Massimi e minimi – Problema 3

Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dei cateti?

Soluzione

Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Poniamo \[ s=a+b \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e i, grazie al teorema di Pitagora: \[ a=\sqrt{i^{2}-b^{2}} \] Ora la nostra funzione somma ha una sola variabile (b): \[ s\left(b\right)=\sqrt{i^{2}-b^{2}}+b \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{ds}{db}=\frac{-2b}{2\sqrt{i^{2}-b^{2}}}+1 \] \[ \frac{ds}{db}=\frac{-b}{\sqrt{i^{2}-b^{2}}}+1 \] \[ \frac{ds}{db}=\frac{-b+\sqrt{i^{2}-b^{2}}}{\sqrt{i^{2}-b^{2}}} \] Studiamone il segno: \[ \frac{ds}{db}\geq0 \] \[ -b+\sqrt{i^{2}-b^{2}}\geq0 \] \[ \sqrt{i^{2}-b^{2}}\geq b \] \[ i^{2}-b^{2}\geq b^{2}\rightarrow2b^{2}\leq i^{2} \] \[ b\leq\frac{\sqrt{2}}{2}i \] Abbiamo trovato l’intervallo di b per il quale la derivata della funzione somma è positiva. La funzione s=a+b ha quindi un massimo per \[ b=\frac{\sqrt{2}}{2}i \] e per \[ a=\sqrt{i^{2}-\frac{1}{2}i^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}i=b \] La funzione s=a+b ha quindi un massimo quando il triangolo rettangolo è anche isoscele: \[ a=b \]

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