Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it
Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=\left(x^{2}-1\right)e^{x} \] 1) Dominio: \[ D=\mathbb{R} \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=\left(\left(-x\right)^{2}-1\right)e^{-x}=\left(x^{2}-1\right)e^{-x} \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.
3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ f\left(x\right)=-1 \end{array}\right.\rightarrow\left(0;-1\right)\in f\left(x\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} y=0\\ x^{2}-1=0 \end{array}\right.\rightarrow\left(\pm1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow x^{2}-1>0 \] \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)>0\rightarrow x<-1\:\vee\: x>1\\ f\left(x\right)<0\rightarrow x>-1\:\wedge\: x<1 \end{array}\right. \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\left[\infty\cdot0\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{2}-1}{e^{-x}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Con De L’Hopital otteniamo: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x}{-e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2}{e^{-x}}=0 \] y=0 è quindi asintoto orizzontale per la funzione. Inoltre \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] ne consegue che non ci sono asintoti obliqui.
6) Derivate:
Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=2xe^{x}+\left(x^{2}-1\right)e^{x} \] \[ f’\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+2x-1\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+2x-1\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-1-\sqrt{2}\:\vee\: x\geq-1+\sqrt{2} \] Per x compreso tra i due valori -1-rad2 e -1+rad2 la funzione è decrescente, per valori esterni è invece crescente. Otteniamo un minimo per \[ x_{MIN}=-1+\sqrt{2} \] e un massimo per \[ x_{MAX}=-1-\sqrt{2} \]
Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+2x-1\right)+e^{x}\left(2x+2\right) \] \[ f”\left(x\right)=e^{x}\left(x^{2}+4x+1\right) \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x^{2}+4x+1\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq-2-\sqrt{3}\:\vee\: x\geq-2+\sqrt{3} \] Abbiamo quindi due punti di flesso: \[ x_{F1}=-2-\sqrt{3} \] \[ x_{F2}=-2+\sqrt{3} \] Per valori interni la funzione è concava, per valori esterni f(x) è convessa.
Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it
Hei ciao volevo chiederti perchè dopo l’intersezione x=1 la funzione non continua asintoticamente per y=0?? grazie.
perchè il limite per x che tende a infinito è infnito
salve…volevo chiedere perché nel limite che tende a meno infinito, alla fine l’x che sta al numeratore se ne va col “meno” che sta al denominatore? grazie
Ha applicato di nuovo de l’Hopital ottenendo le derivate seconde
Questo commento è stato eliminato dall’autore.
Ciao Albert! Senti ma dopo che hai usato la regola di de l’hopital hai trovato 2x/-e^-x. Perchè nel passaggio dopo hai tolto il meno davanti alla e e la x al due?
ciao scusa la domanda molto stupida…ma perchè il limite di x che tende a -inf di e^x mi da come risultato zero???
Prova a immaginare il grafico di e^x. Più tende a -inf, e più tenderà a 0+.
nella seguente funzione: (x+3/4)*e^-((1/-x)) il Df= R\(O) esatto? cioè 0 punto di accumulazione per il dominio ma non appartenente al dominio(Df). Perchè facendo il limite per x che tende a 0 da sx e dx mi risulta che non esiste asintoto verticale? dove ho sbagliato?
ciao, scusa volevo chiederti se è possibile applicare sempre due volte de l’hopital? xk se non lo avessi applicato ovviamente non ci sarebbe stato un assintoto orizzontale, quando si può applicare due volte de l’hopital? e lo si può fare sempre?
ti ringrazio in anticipo :)
lo si può applicare quante volte vuoi, l’importante è che tu abbia una forma indeterminata del tipo inf/inf oppure 0/0
scusami ma se il grafico non corrisponde allo studio di convessità come dovrebbe essere quello giusto?
a me calcolando i punti di flesso e di max e min (con gli stessi valori che sono suciti a te) mi escono
F(-3.7;-8.1) escluso dallo studio del segno
MAX(-2.4;-5)anche questo escluso
e poi min(0.4;-1.5) e F(-0.3;-1.7) quindi punti diversi dal disegno del tuo grafico..mi diresti il grafico giusto com è?
Le x dei punti critici approssimate da te sono giusti, ma le y no, ad esempio:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28-2.4%29^2-1%29e^%28-2.4%29
Ciao albert, ma dopo il calcolo del segno della derivata prima, trovati i punti(il punto) sono sempre sicuro che questi siano un max/min relativo?oppure è semplicemente un punto/i critico/i, quindi “candidato/i”ad essere un max e min relativo e di conseguenza c’è un metodo matematico per capire quando effettivamente rispondono a determinati requisiti che li rendono tali?grazie e scusa la domanda un po’ confusa!!!
Dopo lo studio del segno della f’ sei sicura dei max e min o flessi a tg orizzontale, non ci sono ulteriori considerazioni.
Ciao Albert, volevo chiederti di spiegarmi con più dettagli per quale motivo nel calcolo dei punti d’intersezione, quando poni y=0, non consideri e^x in ” (x^2-1)*e^x=0 . Ho letto il tuo commento di sopra ma non riesco a capire il motivo. Grazie in anticipo
(x^2-1)*e^x=0 quando uno dei due fattori è uguale a zero, quindi quando:
1) x^2 -1 =0 –> x=-1 e x=1
2) e^x=0 –> MAI perchè e^x>0 per ogni x
ciao!potresti spiegarmi perchè la derivata’ risulta 2xe^x+(x^2-1)e^x
Devo fare la derivata del prodotto f=(x^2-1)e^x, quindi la derivata del primo fattore (F1=x^2-1) è F1’=2x e la derivata del secondo (F2=e^x) resta F2’=e^x:
Se f = F1 * F2 allora
f’ = F1’*F2 + F1*F2′
Quindi:
f’ = 2xe^x+(x^2-1)e^x
Ciao Albert scusa ma in questa funzione non dovrebbe essere escluso 1 dal dominio?
Grazie
Per x=1 la funzione esiste e vale zero (punto (1;0))…quindi nessun problema di esistenza.
scusi non ho capito bene il fatto delle intersezioni nelle funzioni esponenziali.perchè negli altri esempi nelle intersezioni la x=0 non esiste in questo esempio invece è calcolata?
Dipende dal dominio della funzione: se x=0 appartiene al dominio cerco l’intersezione, se invece per x=0 la funzione non esiste non ha senso cercare una intersezione che so già che non esiste.
Per x che tende a meno infinito la funzione ha asintoto orizzontale y=0, e dal grafico si vede… Ma il fatto che la funzione abbia un dato asintoto orizzontale non significa che essa in uno o più punti non possa intersecarlo (in questo caso avviene in x=+1 e x=-1)
scusa ma non abbiamo l’asintoto orizzontale ad Y=0?? xke la funzione passa sull’asintoto?
Perchè la funzione e^x (vedi grafico) non è mai uguale a zero.
Ciao Albert, mi spieghi come mai nel calcolo delle intersezioni con l’asse delle x tralasci l’e^x e consideri solo x^2-1? grazie
Grazieeeee!!! :) non ci sarei mai arrivata! =)
Stefania
Delta = b^2 – 4ac =
= 2^2 -4*1*(-1) =
= 4+4 = 8
x(1,2) = (-b +- rad(delta)) / (2a) =
= (-2 +- rad(8)) / (2a) =
= (-2 +- 2rad(2)) / (2a) =
= 2(-1 +- rad(2)) / (2a) =
= (-1 +- rad(2)) / a
Scusa, perchè quando fai il segno della derivata prima ti viene -1-rad2 e -1+rad2? A me viene -2-rad2 e -2+rad2… :(
Ciao,
per x=-2-rad3 e x=-2+rad3 la f(x)”=0, e f(x) ha due punti di flesso a tangente obliqua.
– Per x<-2-rad3 la f è convessa
– Tra -2-rad3 3 -2+rad3 la f è concava (e qui l’ho disegnata un po’ male effettivamente)
– Per x>-2+rad3 la f è convessa
CIAO ALBERT!
complimenti per il sito, davvero esaustivo!
ma volevo chiederti: quando studi la y”, quando hai -2-rad3 è positiva (quindi convessa) ma perchè è disegnata come se fosse concava? anche tra -1 e 1 è concava ma è disegnata convessa!
lo confesso, sono un po’ stanca! grazie Albert!
Inserisci x=-1-rad2 nella funzione iniziale e trovi la y del massimo.
Inserisci x=-1+rad2 nella funzione iniziale e trovi la y del minimo.
scusa, ho un esame tra 3 giorni, volevo chiederti come fai a trovare le coordinate dei punti di massimo e minino?
per disegnarle poi sul grafico..
cioè in questo caso in particolare come hai fatto?
grazie mille!
Ciao Anonimo,
(-4+-radice12)/2 = -2+-rad3
ed effettivamente nella mia semplificazione c’era un 2 di troppo al denominatore. Ora ho modificato, grazie!
ciao albert! ti chiedo come hai fatto ad arrivare a tali punti di flesso in quanto io eseguendo i calcoli non semplificati trovo (-4+-radice12)/2 ; non riesco a capire dove sbaglio perche al di la della semplificazione i valori non corrispondono..
grazie
Ciao Anonimo,
Per x–> -inf viene:
((-inf)^2 -1)*e^(-inf) =
= (+inf -1)*(0+) =
= (+inf)*(0+) = +inf per confronto tra infinitesimi, ma si può usare anche de l’hopital 2 volte, portando al denominatore e^(-x)
Per x–> +inf viene:
((+inf)^2 -1)*e^(+inf) =
= (+inf -1)*(+inf) =
= (+inf)*(+inf) = +inf
Ciao, volevo inanzitutto complimentarmi per il sito che è davvero ben fatto ma sopratutto utilissimo. Volevo chiederti: Ma il lim per trovare l’asintoto obliquo non dovrebbe venire indeterminato? Perchè risulterebbe inf/inf, come riesco a risolverlo?
fai una volta de l’hopital e ti viene +inf ;)
ciao albert! potresti spiegarmi con i passaggi i limiti? perchè non capiscocome facciano a tornarti quei segni
Si infatti… ho tolto il 2 al denominatore. Grazie!
f'(x)>0 non dovrebbe essere:
x<-1-rad2 U x>-1+rad2 ???