Tavola di verità – Le formule proposizionali sono le proposizioni che si ottengono combinando (attraverso l’uso dei connettivi logici) due o più proposizioni semplici. Per esempio (p q) r è una formula proposizionale.
Costruire la tavola di verità di una formula proposizionale significa stabilire i suoi valori di verità (V o F) al variare dei valori di verità delle singole proposizioni semplici che la compongono.
PROBLEMA 4 L’affermazione “quando bevo troppo, mi si gonfia lo stomaco” implica che: A) se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto troppo B) non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo C) a volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo bevuto troppo D) se mi si gonfia lo stomaco vuol dire che ho bevuto troppo E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco Si può certamente cercare di “vedere intuitivamente” la soluzione, e in casi semplici come questo, per chi ne è in grado, è forse perfino la tecnica più efficiente. Ma esiste anche una tecnica “semi-algoritmica”, che è sufficientemente generale e ha tra il vantaggio di limitare il ruolo dell’intuizione, e quindi di essere impiegabile anche “dai non intuitivi”. Tale tecnica si basa sui seguenti passi, applicabili a ogni affermazione A da considerare, per esempio A=“quando bevo troppo, mi si gonfia lo stomaco”. 1. Si analizza la struttura di A e si stabilisce se sia una proposizione elementare, cioè non costituita da due o più proposizioni, o sia una proposizione composta.Nell’esempio, A è chiaramente una proposizione composta, le proposizioni elementari componenti essendo “bevo troppo” e “mi si gonfia lo stomaco”. E’ immediato constatare che anche le proposizioni A)-E) sono composte. 2. Nel caso in cui la proposizione considerata sia composta, la si riscrive isolando i connettivi dalle proposizioni elementari e, per sintesi, sostituendo queste ultime con dei simboli; A potrebbe diventare perciò: “quando B, S”, avendo sostituito B=“bevo troppo” e S=“mi si gonfia lo stomaco”. Il problema che si pone ora è di ricondurre il valore di verità della proposizione composta al valore di verità delle proposizioni elementari; nell’esempio, la domanda da porsi è: come dipende il valore di verità di “quando B, S” dal valore di verità di B e di S? Ancora più concretamente, se per esempio ¬B (cioè è falso che abbia bevuto troppo) e S (mi si è comunque gonfiato lo stomaco), diremmo che “quando B, S” è vera o falsa? Data la ricchezza espressiva di una lingua come l’italiano, una soluzione generale a problemi di questo genere è difficile da trovare. E’ anche per questo che i logici, anche al costo di perdere alcuni dettagli e sfumature semantiche, hanno individuato alcune “forme standard”, a cui le proposizioni che ci vengono proposte dovrebbero essere ricondotte, per parafrasi. Tali forme standard sono, in particolare: – “non A” (in simboli ¬A): negazione; – “A o B” (in simboli A∨B): disgiunzione; – “o A o B” (in simboli A▽B): disgiunzione esclusiva; – “A e B” (in simboli A∧B): congiunzione; – “A implica B” (o: “se A allora B”) (in simboli A→B): implicazione; – “A se e solo B” (in simboli A↔B): bi-implicazione o equivalenza. Parafrasiamo dunque l’affermazione iniziale del problema e le proposizioni A)-E) in modo da ricondurle a forme standard (si noti ancora che nelle parafrasi modi e tempi verbali tendono a non essere importanti): “quando B, S” diventa “se B allora S”: B→S A) “se non S allora non B” non richiede parafrasi: ¬S→¬B B) “non S pur B” diventa “non S e B”: ¬S∧B C) “a volte non S pur B” contiene il problematico “a volte”, che non sappiamo come trattare; per il resto è identico a B D) “se S vuol dire che B” diventa “se S allora B”: S→B E) “o B o S” non richiede parafrasi: B▽S Il problema che ci siamo posti è dunque: (B→S)→? Non bisogna però lasciarsi trarre in inganno dalla condizione di implicazione: dato che affermare una proposizione significa asserirne la verità, la situazione corrisponde in effetti alla sola prima riga della tavola di verità, e quindi il problema è in effetti (B→S)↔? Si tratta, in pratica, di verificare se: A) (B→S)↔(¬S→¬B) ? B) (B→S)↔(¬S∧B) ? e così via. Applicando passo passo le tavole della verità, controlliamo la prima (COME SI APPLICANO QUESTE TAVOLE DI VERITA)
Tavola di verità – Le formule proposizionali sono le proposizioni che si ottengono combinando (attraverso l’uso dei connettivi logici) due o più proposizioni semplici.
Per esempio (p q) r è una formula proposizionale.
Costruire la tavola di verità di una formula proposizionale significa stabilire i suoi valori di verità (V o F) al variare dei valori di verità delle singole proposizioni semplici che la compongono.
PROBLEMA 4
L’affermazione “quando bevo troppo, mi si gonfia lo stomaco” implica che:
A) se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto troppo
B) non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo
C) a volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo bevuto troppo
D) se mi si gonfia lo stomaco vuol dire che ho bevuto troppo
E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco
Si può certamente cercare di “vedere intuitivamente” la soluzione, e in casi semplici come questo, per chi ne
è in grado, è forse perfino la tecnica più efficiente. Ma esiste anche una tecnica “semi-algoritmica”, che è
sufficientemente generale e ha tra il vantaggio di limitare il ruolo dell’intuizione, e quindi di essere
impiegabile anche “dai non intuitivi”. Tale tecnica si basa sui seguenti passi, applicabili a ogni affermazione
A da considerare, per esempio A=“quando bevo troppo, mi si gonfia lo stomaco”.
1. Si analizza la struttura di A e si stabilisce se sia una proposizione elementare, cioè non costituita da due o
più proposizioni, o sia una proposizione composta.Nell’esempio, A è chiaramente una
proposizione composta, le proposizioni elementari componenti essendo “bevo troppo” e “mi si gonfia lo
stomaco”. E’ immediato constatare che anche le proposizioni A)-E) sono composte.
2. Nel caso in cui la proposizione considerata sia composta, la si riscrive isolando i connettivi dalle
proposizioni elementari e, per sintesi, sostituendo queste ultime con dei simboli; A potrebbe diventare perciò:
“quando B, S”, avendo sostituito B=“bevo troppo” e S=“mi si gonfia lo stomaco”. Il problema che si pone ora è di ricondurre il valore di verità della proposizione composta al valore di
verità delle proposizioni elementari; nell’esempio, la domanda da porsi è: come dipende il valore di verità di
“quando B, S” dal valore di verità di B e di S? Ancora più concretamente, se per esempio ¬B (cioè è falso che
abbia bevuto troppo) e S (mi si è comunque gonfiato lo stomaco), diremmo che “quando B, S” è vera o falsa?
Data la ricchezza espressiva di una lingua come l’italiano, una soluzione generale a problemi di questo
genere è difficile da trovare. E’ anche per questo che i logici, anche al costo di perdere alcuni dettagli e
sfumature semantiche, hanno individuato alcune “forme standard”, a cui le proposizioni che ci vengono
proposte dovrebbero essere ricondotte, per parafrasi.
Tali forme standard sono, in particolare:
– “non A” (in simboli ¬A): negazione;
– “A o B” (in simboli A∨B): disgiunzione;
– “o A o B” (in simboli A▽B): disgiunzione esclusiva;
– “A e B” (in simboli A∧B): congiunzione;
– “A implica B” (o: “se A allora B”) (in simboli A→B): implicazione;
– “A se e solo B” (in simboli A↔B): bi-implicazione o equivalenza.
Parafrasiamo dunque l’affermazione iniziale del problema e le proposizioni A)-E) in modo da ricondurle a
forme standard (si noti ancora che nelle parafrasi modi e tempi verbali tendono a non essere importanti):
“quando B, S” diventa “se B allora S”: B→S
A) “se non S allora non B” non richiede parafrasi: ¬S→¬B
B) “non S pur B” diventa “non S e B”: ¬S∧B
C) “a volte non S pur B” contiene il problematico “a volte”, che non sappiamo come trattare; per il resto è
identico a B
D) “se S vuol dire che B” diventa “se S allora B”: S→B
E) “o B o S” non richiede parafrasi: B▽S Il problema che ci siamo posti è dunque: (B→S)→?
Non bisogna però lasciarsi trarre in inganno dalla condizione di implicazione: dato che affermare una
proposizione significa asserirne la verità, la situazione corrisponde in effetti alla sola prima riga della tavola
di verità, e quindi il problema è in effetti (B→S)↔?
Si tratta, in pratica, di verificare se:
A) (B→S)↔(¬S→¬B) ?
B) (B→S)↔(¬S∧B) ?
e così via.
Applicando passo passo le tavole della verità, controlliamo la prima (COME SI APPLICANO QUESTE TAVOLE DI VERITA)