due punti di flesso a tangente obliqua.

    – Per x<-2-rad3 la f è convessa
    – Tra -2-rad3 3 -2+rad3 la f è concava (e qui l’ho disegnata un po’ male effettivamente)
    – Per x>-2+rad3 la f è convessa

  14. CIAO ALBERT!
    complimenti per il sito, davvero esaustivo!
    ma volevo chiederti: quando studi la y”, quando hai -2-rad3 è positiva (quindi convessa) ma perchè è disegnata come se fosse concava? anche tra -1 e 1 è concava ma è disegnata convessa!
    lo confesso, sono un po’ stanca! grazie Albert!

  15. scusa, ho un esame tra 3 giorni, volevo chiederti come fai a trovare le coordinate dei punti di massimo e minino?
    per disegnarle poi sul grafico..
    cioè in questo caso in particolare come hai fatto?
    grazie mille!

  16. Ciao Anonimo,

    (-4+-radice12)/2 = -2+-rad3

    ed effettivamente nella mia semplificazione c’era un 2 di troppo al denominatore. Ora ho modificato, grazie!

  17. ciao albert! ti chiedo come hai fatto ad arrivare a tali punti di flesso in quanto io eseguendo i calcoli non semplificati trovo (-4+-radice12)/2 ; non riesco a capire dove sbaglio perche al di la della semplificazione i valori non corrispondono..
    grazie

  18. Ciao Anonimo,

    Per x–> -inf viene:

    ((-inf)^2 -1)*e^(-inf) =
    = (+inf -1)*(0+) =
    = (+inf)*(0+) = +inf per confronto tra infinitesimi, ma si può usare anche de l’hopital 2 volte, portando al denominatore e^(-x)

    Per x–> +inf viene:

    ((+inf)^2 -1)*e^(+inf) =
    = (+inf -1)*(+inf) =
    = (+inf)*(+inf) = +inf

    1. Ciao, volevo inanzitutto complimentarmi per il sito che è davvero ben fatto ma sopratutto utilissimo. Volevo chiederti: Ma il lim per trovare l’asintoto obliquo non dovrebbe venire indeterminato? Perchè risulterebbe inf/inf, come riesco a risolverlo?

  19. ciao albert! potresti spiegarmi con i passaggi i limiti? perchè non capiscocome facciano a tornarti quei segni

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