Derivate e rette tangenti

Scrivere l’ equazione della tangente al grafico di ciascuna delle seguenti curve nei punti la cui ascissa è indicata a fianco:

Esercizio 1 \[ f\left(x\right)=\frac{x+2}{x}\;,\; x_{0}=-1 \] Soluzione

Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R}-\left\{ 0\right\} \] Calcoliamo la derivata f'(x): \[ f’\left(x\right)=\frac{x-\left(x+2\right)}{x^{2}} \] \[ f’\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2}} \] Il valore della derivata in x=-1 corrisponde al coefficiente angolare m della retta tangente al grafico f(x) nel punto x=-1: \[ m=f’\left(-1\right)=-\frac{2}{\left(-1\right)^{2}} \] \[ m=-2 \] Calcoliamo ora l’ ordinata della funzione f(x) nel punto dato: \[ y_{0}=f\left(-1\right)=\frac{-1+2}{-1} \] \[ y_{0}=-1 \] quindi la retta tangente che stiamo cercando deve passare per il punto \[ P\left(-1;-1\right) \] Utilizziamo ora la formula della retta passante per un punto P, con m noto e q incognito: \[ y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right) \] \[ y+1=-2\left(x+1\right) \] \[ y=-2x-2-1 \] La retta cercata ha quindi equazione \[ y=-2x-3 \] Esercizio 2 \[ f\left(x\right)=\sqrt{3x^{2}-2}\;,\; x_{0}=-3 \] Soluzione

Il dominio della funzione data è \[ D=\left(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right]\cup\left[+\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty\right) \] Calcoliamo la derivata f'(x): \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{3x^{2}-2}}\cdot6x \] \[ f’\left(x\right)=\frac{3x}{\sqrt{3x^{2}-2}} \] Il valore della derivata in x=-3 corrisponde al coefficiente angolare m della retta tangente al grafico f(x) nel punto x=-3: \[ m=f’\left(-3\right)=\frac{3\left(-3\right)}{\sqrt{3\left(-3\right)^{2}-2}} \] \[ m=-\frac{9}{5} \] Calcoliamo ora l’ ordinata della funzione f(x) nel punto dato: \[ y_{0}=f\left(-3\right)=\sqrt{3\left(-3\right)^{2}-2} \] \[ y_{0}=5 \] quindi la retta tangente che stiamo cercando deve passare per il punto \[ P\left(-3;5\right) \] Utilizziamo ora la formula della retta passante per un punto P, con m noto e q incognito: \[ y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right) \] \[ y-5=-\frac{9}{5}\left(x+3\right) \] \[ y=-\frac{9}{5}x-\frac{27}{5}+5 \] La retta cercata ha quindi equazione \[ y=-\frac{9}{5}x-\frac{2}{5} \] Esercizio 3 \[ f\left(x\right)=\ln x\;,\; x_{0}=e \] Soluzione

Il dominio della funzione data è \[ D=\left(0;+\infty\right) \] Calcoliamo la derivata f'(x): \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{x} \] Il valore della derivata in x=e corrisponde al coefficiente angolare m della retta tangente al grafico f(x) nel punto x=e: \[ m=f’\left(e\right)=\frac{1}{e} \] \[ m=\frac{1}{e} \] Calcoliamo ora l’ ordinata della funzione f(x) nel punto dato: \[ y_{0}=f\left(e\right)=\ln e \] \[ y_{0}=1 \] quindi la retta tangente che stiamo cercando deve passare per il punto \[ P\left(e;1\right) \] Utilizziamo ora la formula della retta passante per un punto P, con m noto e q incognito: \[ y-1=\frac{1}{e}\left(x-e\right) \] \[ y=\frac{1}{e}x-1+1 \] La retta cercata ha quindi equazione \[ y=\frac{1}{e}x \] oppure, in forma implicita: \[ x-ey=0 \] Esercizio 4 \[ f\left(x\right)=x-\cos x\;,\; x_{0}=0 \] Soluzione

Il dominio della funzione data è \[ D=\mathbb{R} \] Calcoliamo la derivata f'(x): \[ f’\left(x\right)=1+\sin x \] Il valore della derivata in x=0 corrisponde al coefficiente angolare m della retta tangente al grafico f(x) nel punto x=0: \[ m=f’\left(0\right)=1+\sin0 \] \[ m=1 \] Calcoliamo ora l’ ordinata della funzione f(x) nel punto dato: \[ y_{0}=f\left(0\right)=0-\cos0 \] \[ y_{0}=-1 \] quindi la retta tangente che stiamo cercando deve passare per il punto \[ P\left(0;-1\right) \] Utilizziamo ora la formula della retta passante per un punto P, con m noto e q incognito: \[ y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right) \] \[ y+1=1\cdot\left(x-0\right) \] La retta cercata ha quindi equazione \[ y=x-1 \]

10 thoughts on “Derivate e rette tangenti

  1. Buonasera,
    Devo trovarmi l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa 0 della seguente funzione:
    y= log (x+1) / x
    Sto avendo delle difficoltà perché mi sono comparse delle frazioni con numeratore uguale a 0 e non so come semplificarli!
    La ringrazio anticipatamente

  2. Ciao Albert
    devo trovare la retta tangente a f(x)= x(log(x) – 1) nel punto di ascissa x0=rad di e. f'(x0) mi viene rad di e (log rad di e – 1) ma non mi trovo poi nel calcolo della retta. perché la derivata di f(x) è log x e quindi m=log rad di 3. Ma non mi viene!! Grazie mille!!

    1. E con questa funzione f(x)= x^x nel punto x0=1/2?
      Allora f(x0)=(rad di 2)/2
      f'(x)= x^x (1+log x)
      m mi viene = (rad di 2/2) + log di (rad di 2/4)
      ma nel calcolo non riesco ad ottenere il risultato! è giusto fin qua?

    2. f(x)= x(log(x) – 1)
      f'(x)= log(x)

      m=log(rad(e))=1/2
      f(rad(e))=rad(e)(1/2 -1)= -rad(e)/2

      tangente:
      y +rad(e)/2 = 1/2(x-rad(e))
      y= (1/2)x -rad(e)

      f(x)= x^x
      f'(x)= x^x (lnx +1)

      m=rad(2)/2 (-ln2 +1)
      f(1/2)=rad(2)/2

      tangente:
      y +rad(2)/2 = rad(2)/2 (-ln2 +1)(x-rad(2)/2)
      y= rad(2)/2 (-ln2 +1) x -1/2 (-ln2 +1) -rad(2)/2

  3. sei stato veramente chiarissimo… ora volevo chiederti devo trovare la retta tangente di questa funzione:xe1/x mi sono trovate la derivata che è x-1/x *e1/x il mio punto di ascisse è 2… per trovarmi la y0ho sostituito il due nella mia funzione e mi viene 2*e^1/2 che posso scriverla come 2 radice di e???poi mi sono trovata la m e mi viene 2/2*e^1/2 posso anche scriverla come 2 radice di e/2?????… retta tangente y-2 radice di e=2radice di e/2(x-2) il risultato è radice di e fratto 2(x+2)

    1. f(x)=xe^(1/x)
      yo=f(2)=2e^(1/2)=2rad(e)

      f'(x)=(x-1)/x *e^(1/x)
      m=f'(2)= 1/2 e^(1/2)= rad(e)/2

      Retta tangente:
      y-2rad(e)= rad(e)/2 (x-2)
      y= rad(e)/2 x -rad(e) +2rad(e)
      y= rad(e)/2 x +rad(e)

  4. dovrei trovare la retta tangente di questa funxione: e^1/x^2-4x+3 con ascissa xo=0 mi sono travate anche la yo:e^1/3 e ho scritto e/3… la derivata è 2(2-x)*e^1/x^2-4x+3 tutto fratto (x^2-4x+3)^2… il risultato della mia retta tangente deve essere 4/9radice3 di ex+radice di e…. come fa a venire la radice????

    1. f(x)=e^(1/(x^2-4x+3))
      yo=f(0)=e^(1/3) ( = radice terza di e )

      f'(x)=(2(2-x)e^(1/(x^2-4x+3)))/(x^2-4x+3)^2
      m=f'(0)= 4/9 e^(1/3)

      Retta tangente:
      y-e^(1/3)=4/9 e^(1/3) (x-0)
      y=4/9 e^(1/3) x +e^(1/3)

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