Teoria degli insiemi

La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e si colloca nell’ambito della logica matematica. Prima della metà del sec. XIX la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. Essa è stata inizialmente sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem. [Fonte: Wikipedia]

Formulari di teoria degli insiemi:

Proprietà delle operazioni – Formulario

Esercizi svolti di teoria degli insiemi:

Insiemi e sottoinsiemi – Batteria 1 (11 esercizi svolti)
Insiemi e sottoinsiemi – Batteria 2 (11 esercizi svolti)
Operazioni con gli insiemi (12 esercizi svolti)
Esercizio di applicazione 1
Esercizio di applicazione 2
Prodotto cartesiano (11 esercizi svolti)

Clicca qui per consultare la teoria: Capitolo 1 – Teoria degli insiemi

21 thoughts on “Teoria degli insiemi

  1. Sia Z = FX (simbolo di intersezione) FY dove X e Y sono definiti come segue:
    X= {10/n+1 con n appartiene a N} Y = [0; 2] .
    Quale delle seguenti affermazioni è vera?
    ( FX ed FY indicano la “frontiera” di X e Y)
    Z = {0,2}
    Z = {0,5}
    Z = {0}
    Z = X
    Nessuna delle altre risposte
    non so cosa devo fare!!!

    1. L’insieme X è composto dai valori 10/2=5; 10/3; 10/4=5/2; 10/5=2; 10/6=5/3; 10/7; … ; e via via così all’infinito. Nota che i valori appartenenti ad X partono da 5 e diminusconi sempre di più tendendo a zero, quindi FX={0,5}.
      FY={0,2} ovvero i confini dell’intervallo [0; 2].

      Quindi FX intersecato FY = {0}

  2. Siano A e B due insiemi tali che |A |= 2 , |B|=5 e |A∪ B| = 6 . Quale delle seguenti affermazioni è vera?
    |A∩ B| = ∅
    A ⊆ B
    |B − A| = 4
    |B − A| = 3
    Nessuna delle altre risposte

    1. Se A∪B ha 6 elementi allora A e B hanno un elemento in comune (perchè se non ne avessero avremmo avuto |A∪B|=2+5=7), quindi |A∩B|=1 (ed escludiamo la prima). A non è contenuto in B perchè ha uno dei suoi elementi che non appartiene a B quindi escludiamo la seconda. Se tolgo a B gli elementi di A ne tolgo solo uno, quindi |B-A|=5-1=4, e la terza è quella vera.

  3. Dato l’insieme N = {1, 2, 3, . . .} e la relazione bina-
    ria R definita su N da
    aRb <=> a/b è divisibile per 3 a,b appartengono a N
    quale delle seguenti affermazioni ´e vera?
    (Es: 6 ´e in relazione con 2 ma 5 non ´e in relazione
    con 2)
    R ´e transitiva
    R ´e una relazione d’ordinamento
    R non ´e riflessiva n´e transitiva
    R ´e una relazione di equivalenza
    Grazie

    1. a) R è transitiva.

      Perchè se a/b e b/c sono divisibili per 3, anche a/c (= a/b * b/c) lo è.

      Non è riflessiva (e si escludono le risposte b,c,d) perchè a/a=1 che non è divisibile per 3.

  4. 81) Il responsabile della biblioteca dell’Istituto “Gobbar” ha avuto l’incarico dal Dirigente
    Scolastico dell’acquisto di alcuni libri per favorire la lettura da parte degli alunni dell’Istituto.
    Agli alunni viene sottoposto un questionario nel quale esprimere la preferenza fra romanzo
    storico, romanzo giallo e romanzo d’avventura.
    Dal questionario è emerso che su 666 alunni:
    – 55 alunni gradiscono tutti e tre i generi;
    – 127 alunni gradiscono il romanzo giallo e quello d’avventura;
    – 95 alunni gradiscono il romanzo storico e quello giallo, ma non quello d’avventura;
    – 178 alunni gradiscono il romanzo d’avventura e almeno uno fra il romanzo storico e
    quello giallo;
    – 36 gradiscono solo il romanzo storico;
    – 419 almeno uno fra il romanzo storico ed il romanzo giallo;
    – 513 alunni gradiscono almeno uno fra il romanzo giallo e quello d’avventura.
    A quanti alunni della scuola non piace nessuno dei tre generi?
    (Rappresenta il modello del problema utilizzando i diagrammi di Eulero – Venn).

  5. aiutami sui problemi della teoria degli insiemi.. Il testo e questo: Supponiamo che da un indagine risulti che il 10% degli spettatori dei diversi programmi televisivi vede abitualmente tutti i 3 canali della RAI,il 20% il I e il III canale, il 20% il II e il III canale, il 40% il I e il II canale, il 70% i l il I canale, il 55% il II canale,il 30% il III canale. Quanti spettatori seguono solamente le televisioni private? Grazie!!

    1. I e II canale:
      40 – 10 = 30%

      I e III canale:
      20 – 10 = 10%

      II e III canale:
      20 – 10 = 10%

      Solo I canale:
      70 – 30 – 10 – 10 = 20%

      Solo II canale:
      55 – 30 – 10 – 10 = 5%

      Solo I canale:
      30 – 10 – 10 – 10 = 0%

      TV private:
      100 – 30 – 10 – 10 – 10 – 20 – 5 – 0 = 15%

      Ti conviene disegnarti un diagramma di Eulero Venn (con 3 cerchi intrecciati) per capire meglio…

  6. Ciao :) devo fare un problema sulla teoria degli insiemi; il problema è questo: in una scuola americana 60 alunni frequentano il corso di italiano, 60 quello di francese e 120 quello di spagnolo. tutti frequentano almeno uno dei suddetti corsi, 10 li frequentano tutti e tre, 30 frequentano almeno italiano e spagnolo, 77 almeno due corsi e 34 frequentano francese e spagnolo, ma non italiano. trovare quanti frequentano italiano e francese e non spagnolo, quanti italiano e spagnolo e non francese, quanti solo italiano, quanti solo francese, quanti solo spagnolo.

    grazie, x favore in anticipo :)

    1. italiano e spagnolo e non francese:
      30 – 10 = 20

      italiano e francese e non spagnolo:
      77 – 34 – 20 – 10 = 13

      solo italiano:
      60 – 20 – 10 – 13 = 17

      solo francese:
      60 – 34 – 10 – 13 = 3

      solo spagnolo:
      120 – 34 – 10 – 20 = 56

      E se ti aiuti con un diagramma di Eulero Venn (con 3 cerchi intrecciati) capisci ancora meglio…

  7. Grazie mille!!..sei stato chiarissimo!!..quindi in questo:
    X sia un insieme nito; supponiamo di sapere che le funzioni f : X -> f(0,1,2) sono 81. Quanti
    elementi ha X?..devo fare l’operazione inversa?…scusa il disturbo e grazie!!

  8. Ciao Anonimo,

    Visto che f è una funzione dobbiamo associare ad ogni x una ed una sola y.

    – f(1)=1
    – f(3)=1

    Non sappiamo quanto valgono f(2), f(4) e f(5). Sappiamo però che, dovendo essere diversi da 1, potranno valere 2, 3, 4, 5, 6 oppure 7. Quindi ci sono 3 variabili che non conosciamo (f(2), f(4) e f(5)) e 6 possibilità per ognuna (2, 3, 4, 5, 6 oppure 7). Per trovare le combinazioni calcoliamo:

    6^3=216 funzioni possibili.

  9. Ciao Albert come svolgo questo esercizio di insiemistica:
    Siano X := {1; 2; 3; 4; 5} e Y := {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Dire quante sono le funzioni f : X → Y , tali
    che f(1) = f(3) = 1 e f(x) ̸= 1 per x ̸= 1 e x ̸= 3.
    GRAZIE!!

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