Si sa che gli studenti di un dato corso di laurea mediamente superano 4.7 esami in un anno. Determinare la probabilità che uno studente superi:
a) meno di tre esami l’anno;
b) almeno 4 esami l’anno;
c) 2 esami in un trimestre.

Soluzione

a) Se indichiamo con X il numero di esami superati in un anno, abbiamo che X ha distribuzione di Poisson con parametro \(\lambda=4.7\). La probabilità richiesta è:

\(\begin{eqnarray}
P(X < 3)&=& P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\\
&=& \frac{e^{-4.7}4.7^0}{0!}+\frac{e^{-4.7}4.7^1}{1!}+\frac{e^{-4.7}4.7^2}{2!}=0.1523\end{eqnarray}\)

b) L'evento "Almeno quattro esami in un anno" si traduce in \(X\geq 4\) e la sua probabilità è:

\(\begin{eqnarray}
P(X\geq 4)&=& 1-P(X\leq 3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]=\\
&=& 1-\left[0.1523+\frac{e^{-4.7}4.7^3}{3!}\right]=0.6903 \frac{e^{-4.7}4.7^0}{0!}+\frac{e^{-4.7}4.7^1}{1!}+\frac{e^{-4.7}4.7^2}{2!}=0.1523\end{eqnarray}\)

c) Dato che l'intervallo non è più l'anno ma il trimestre (la quarta parte di un anno), il nuovo valore medio sarà \(\lambda =\frac{4.7}{4}=1.175\). La probabilità richiesta è:

\(P(X=2)=\frac{e^{-1.57}1.57^2}{2!}=0.2132\)