Studio di funzioni – Esercizio 8

 

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it


Studiare la seguente funzione: \[ f\left(x\right)=2x^{2}\ln x \] 1) Dominio: \[ D=\left(0;+\infty\right) \] 2) Simmetrie: \[ f\left(-x\right)=2x^{2}\ln\left(-x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq f\left(x\right) \] \[ f\left(-x\right)\neq-f\left(x\right) \] f(x) non è ne pari ne dispari.

3) Intersezioni con gli assi: \[ \left\{ \begin{array}{c} f\left(x\right)=0\\ x=1 \end{array}\right.\rightarrow\left(1;0\right)\in f\left(x\right) \] 4) Segno: \[ f\left(x\right)>0\rightarrow\ln x>0\rightarrow x>1 \] 5) Limiti: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\left[0\cdot\infty\right] \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{2\ln x}{x^{-2}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \] Risolviamolo con De L’Hopital: \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{2x^{-1}}{-2x^{-3}} \] \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}-x^{2}=0^{-} \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty \] Non ci sono asintoti obliqui.

6) Derivate:

Calcoliamo la derivata prima: \[ f’\left(x\right)=4x\ln x+2x^{2}\cdot\frac{1}{x} \] \[ f’\left(x\right)=2x\left(2\ln x+1\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow2\ln x+1\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln x\geq-\frac{1}{2} \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq e^{-\frac{1}{2}} \] Otteniamo quindi un minimo per \[ x_{MIN}=e^{-\frac{1}{2}} \] Derivata seconda: \[ f”\left(x\right)=2\left(2\ln x+1\right)+2x\cdot\frac{2}{x} \] \[ f”\left(x\right)=4\ln x+6 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow4\ln x+6\geq0 \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow\ln x\geq-\frac{3}{2} \] \[ f”\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq e^{-\frac{3}{2}} \] Otteniamo un punto di flesso: \[ x_{F}=e^{-\frac{3}{2}} \]

Studio 2Bdi 2Bfunzioni 2B08 2Bgrafico

 

 

Scarica tutti i 101 studi in formato PDF e sostieni il progetto Matepratica con soli 3,99€: clicca qui per effettuare il pagamento, riceverai subito un link via mail dove poter scaricare uno Zip con tutti gli studi pubblicati sul sito in versione PDF. Per ulteriori info scrivi a info@matepratica.it

29 thoughts on “Studio di funzioni – Esercizio 8

  1. immagina che la funzione si scritta 2/1 * X^2/1 * lnx/1 sapendo che scrive a/b / c/d è uguale ascrive a/b * d/c , la funzione viene riscritta come 2/1 * lnx/1 : 1/X^2 ( 1/X^2 si può anche scrivere come X^-2) da qui la forma finale 2lnx/x^-2

  2. Ciao, ho provato a risolvere da sola il limite per x->0+ con un metodo diverso, ma il risultato è lo stesso e vorrei sapere se è corretto: Ho convertito il lnx nella sua forma esponenziale, quindi come e^x; se ne calcolo il limite mi viene e^0 che fa 1, quindi alla fine mi ritrovo 0*1=0. è ugualmente corretto o devo passare per de l’hopital obbligatoriamente?

  3. Ciao, non ho capito il secondo passaggio del calcolo del limite per x che tende a zero (il passaggio prima di De l’Hopital).. Come fa a venirti 2Logx fratto x elevato alla -2?! non capisco se è una propietà particolare dei limiti o un trucco algebrico.. grazie mille

    1. Perché il segno di 2x ti verrebbe x maggiore di 0 e quindi l’ipotesi viene assorbita da quella del logaritmo

  4. Ciao Albert, ho una funzione f(x)= xlogx e non riesco a trovare i limiti e il segno della derivata prima! Come devo fare?

    1. Limiti:

      Per x->+inf f tende a (+inf)(+inf)=+inf

      Per x->0+ ti viene una forma indeterminata 0*inf che si risolve con de l’hopital una volta scritta la funzione come logx/(1/x)

      Derivata:

      f’=logx +x*1/x = logx +1
      f’>0 -> logx>-1 -> x>e^(-1)

    1. Applico la regola di derivazione di un prodotto di funzioni:

      f(x)=g(x)h(x)
      f(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)

      In questo caso:
      g(x)=2x^2
      g'(x)=4x
      h(x)=ln(x)
      h'(x)=1/x

      Quindi:
      f'(x)=4xln(x) +2x^2 1/x
      semplifico la x:
      f'(x)=4xln(x) +2x
      e raccolgo il 2x:
      f'(x)=2x(2ln(x) +1)

  5. Ciao Anonimo,

    sostituisco x=e^(-1/2) nella funzione iniziale, ecco i passaggi:

    f(e^(-1/2)) = 2 * (e^(-1/2))^2 * ln(e^(-1/2))

    f(e^(-1/2)) = 2 * e^(-1) * (-1/2)

    f(e^(-1/2)) = -1 * 1/e = -1/e

  6. Ciao Daniele,

    la derivata del numeratore lnx è 1/x. La derivata del denominatore 1/(2x^2)=(x^(-2))/2 è (-2x^(-2))/2=-1/x^3.

    Quindi il limite diventa:
    lim (1/x)/(-1/x^3) =
    lim (1/x):(-1/x^3) =
    lim (1/x)(-x^3) =
    lim -x^2 = 0

  7. Ciao! Ancora non riesco a capire come fa a venire la derivata del denominatore nel limite che tende a 0 quando usi de l’Hopital…. (quello nella parentesi tonda)
    Grazie!

  8. Ciao Anonimo,
    Annullarsi significa valere zero ,che è un numero come gli altri. Per x=1, proprio perchè la funzione si annulla, essa ESISTE e vale y=0.

  9. Ciao..
    Nalcampo di esistenza non si dovrebbe mettere anche x diverso da 1 visto che il log di 1 è zero e si annullerebbe tutta la funzione??

  10. Quella che sta nella parentesi tonda è la derivata del denominatore, invece 1/x è la derivata del numeratore: ho applicato il teorema di De L’Hopital.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *