Massimi e minimi – Problema 12

Determinare il massimo dell’area di un trapezio isoscele, dati la base minore b e il lato obliquo c.

Soluzione

Rappresentazione grafica:

Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{DC}=b \] \[ \overline{BC}=\overline{AD}=c \] \[ \overline{HB}=x \] Risulta \[ \overline{AB}=b+2x \] \[ \overline{CH}=\sqrt{c^{2}-x^{2}} \] L’area del trapezio vale \[ A=\frac{\left(\overline{AB}+\overline{DC}\right)\cdot\overline{CH}}{2} \] Viste le considerazioni sopra, possiamo scrivere questa area in funzione di una sola variabile (x): \[ A=\frac{\left(b+2x+b\right)\sqrt{c^{2}-x^{2}}}{2} \] \[ A=\frac{\left(2x+2b\right)\sqrt{c^{2}-x^{2}}}{2} \] \[ A=\left(x+b\right)\sqrt{c^{2}-x^{2}} \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{dA}{dx}=\sqrt{c^{2}-x^{2}}+\frac{-2x\left(x+b\right)}{2\sqrt{c^{2}-x^{2}}} \] \[ \frac{dA}{dx}=\sqrt{c^{2}-x^{2}}-\frac{x^{2}+bx}{\sqrt{c^{2}-x^{2}}} \] \[ \frac{dA}{dx}=\frac{c^{2}-x^{2}-x^{2}-bx}{\sqrt{c^{2}-x^{2}}} \] \[ \frac{dA}{dx}=\frac{-2x^{2}-bx+c^{2}}{\sqrt{c^{2}-x^{2}}} \] Studiamone il segno: \[ \frac{dA}{dx}\geq0\rightarrow-2x^{2}-bx+c^{2}\geq0 \] perchè il denominatore è positivo. Otteniamo: \[ \frac{dA}{dx}\geq0\rightarrow2x^{2}+bx-c^{2}\leq0 \] Ricordandoci che x non può essere negativo, facendo i conti otteniamo \[ \frac{dA}{dx}\geq0\rightarrow x\leq\frac{-b+\sqrt{b^{2}+8c^{2}}}{4} \] Ora, chiamando per comodità \[ x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}+8c^{2}}}{4} \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione A è positiva. La funzione A(x) è crescente per x minore di x1, decrescente per x maggiore di x1, ha quindi un massimo per \[ x=x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}+8c^{2}}}{4} \]

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