Studio di funzioni – Esercizio 8

 

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Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=2x^{2}\ln x \] 1) Dominio: \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=2x^{2}\ln\left(-x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow\ln x>0\rightarrow x>1 \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\left[0\cdot\infty\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{2\ln x}{x^{-2}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Risolviamolo con De L’Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{2x^{-1}}{-2x^{-3}} \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}-x^{2}=0^{-} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=4x\ln x+2x^{2}\cdot\frac{1}{x} \] \[ f’\left(x\right)=2x\left(2\ln x+1\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow2\ln x+1\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln x\geq-\frac{1}{2} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq e^{-\frac{1}{2}} \] Otteniamo quindi un minimo per \[ x_{MIN}=e^{-\frac{1}{2}} \] Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=2\left(2\ln x+1\right)+2x\cdot\frac{2}{x} \] \[ f”\left(x\right)=4\ln x+6 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow4\ln x+6\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln x\geq-\frac{3}{2} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq e^{-\frac{3}{2}} \] Otteniamo un punto di flesso: \[ x_{F}=e^{-\frac{3}{2}} \]

 

 

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29 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 8

  1. immagina che la funzione si scritta 2/1 * X^2/1 * lnx/1 sapendo che scrive a/b / c/d è uguale ascrive a/b * d/c , la funzione viene riscritta come 2/1 * lnx/1 : 1/X^2 ( 1/X^2 si può anche scrivere come X^-2) da qui la forma finale 2lnx/x^-2

  2. Ciao, ho provato a risolvere da sola il limite per x->0+ con un metodo diverso, ma il risultato è lo stesso e vorrei sapere se è corretto: Ho convertito il lnx nella sua forma esponenziale, quindi come e^x; se ne calcolo il limite mi viene e^0 che fa 1, quindi alla fine mi ritrovo 0*1=0. è ugualmente corretto o devo passare per de l’hopital obbligatoriamente?

  3. Ciao, non ho capito il secondo passaggio del calcolo del limite per x che tende a zero (il passaggio prima di De l’Hopital).. Come fa a venirti 2Logx fratto x elevato alla -2?! non capisco se è una propietà particolare dei limiti o un trucco algebrico.. grazie mille

    1. Perché il segno di 2x ti verrebbe x maggiore di 0 e quindi l’ipotesi viene assorbita da quella del logaritmo

  4. Ciao, volevo chiederti, sul punto di flesso ti viene e^(-3\2) io facendo un calcolo un po’ diverso mi viene -erade è la stessa cosa o ho sbagliato?

  5. Ciao Albert, ho una funzione f(x)= xlogx e non riesco a trovare i limiti e il segno della derivata prima! Come devo fare?

    1. Limiti:

      Per x->+inf f tende a (+inf)(+inf)=+inf

      Per x->0+ ti viene una forma indeterminata 0*inf che si risolve con de l’hopital una volta scritta la funzione come logx/(1/x)

      Derivata:

      f’=logx +x*1/x = logx +1
      f’>0 -> logx>-1 -> x>e^(-1)

    1. Applico la regola di derivazione di un prodotto di funzioni:

      f(x)=g(x)h(x)
      f(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)

      In questo caso:
      g(x)=2x^2
      g'(x)=4x
      h(x)=ln(x)
      h'(x)=1/x

      Quindi:
      f'(x)=4xln(x) +2x^2 1/x
      semplifico la x:
      f'(x)=4xln(x) +2x
      e raccolgo il 2x:
      f'(x)=2x(2ln(x) +1)

  6. Ciao Anonimo,

    sostituisco x=e^(-1/2) nella funzione iniziale, ecco i passaggi:

    f(e^(-1/2)) = 2 * (e^(-1/2))^2 * ln(e^(-1/2))

    f(e^(-1/2)) = 2 * e^(-1) * (-1/2)

    f(e^(-1/2)) = -1 * 1/e = -1/e

  7. Ciao Daniele,

    la derivata del numeratore lnx è 1/x. La derivata del denominatore 1/(2x^2)=(x^(-2))/2 è (-2x^(-2))/2=-1/x^3.

    Quindi il limite diventa:
    lim (1/x)/(-1/x^3) =
    lim (1/x):(-1/x^3) =
    lim (1/x)(-x^3) =
    lim -x^2 = 0

  8. Ciao! Ancora non riesco a capire come fa a venire la derivata del denominatore nel limite che tende a 0 quando usi de l’Hopital…. (quello nella parentesi tonda)
    Grazie!

  9. Ciao Anonimo,
    Annullarsi significa valere zero ,che è un numero come gli altri. Per x=1, proprio perchè la funzione si annulla, essa ESISTE e vale y=0.

  10. Ciao..
    Nalcampo di esistenza non si dovrebbe mettere anche x diverso da 1 visto che il log di 1 è zero e si annullerebbe tutta la funzione??

  11. Quella che sta nella parentesi tonda è la derivata del denominatore, invece 1/x è la derivata del numeratore: ho applicato il teorema di De L’Hopital.

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