Integrali indefiniti

Il calcolo dell’integrale indefinito riguarda il problema inverso a quello della derivazione: consiste cioè nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione.

Formulari sugli integrali:

Integrali indefiniti immediati – Formulario
Regole di integrazione – Formulario

Esercizi svolti sugli integrali indefiniti:

Integrali indefiniti immediati – Batteria 1 (14 esercizi svolti)
Integrali indefiniti immediati – Batteria 2 (27 esercizi svolti)
Integrali indefiniti di funzioni razionali fratte (15 esercizi svolti)
Integrali indefiniti per sostituzione (15 esercizi svolti)
Integrali indefiniti per parti (15 esercizi svolti)
Integrali indefiniti – Metodo di decomposizione in somma (3 esercizi svolti)
Integrali indefiniti – Esercizi di riepilogo (15 esercizi svolti)

61 thoughts on “Integrali indefiniti

  1. ciao Albert. vorrei chiederti gentilmente se puoi farmi una lezione veloce e comprensibile sugli integrali partendo dalle origini. vorrei comprendere di più l argomento.(no so praticamente cosa sia un integrale!!!)
    grazie!!
    lorenzo

  2. Ciao Albert.
    Non riesco a risolvere questi due integrali. E’ una media di una potenza nell’unita’ di tempo, unita’ di volume e unita’ di frequenza.
    Le costanti le ometto tanto non centrano nell’integrazione.
    La forma e’:
    E= costanti * { [int e^(- (m v^2 /2kT )) * v dv] / [int e^(- (m v^2 /2kT )) * v^2 dv]}

    1. Ti conviene porre:

      radice cubica di 4x+3 = t
      4x + 3 = t^3
      x = (t^3-3)/4
      dx = 3/4 t^2 dt

      Diventa:

      int t * 3/4 t^2 dt =
      3/4 int t^3 dt =
      = 3/4 * 1/4 t^4 +C =
      = 3/16 t^4 +C = …

    1. è immediato, scrivi la funzione integranda come (5x-3)^(-5):

      int (5x-3)^(-5) dx =
      1/5 int 5(5x-3)^(-5) dx =
      1/5 ((5x-3)^(-4))/(-4) +C =
      -1/(20(5x-3)^4) +C

  3. ciao mi piace un sacco questo sito in molte cose mi ha aiutato ma ho un problema con questo integrale, come si risolve?
    ∫(x^2-3x+2)dx

    1. int (senx)/(3+(cosx)^2) dx =
      1/3 int (senx)/(1+(cosx/rad3)^2) dx =
      (la derivata di cox/rad3 è -senx/rad3)
      = (-rad3)/3 int (-senx/rad3)/(1+(cosx/rad3)^2) dx =
      = -1/rad3 int (-senx/rad3)/(1+(cosx/rad3)^2) dx =
      = -1/rad3 arctg((cosx)/rad3) +C

  4. Ciao Albert, ho risolto questo integrale: int sen x fratto 3+cos al quadrato di x (3+cos al quadrato di x è il denominatore). Risolvendolo mi esce -arcocotg(cosx)+c è questo il risultato o ho sbagliato qualcosa??? grazie in anticipo e soprattutto grazie per la disponibilità

  5. ciao ! chiedo un aiuto per risolvere il seguente integrale indefinito : integrale (senx+cosx)/sen^3(x) dx .
    grazie mille .
    complimenti per la pagina, davvero utile :)

    1. Ciao, grazie!

      int (senx+cosx)/(senx)^3 dx =
      int (senx)/(senx)^3 dx + int (cosx)/(senx)^3 dx =
      int 1/(senx)^2 dx + int (cosx)(senx)^(-3) dx =
      – int -1/(senx)^2 dx + (senx)^(-2) /(-2) =
      – cotgx -1/ (2(senx)^2) +C

  6. ciao a tutti
    vorrei chiedervi gentilmente quale tecnica usare quando devo risolvere integrali di questo tipo

    { 1/ (cosx)^3 dx oppure
    { (cosx – 3(cosx)^3 dx
    non saprei proprio da dove incominciare
    Grazie
    Walter

  7. complimenti davvero albert ^^ ti ringrazio per la risoluzione! alla fine c’ero arrivato!! continua cosi! la matematica è uno stile di vita!
    Grazie ancora!
    by studente 5° anno ITI!
    p.s (sono il ragazzo che ti ha chiesto cos/sen^3x)

  8. Ciao. Potresti dirmi come si calcola questo integrale: radice quadrata di e^x-1 (tutto sotto radice) in dx? Grazie anticipatamente.

    1. potrei suggerire :)
      puoi sostituire (e^x-1)con (t),trovi che dx=dt/(e^x-1) cioe’ dx=dt/t
      sostituendo troverai : integrale di √t/t in dt
      pertanto t^1/2 moltiplicata per t^-1,poi diventa tutto t^-1/2,applica la regola int x^a , dx = {x^{a+1}}/{a+1} + C alla fine sarebba 2√t+c sostituisci il valore della (t) otterrai la soluzione ;)
      la soluzione e’ certamente discutabile
      buon lavoro :)

    1. cosx/(senx)^3 si può scrivere:
      ((cosx)^3)/(senx)^3 * 1/(cosx)^2 =
      (tgx)^(-3) * 1/(cosx)^2

      Visto che 1/(cosx)^2 è la derivata di tgx l’integrale diventa:
      (tgx)^(-2) / (-2) +C =
      -1/2 (tgx)^(-2) +C

    2. Scusami Albert, io ho provato a fare questo integrale ma continua ad uscirmi -1/2*1/sinx^2+c. Io praticamente porto il coseno di x nel differenziale, cosi integrandolo mi diventa senx e poi sostituisco a sinx=t..

  9. Ciao Albert,
    grazie per lo sforzo che ci da per aiutarci :)
    vorrei il tuo aiuto per risolvere sta problema :
    int. di e^x^2 ( e elevato x al quadrato)
    sono egizioano e ti ringarzio ancora ;)

  10. Ciao Rossella,

    int x^2 (log(3x) – e^(2x)) dx =

    int x^2 log(3x) dx – int x^2 e^(2x) dx =

    il primo lo fai per parti derivando log(3x) e integrando x^2, mentre il secondo lo fai per parti (2 volte) derivando x^2. Alla fine ottieni (vai al link):

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=int++x^2+%28log%283x%29+-+e^%282x%29%29+dx

    Il risultato finale (che ha incognita C) lo poni uguale ad e, e al posto di x metti 1/3. Fai i conti e ottieni C.

    Sostituisci il valore trovato al posto di C, e hai così la funzione cercata.

  11. Albert davvero complimenti per questo ottimo sito!!
    Volevo chiederti, se puoi, come si svolge questo integrale:
    int di x^2 (log(3x) – e^2x) dx.
    Inoltre, mi chiede di determinare la primitiva che passa per il punto di coordinate (1/3, e), ma come bisogna svolgerlo?? Grazie tante Albert!!!

  12. Grazie grazie!!

    Riguardo alla domanda precedente:

    int (2x+5)/sqrt(25-x^2) dx

    Lo separi in due parti:

    int (2x)/sqrt(25-x^2) dx + int 5/sqrt(25-x^2) dx =

    int (2x)(25-x^2)^(-1/2) dx + int 5/sqrt(25-x^2) dx

    Il primo è immediato, il secondo lo fai per sostituzione, con t=sqrt(25-x^2)

  13. SEI UN GRANDE! Sono tra i migliori esercizi che ho trovato su internet, perché ci sono davvero tutti i passaggi, ma sono anche graduali! Grazie mille.

  14. Ciao Albert. Ho notato che in questo sito è possibile chiedere e per fotuna aver anche risposta!!Ho problemi con questo integrale e vorrei,gentilmente,chiederti un aiuto. Ti metto l integrale:
    ∫(e^2x-2e^x+2)/(e^2x-2e^x+1) dx

    Ho notato che li denominatore ha delta=0 e quindi (e^x-1)^2,ma per il resto non capisco cm impostarlo.
    Ti ringrazio

  15. Ciao Anonimo,

    Il primo lo risolvi applicando per due volte il metodo di integrazione per parti: cominci derivando x^2, e integrando senx. Poi ti ritroverai con un altro integrale del tipo x*cosx (costanti e segni a parte): integri di nuovo per parti, derivando la x, e integrando cosx…

    Il secondo integrale è immediato, perchè 1/x è la derivata della funzione (3+logx), quindi il risultato è:

    1/3 * (3+logx)^3 + C

  16. Ciao Albert. Ho un dubbio su un integrale fratto con un polinomio di 4 grado al numeratore e di 3 grado al denominatore..penso di dover fare Ruffini,ma vorrei esser sicura..te lo posto sotto:
    x^4 – 3x^2 – 1 N

    x^3 – 1 D

    Ti ringrazio

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