Massimi e minimi – Problema 8

Di tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro 2P, qual’è quello di superficie massima?

Soluzione

Dato un rettangolo generico di base b e altezza h, l’area vale \[ A=bh \] Visto che il perimetro è costante, possiamo ricavarci h in funzione di b: \[ 2P=2\left(b+h\right)\rightarrow P=b+h \] \[ h=P-b \] Ora la nostra funzione A ha una sola variabile (b): \[ A\left(b\right)=b\left(P-b\right) \] \[ A\left(b\right)=bP-b^{2} \] Calcoliamo la derivata: \[ \frac{dA}{db}=P-2b \] Studiamone il segno: \[ \frac{dA}{db}\geq0\rightarrow P-2b\geq0 \] \[ b\leq\frac{P}{2} \] Abbiamo trovato l’intervallo di b per il quale la derivata della funzione A è positiva. La funzione A(b) è crescente per b minore di P/2, decrescente per b maggiore di P/2, ha quindi un massimo per \[ b=\frac{P}{2} \] \[ h=P-b\rightarrow h=\frac{P}{2} \] Quindi \[ b=h \] e il rettangolo per il quale si massimizza l’area è il quadrato.

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