Coefficiente di variazione e asimmetria di una distribuzione

Relativamente ai voti riportati da 10 studenti nell’esame X, si dispone delle seguenti informazioni: voto medio aritmetico 23.4; voto mediano 22; somma dei quadrati degli scarti dalla mediana 190. Calcolare il coefficiente di variazione e misurare l’asimmetria della distribuzione.

Soluzione

Il coefficiente di variazione \(CV\) è un indice di dispersione dato dal rapporto tra la deviazione standard e il valore assoluto della media

\[CV=\frac{\sqrt{\sigma^2}}{|\mu|}=\frac{\sigma}{|\mu|}\]

e, poichè non è espressa nell’unità di misura dei dati, ci permette di confrontare dati con unità di misura differenti.

Avendo
1) la somma dei quadrati degli scarti dalla mediana \(sqMe =190\),
2) il numero dei dati \(n=10\) della distribuzione,
3) il valore medio \(\mu=23.4\),
4) il valore mediano \(Me=22\).

Possiamo calcolare la somma dei quadrati degli scarti dalla media, chiamata pure devianza \(Dev\) (numeratore della varianza), calcolando l’inversa della seguente formula:

\[sqMe=Dev+n*(\mu-Me)^2\]

ossia,

\[Dev=sqMe-n*(\mu-Me)^2=190-10*(23.4-22)^2=170.4\]

Adesso, possiamo determinare la varianza dividendo la devianza per il numero dei dati:

\[\sigma^2=\frac{Dev}{n}=\frac{170.4}{10}=17.04\]

Quindi, il CV sarà:

\[CV=\frac{\sqrt{\sigma^2}}{|\mu|}=\frac{\sqrt{17.04}}{23.4}=0.1764\]

Per misurare la simmetria della distribuzione, possiamo semplicemente utilizzare la differenza

\[\mu-Me=23.4-22=1.4\]

e dire che, poichè tale indice è positivo, l’asimmetria è positiva.
Un’asimmetria positiva ci dice che il grafico della distribuzione presenta una cosa allungata verso destra come mostra la figura qui in basso:

Alcune volte, si usa normalizzare tale indice dividendo la differenza per la deviazione standard:

\[\frac{\mu-Me}{\sigma}\]