scomposizioni

A questo punto conosci le principali regole per la somma, differenza, prodotto e quoziente fra polinomi e, analogamente a quanto e’ stato fatto nei numeri, ora bisogna parlare di frazioni cioe’ dovremo fare le frazioni con i polinomi e quindi dovremo, analogamente ai numeri, scomporre un polinomio in fattori. Questa e’ la parte piu’ difficile di tutta la matematica e, se ti puo’ consolare, una volta capito questo argomento, tutti gli altri argomenti che affronteremo saranno molto piu’ semplici Scomposizione di un polinomio in fattori

• Perche’ la scomposizione
• Raccoglimento a fattor comune
• Metodo di Ruffini
• Scomposizioni secondo i prodotti notevoli
• Somma e differenza di potenze
• Trinomio notevole
• Raggruppamenti
• Tabella di riepilogo

raccoglimento a fattor comune

RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE Possiamo dividerlo in due tipi:

• Raccoglimento totale
• Raccoglimento parziale

perche' la scomposizione

PERCHE' LA SCOMPOSIZIONE Dopo aver fatte le operazioni con i numeri interi sei passato ad eseguire le operazioni con le frazioni e per poter fare il minimo comune multiplo e quindi la somma hai dovuto scomporre i numeri in fattori primi. Anche i polinomi possono presentarsi come frazioni e quindi dobbiamo capire quali regole usare per eseguire le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente se abbiamo frazioni di polinomi. Anche nei polinomi, come nei numeri, dovremo scomporre in fattori e siccome la scomposizione si puo’ considerare l’operazione inversa della moltiplicazione dovremo, per trovare le regole, leggere a rovescio le moltiplicazioni gia’ fatte:

Ricordati che una discesa vista dall'altra parte e' una salita

Nello stesso modo una moltiplicazione vista dall’altra parte e’ una scomposizione

nota

Attenzione pero': Nei numeri si parla di fattori primi mentre nei polinomi possiamo parlare solo di fattori senza specificare se sono primi oppure no

Raccoglimento a fattor comune totale

RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE E’ l’operazione contraria della moltiplicazione di un monomio per un polinomio: cioe’ se ad esempio eseguiamo la seguente moltiplicazione \(3a(2a+5)\) otteniamo \(6a^2+15a\) Il problema e’ ora come tornare indietro: cioe’ come da \(6a^2+15a\) si puo’ passare a \(3a (2a+5)\) In pratica dobbiamo trovare il monomio che e’ contenuto in tutti i termini del polinomio e questo l’abbiamo gia’ visto: si chiama MASSIMO COMUN DIVISORE Quindi dovro’ procedere nel modo seguente: Considero il polinomio \(6a^2+15a\) Devo trovare cosa hanno in comune \(6a^2\) e \(15a\) cioe’ il loro M.C.D Tra \(6\) e \(15\) il M.C.D. vale \(3\) Tra \(a^2\) e a il M.C.D. vale a Quindi il M.C.D. vale \(3a\) allora scrivo \(6a^2+15a = 3a (\) poi considero il primo termine: \(6a^2\) quante volte contiene \(3a\) cioe’ quanto fa \(6a^2\) diviso \(3a\) il risultato e’ \(2a\) allora scrivo \(6a^2+15a = 3a (2a+\) considero ora il secondo termine \(15a\) diviso \(3a\) da’ come risultato\(5\) quindi scrivero’ \(6a^2 + 15a = 3a (2a+5)\) Per finire verifico che eseguendo la moltiplicazione ritrovo il polinomio di partenza.

Facciamo un altro esempio: \(6a^2b^4 -9ab^3+3ab= M.C.D.=3ab 6a^2b^4 : 3ab = 2ab^3 -9ab^3 : 3ab = -3b^2 +3ab : 3ab = +1\) ottengo: 6a\(^{^2}\)b\(^{^4}\) -9ab\(^{^3}\)+3ab= 3ab ( 2ab\(^{^3}\)-3b\(^{^2}\)+1)

Attenzione! Quando raccogli a fattor comune devi raccogliere TUTTO (cioe’ il M.C.D.) senza lasciare nulla di comune. Ad esempio e’ sbagliato fare: \(a^3-a^2 = a (a^2-a)\) mentre si deve fare \(a^3-a^2 = a^2 (a-1)\) perche’ il M.C.D. e’ \(a^2\)

Ricordati che la moltiplicazione vista al rovescio e’ una scomposizione, come una discesa vista dall’altra parte e’ una salita

raccoglimento parziale introduzione

INTRODUZIONE AL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE Prima di procedere ad eseguire il raccoglimento parziale dobbiamo fare alcuni esercizi Precisamente dobbiamo provare ad eseguire il raccoglimento totale nel caso che nel polinomio vi siano delle parentesi Scomponiamo il seguente binomio \((2a+3b)x + (2a+3b)y=\) Ho detto giusto! binomio, infatti non vi fate trarre in inganno dalla lunghezza, i termini dentro parentesi valgono come un solo termine quindi questo binomio e’ composto dai due monomi \((2a+3b)x\) e \((2a+3b)y\) ed e’ come se fosse \(zx + zy=\) quindi raccogliendo la z \(zx + zy= z(x+y)\) allora \((2a+3b)x + (2a+3b)y= (2a+3b)(x+y)\) cioe’ raccolgo tutta la parentesi come se fosse un termine solo

vediamo un altro esempio \(2x(x+3)+y(x+3)=\) la parte comune e’ \((x+3)\) quindi \(2x(x+3)+y(x+3)= (x+3)(2x+y)\)

esercizio: scomporre \(4x(x+y)+2x^2(x+y)=\) stavolta la parte in comune e’ \(2x(x+y)\) quindi avremo \(4x(x+y)+2x^2(x+y)= 2x(x+y)(2+x)\)

Proviamo qualcosa di piu’ complicato \(4x^2(x+y)^3(x-y)+ 2x^2y(x+y)^2(x-y)^3-6x^4(x+y)^4(x-y)^4\) la parte comune e’ \(2x^2(x+y)^2(x-y)\) quindi avremo: \(4x^2(x+y)^3(x-y)+ 2x^2y(x+y)^2(x-y)^3-6x^4(x+y)^4(x-y)^4= 2x^2(x+y)^2(x-y)[2(x+y)+y(x-y)^2- 3x^2(x+y)^2(x-y)^3]\)

Facciamo ora il seguente esercizio \(ax+ay +b(x+y)=\) sono 3 termini, ma se raccogliamo fra loro i primi due otteniamo due parentesi uguali \(ax+ay +b(x+y)= a(x+y)+b(x+y)=\) ed ora possiamo procedere come prima \(ax+ay +b(x+y)= a(x+y)+b(x+y)= (a+b)(x+y)\) quindi se c’e’ una parentesi conviene vedere se raccogliendo fra i termini senza parentesi e’ possibile avere un’altra parentesi uguale e poi raccogliere le parentesi stesse

raccoglimento a fattor comune parziale

RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE Il raccoglimento a fattor comune parziale si puo’ eseguire solamente quando i termini del polinomio sono 4, 6, 8… Il ragionamento da fare e’ il seguente: consideriamo il polinomio \(ax + bx + ay +by\) i suoi temini non hanno niente in comune fra tutti ma se li considero due a due allora qualcosa in comune c’e’, precisamente i primi due hanno in comune x e gli ultimi due y allora tra i primi due raccolgo la x e tra gli ultimi due la y \(ax + bx + ay +by = x(a+b) + y(a+b)\) noto che ho due termini con le parentesi uguali, quindi posso raccogliere tutta la parentesi \(ax + bx + ay +by = x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)\) Allora: Quando ho quattro termini provo a raccogliere a due a due: se dentro parentesi mi vengono termini uguali allora continuo e raccolgo le parentesi, se non mi vengono uguali provo un’altra scomposizione Naturalmente e’ lo stesso se invece di quattro temini ne ho 6 \(ax+bx+ay+by+az+bz = x(a+b)+y(a+b)+z(a+b) = (a+b)(x+y+z)\)

Importante:e’ lo stesso quali termini raccolgo: nel primo esercizio potevo raccogliere il primo con il terzo ed il secondo con il quarto \(ax + bx + ay +by = a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)\) Per semplicita’ io consiglio ai miei alunni di raccogliere tra loro sempre un positivo con un negativo (naturalmente se i segni sono due positivi e due negativi) \(ax+ay-bx-by=\) Raccogliamoax con \(-bx\) eay con \(-by\) \(ax+ay-bx-by= x(a-b)+y(a-b)= (a-b)(x+y)\)

Da ricordare che il segno che mettiamo in mezzo corrisponde sempre a quello del primo termine del secondo raccoglimento. Se fate cosi’ non ci dovrebbero essere problemi ma se non lo fate potreste trovarvi con termini dentro parentesi uguali ma di segno contrario Ricordate allora che quando le parentesi ci vengono uguali ma di segno contrario possiamo cambiare il segno dentro (per tutti i termini) e fuori parentesi: esempio \(ax-ay-bx+by= a(x-y)+b(-x+y)=\) siccome non ho raccolto il meno adesso devo cambiare di segno sia fuori che dentro parentesi \(= a(x-y)-b(x-y)=\) adesso posso raccogliere la parentesi (x-y) \(=(a-b)(x-y)\)

Altra osservazione da fare e’ che in una scomposizione di raccoglimento a fattor comune parziale, se abbiamo 4 termini, i segni devono sempre essere in numero pari, cioe’ 2 positivi e due negativi, 4 positivi o 4 negativi e mai ad esempio un segno positivo e tre negativi

scomposizione di Ruffini

SCOMPOSIZIONE DI RUFFINI E’ una scomposizione che si puo’ sempre applicare a tutti i polinomi ordinati scomponibili,su cui non sia possibile operare il raccoglimento a fattor comune totale ha pero’ il difetto di essere lunga e complicata, quindi, quando possibile, cercheremo delle abbreviazioni. Pero’ questa ti fornisce un metodo generale per operare sempre la scomposizione sui polinomi ordinati, se cio’ non e’ possibile diremo che il polinomio non e’ scomponibile. Partiamo da un polinomio molto semplice, ad esempio consideriamo \(x^2+5x+6\) il problema che ci poniamo e’ trovare due polinomi che moltiplicati mi diano come risultato il polinomio di partenza. Si pensa che il polinomio abbia come fattore un fattore del tipo \((x-a)\) in cui a e’ un numero Quindi possibili fattori potranno essere: \((x-1) (x+1) (x-2) (x+2) (x-3) (x+3) ......\) Si tratta di vedere se questi sono effettivamente fattori oppure no. Ricordando che un termine e’ fattore di un secondo termine se il primo divide esattamente il secondo (cioe’ il resto della divisione vale 0) dovremo fare \((x^2+5x+6):(x-1)\) e calcolarne il resto. se viene 0 e’ un fattore altrimenti proveremo \((x^2+5x+6):(x+1)\) poi \((x^2+5x+6):(x-2)\) finche’ non troviamo il resto 0 Ricordiamo che per trovare il resto possiamo applicare il teorema di Ruffini quindi troviamo i possibili resti Troviamo il resto dividendo \((x^2+5x+6)\)per \((x-1) (x-1); P(1)=1^2+5(1)+6 =1+5+6=12\) diverso da 0 proviamo ora \((x+1); P(-1) = (-1)^2+5(-1)+6 = 1-5+6 = 2\) diverso da 0 \((x-2); P(2)=2^2+5(2)+6 = 4+10+6 = 20\) diverso da 0 \((x+2); P(-2)=(-2)^2+5(-2)+6 = 4-10+6 = 0\) allora \((x+2)\) e’ un fattore Quindi potremo scrivere \((x^2+5x+6) = (x+2) \cdot (qualcosa)\) Per trovare cos’e’ quel qualcosa facciamo il seguente ragionamento: \(4\)e’ un fattore di \(20\) ed io posso scrivere 20 = 4·(qualcosa) quanto vale quel qualcosa? \(5\); e come ho fatto ad ottenerlo? Evidentemente facendo \(20:4\) Facciamo quindi nello stesso modo: per trovare l’altro fattore eseguiamo \((x^2+5x+6):(x+2) =\) e naturalmente utilizziamo la divisione di Ruffini

[figura: scruffini1.gif]

quindi \((x^2+5x+6) = (x+2)(x+3)\)

Proviamo un’altra scomposizione: \(x^3-x^2 -5x-3 =\) Proviamo se il resto e’ nullo quando dividiamo per \(x-1\) \((x-1): P(1) = (1)^3-(1)^2 -5(1)-3 = 1-1-5-3 = -8\) diverso da zero proviamo ora per \(x+1\) \((x+1): P(-1) = (-1)^3-(-1)^2 -5(-1)-3 = -1-1+5-3 = 0\) questo e’ un divisore, quindi scrivo \(x^3-x^2 -5x-3 = (x+1) \cdot qualcosa\) Per trovare cosa devo mettere al posto di qualcosa faccio la divisione di Ruffini

[figura: scruffini2.gif]

quindi ottengo \(x^3-x^2 -5x-3=(x+1) \cdot (x^2-2x-3)\) non e’ finita: devo ancora scomporre la parte fra parentesi \((x^2-2x-3)\) perche’ e’ di grado superiore al primo ricomincio con Ruffini ma non provo \(x-1\) perche’ se non andava bene per tutto il polinomio non andra’ bene nemmeno per una sua parte; quindi ricomincio dall’ultimo che mi ha dato il risultato giusto, perche’ un fattore puo’ essere ripetuto:esempio 12=2X2X3 \((x+1): P(-1)= (-1)^2 -2(-1)-3=1+2-3=0\) questo e’ un divisore, quindi scrivo \(x^3-x^2 -5x-3=(x+1) \cdot (x^2-2x-3)=(x+1) \cdot (x+1) \cdot qualcosa\) Rifaccio la divisione

[figura: scruffini3.gif]

quindi \(x^3-x^2 -5x-3=(x+1) \cdot (x^2-2x-3)=(x+1) \cdot (x+1) \cdot (x-3)\)

Uno degli errori piu’ comuni facendo la divisione e’ scrivere: \(x^3-x^2 -5x-3=(x+1) \cdot (x^2-2x-3)=(x+1) \cdot (x-3)\) Sarebbe come scrivere 12=2×6=2×3; e’ un errore perche’ 2×3 non e’ uguale a 12 cioe’ facendo la moltiplicazione l’ultimo termine deve sempre tornare uguale al primo, quindi devo sempre ripetere tutti i fattori

Avete visto che la divisione e’ un’operazione piuttosto difficile da fare, allora cerchiamo qualche “trucco” per poter abbreviare qualcosa:

trucco 1: Limitare il numero dei fattori Prima di tutto notiamo che nelle scomposizioni gia’ fatte: \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) \(x^3-x^2 -5x-3=(x+1) \cdot (x+1) \cdot (x-3)\) il termine senza la lettera del polinomio di partenza e’ il prodotto dei termini noti dei fattori cioe’: nel primo 6=2·3 nel secondo -3=1·1·(-3) ma allora se devo ad esempio scomporre \(x^2-10x+21 21\) sara’ il prodotto dei termini noti dei binomi che mi scompongono il polinomio quindi non dovro’ provare tutti i fattori ma solamente \(P(1) P(-1) P(3) P(-3) P(7) P(-7) P(21) P(-21)\) Sara’ inutile provare ad esempio \(P(2)\) perche’ moltiplicando \(2\)per un intero non posso avere come risultato \(21\)

trucco 2: mettere i segni giusti E’ da applicare ai segni quando vado a calcolare \(P(1), P(-1), P(2), P(-2) ecc\) Se vado a calcolare \(P(1), P(2), P(3), P(4) ..\)i segni dei termini non cambieranno perche’ il numero che sostituisco al posto della x e’ positivo, quindi dove c’e’ piu’ resta piu’ e dove c’e’ meno resta meno Se invece vado a calcolare \(P(-1), P(-2), P(-3), P(-4) ..\) resteranno uguali i segni dei termini a potenza pari mentre cambieranno i segni per le potenze dispari

ora bisogna trattare quelli che io chiamo i casi patologici

Ancora su Ruffini

Casi particolari

I casi particolari che tratteremo sono

• polinomio non completo
• polinomio scomponibile mediante termini frazionari
• polinomio letterale
• scomposizione con binomio di grado superiore ad uno

ruffini per polinomio non completo

Caso del polinomio non completo Succede abbastanza spesso che il polinomio non sia completo, cioe’ che manchino dei termini ad esempio proviamo a scomporre: \(x^3-2x +1\) provo \((x-1); P(1)=(1)^3-2(1)+1=1-2+1=0\) quindi \((x-1)\) e’ un divisore, pero’ posso fare la divisione di Ruffini solo se ci sono tutti i termini ed allora siccome mi manca \(x^2\) al suo posto dovro’ mettere uno zero cioe’ \(x^3+0x^2-2x +1\) ed ora procedo nel solito modo:

[figura: scruffini4.gif]

quindi \(x^3-2x +1=(x-1)(x^2 +x-1)\) Ora si dovrebbe scomporre \(x^2+x-1\) provo \((x-1); P(1)=(1)^2+(1)-1=1+1-1\neq 0 (x+1); P(-1)=(-1)^2+(-1)-1=1-1-1\neq 0\) e poiche’ i divisori del termine noto sono solamente \(+1, -1\) il polinomio non e’ ulteriormente scomponibile: risultato finale: \(x^3-2x +1=(x-1)(x^2 +x-1)\)

Per esercizio prova a scomporre \(x^5-32=\) ricordando che per ordinare dovrai scrivere \(x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x-32=\)

Caso del polinomio scomponibile con termini frazionari Quando cerchiamo i possibili divisori puo’ succedere che troviamo dei valori frazionari ad esempio proviamo a scomporre: \(6x^2-5x +1\) Trovo i divisori di Ruffini i divisori del termine noto sono \(+1, - 1\) i divisori del primo coefficiente sono \(+1, -1, +2, -2, +3, -3 +6, -6\) I divisori possibili li ottengo facendo i divisori del termine noto fratto i divisori del primo coefficiente, quindi ottengo \(+1, -1, +1/2, -1/2, +1/3, -1/3, +1/6, -1/6\) \((x-1); P(1) = 6(1)^2-5(1)+1 = 6-5+1 0 (x+1); P(-1) = 6(-1)^2-5(-1)+1 = 6+5+1 0 (x-1/2); P(1/2) = 6(1/2)^2-5(1/2)+1 = 6/4-5/2+1 = 6 - 10 + 4 = ------------- = 0 4\) quindi \((x-1/2)\) e’ un divisore,

[figura: scruffini5.gif]

quindi \(6x^2-5x +1=(x-1/2)(6x-2)\) siccome 2 diviso 6 fa 1/3 potrei anche scrivere raccogliendo 6 \(6x^2-5x +1=6(x-1/2)(x-1/3)\) o meglio ancora dividendo il 6 in 2·3 e moltiplicando il primo fattore per 2 ed il secondo per 3 in modo da non avere frazioni \(6x^2-5x +1=(2x-1)(3x-1)\)

Per esercizio prova a scomporre 20x\(^{^3}\)- 4x\(^{^2}\) – 5x + 1 =

ruffini per polinomio a coefficienti letterali

Caso del polinomio a coefficienti letterali Quando i coefficienti sono dei termini letterali si procede sempre nello stesso modo, ma con molta attenzione ad esempio proviamo a scomporre: \(x^3 - 3b^2x^2 + b^4x + b^6\) Trovo i divisori di Ruffini i divisori del termine noto sono \(+1, -1, +b, -b, +b^2, -b^2, +b^3, -b^3, +b^4, -b^4, +b^5, -b^5,+b^6, -b^6\) provo i divisori (x-1); P(1) = 1\(^{^3}\) – 3b\(^{^2}\)(1)\(^{^2}\) + b\(^{^4}\)(1) + b\(^{^6}\) = 1 – 3b\(^{^2}\) + b\(^{^4}\) + b\(^{^6}\)

\(\neq\) 0 (x+1); P(-1) = (-1)\(^{^3}\) – 3b\(^{^2}\)(-1)\(^{^2}\) + b\(^{^4}\)(-1) + b\(^{^6}\) = – 1 – 3b\(^{^2}\) – b\(^{^4}\) + b\(^{^6}\)

\(\neq\) 0 (x-b); P(b) = b\(^{^3}\) – 3b\(^{^2}\)(b)\(^{^2}\) + b\(^{^4}\)(b) + b\(^{^6}\) = b\(^{^3}\) – 3b\(^{^4}\) + b\(^{^5}\) + b\(^{^6}\)

\(\neq\) 0 (x+b); P(-b) = (-b)\(^{^3}\) – 3b\(^{^2}\)(-b)\(^{^2}\) + b\(^{^4}\)(-b) + b\(^{^6}\) = – b\(^{^3}\) – 3b\(^{^4}\) – b\(^{^5}\) + b\(^{^6}\)

\(\neq\) 0 (x-b\(^{^2}\)); P(b) = (b\(^{^2}\))\(^{^3}\) – 3b\(^{^2}\)(b\(^{^2}\))\(^{^2}\) + b\(^{^4}\)(b\(^{^2}\)) + b\(^{^6}\) = b\(^{^6}\) – 3b\(^{^6}\) + b\(^{^6}\) + b\(^{^6}\) = 0 quindi \((x - b^2)\) e’ un divisore,

[figura: scruffini6.gif]

quindi \(x^3 - 3b^2x^2 + b^4x + b^6 =(x-b^2)(x^2 - 2b^2x - b^4)\) adesso devo vedere se posso scomporre \(x^2 - 2b^2x - b^4\) i possibili divisori sono \(+1, -1, +b, -b, +b^2, -b^2, +b^3, -b^3 +b^4, -b^4\) pero’ +1,-1,+b,-b li abbiamo gia’ provati; quindi ripartiamo da b\(^{^2}\) (x-b\(^{^2}\)); P(b\(^{^2}\)) = (b\(^{^2}\))\(^{^2}\) – 2b\(^{^2}\)(b\(^{^2}\)) – b\(^{^4}\) = b\(^{^4}\) – 2b\(^{^4}\) – b\(^{^4}\)

\(\neq\) 0 (x+b\(^{^2}\)); P(-b\(^{^2}\)) = (-b\(^{^2}\))\(^{^2}\) – 2b\(^{^2}\)(-b\(^{^2}\)) – b\(^{^4}\) = b\(^{^4}\) + 2b\(^{^4}\) – b\(^{^4}\)

\(\neq\) 0 (x-b\(^{^3}\)); P(b\(^{^3}\)) = (b\(^{^3}\))\(^{^2}\) – 2b\(^{^2}\)(b\(^{^3}\)) – b\(^{^4}\) = b\(^{^6}\) – 2b\(^{^5}\) – b\(^{^4}\)

\(\neq\) 0 (x+b\(^{^3}\)); P(-b\(^{^3}\)) = (-b\(^{^3}\))\(^{^2}\) – 2b\(^{^2}\)(-b\(^{^3}\)) – b\(^{^4}\) = b\(^{^6}\) + 2b\(^{^5}\) – b\(^{^4}\)

\(\neq\) 0 (x-b\(^{^4}\)); P(b\(^{^4}\)) = (b\(^{^4}\))\(^{^2}\) – 2b\(^{^2}\)(b\(^{^4}\)) – b\(^{^4}\) = b\(^{^8}\) – 2b\(^{^6}\) – b\(^{^4}\)

\(\neq\) 0 (x+b\(^{^4}\)); P(-b\(^{^4}\)) = (-b\(^{^4}\))\(^{^2}\) – 2b\(^{^2}\)(-b\(^{^4}\)) – b\(^{^4}\) = b\(^{^8}\) + 2b\(^{^6}\) – b\(^{^4}\)

\(\neq\) 0 quindi il polinomio non e’ piu’ scomponibile e il risultato della scomposizione e’ \(x^3 - 3b^2x^2 + b^4x + b^6 =(x-b^2)(x^2 - 2b^2x - b^4)\)

Per esercizio prova a scomporre \(x^2 -(a+2b)x + 2ab =\) notando che -(a+2b) e’ un unico coefficiente

scomposizione di ruffini con binomi di grado superiore ad uno

Scomposizione di Ruffini con binomi di grado superiore ad uno La faremo quando i termini componenti hanno i gradi multipli secondo un numero intero: ad esempio 9,6,3,0 oppure 4,2,0 Vediamo su un esempio come procedere \(x^6 - 5x^3 + 6 =\) Trovo i divisori di Ruffini i divisori del termine noto sono \(+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6\) considero come lettera non x ma x\(^{^3}\), quindi il mio polinomio posso considerarlo come \((x^3)^2 - 5x^3 + 6 =\)

\(se trovi difficolta' pensa di mettere al posto di x^3 una y, ottieni y^2 - 5y + 6 = e procedi normalmente, alla fine, nel risultato al posto di y metterai x^3\)

provo i divisori: sostituisco il numero al posto di x\(^{^3}\), quindi attento a non fare confusione con gli esponenti \((x^3-1); P(1) = 1^2 - 5(1) + 6 = 1 -5 +6 0\) quindi \((x^3 - 2)\) e’ un divisore, \(1\) \(-5\) \(6\)

\(2\) \(2\) \(-6\)

\(1\) \(-3\)

Adesso devi fare attenzione per ricostruire il quoziente: partendo dal termine noto hai termine noto, x\(^{^3}\), x\(^{^6}\), x\(^{^9}\), … noi abbiamo solo due termini quindi termine noto ed x\(^{^3}\) \(x^6 - 5x^3 + 6 = (x^3 -2)(x^3 - 3)\)

scomposizioni secondo i prodotti notevoli

scomposizioni secondo i prodotti notevoli Poiche’ Ruffini e’ troppo complicato cominciamo a cercare delle scorciatoie per scomporre; ricordando che una moltiplicazione vista alla rovescia e’ una scomposizione cominciamo con il vedere le scomposizioni inverse dei prodotti notevoli:

Scomposizione:

• Differenza di quadrati
• Quadrato del binomio
• Cubo del binomio
• quadrato del trinomio

Differenza di quadrati

Differenza di quadrati Prendiamo il prodotto notevole somma di due monomi per la loro differenza: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) Se lo scriviamo a rovescio otteniamo una scomposizione: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) Cioe’ se ho il segno meno fra i quadrati di due oggetti posso scomporre come il prodotto fra la somma dei due oggetti e la loro differenza

Come esempio scomponiamo: \(9x^2-4y^2=\) \(9x^2\) e’ il quadrato di \(3x\) \(4y^2\) e’ il quadrato di \(2y\) in mezzo c’e’ il segno meno quindi faccio il prodotto fra la somma e la differenza (3x + 2y)·(3x – 2y) In definitiva la scomposizione e’ \(9x^2-4y^2=(3x+2y)(3x-2y)\)

Regola:

La differenza fra i quadrati di due monomi si scompone moltiplicando la somma dei due monomi per la loro differenza

scomposizione secondo il quadrato del binomio

Scomposizione secondo il quadrato del binomio Scriviamo la formula del quadrato del binomio \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) se la scriviamo a rovescio otterremo una scomposizione \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) Significa che se ho un polinomio di tre termini devo guardare se due termini sono dei quadrati di monomi e, nel caso lo siano, se corrisponde il doppio prodotto dei due monomi, in tal caso posso scomporre come \(( primo monomio + secondo monomio)^2\) ad esempio scomponiamo \(4a^2+12ab+9b^2= 4a^2\) e’ il quadrato di\(2a\) \(9b^2\) e’ il quadrato di\(3b\) se faccio il doppio prodotto dei due monomi 2·2a·3b ottengo \(12ab\) che mi corrisponde al termine che e’ restato quindi posso scrivere \(4a^2+12ab+9b^2 = ( 2a + 3b )^2\)

Fai attenzione al segno da mettere in mezzo: se il termine che corrisponde al doppio prodotto e’ positivo in mezzo devi mettere il \(+\) se invece e’ negativo devi mettere il segno\(-\) Esempio \(4x^2 -16xy+16y^2\) \(4x^2\) e’ il quadrato di \(2x\) \(16y^2\) e’ il quadrato di \(4y\) il doppio prodotto e’ 2·2x·4y = 16xy Il segno in mezzo e’ \(-\) perche’ nel polinomio di partenza \(-16xy\) ha il segno meno; quindi \(4x^2 -16xy+16y^2 = (2x - 4y)^2\)

Scomposizione secondo il cubo del binomio

E’ la piu’ complicata da calcolare

Scriviamo la formula per il cubo del binomio \((a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3\) Se la leggiamo a rovescio otterremo una scomposizione \(a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3= (a+b)^3\) La prima cosa da osservare e’ che si puo’ fare quando abbiamo un polinomio di 4 termini; osserviamo anche che ci devono essere due termini che siano dei cubi ed inoltre i segni devono essere in numero pari, cioe’ quattro segni positivi oppure due positivi e due negativi, oppure quattro segni negativi Io consiglio i miei alunni di considerare i due termini di cui ci sono i cubi e provare ad eseguire con loro il cubo del binomio: se corrisponde al quadrinomio di partenza e’ il cubo e posso scomporre come \(( primo monomio + secondo monomio)^3\) altrimenti, se non si prova un’altra scomposizione

Esempio:proviamo scomporre \(8x^3 +36x^2y +54xy^2 +27y^3=\) E’ un polinomio di quattro termini e vi sono due cubi: \(8x^3\) e’ il cubo di \(2x\) \(27y^3\) e’ il cubo di \(3y\) Quindi proviamo a calcolare \((2x+3y)^3\)Ho messo il piu’ perche’ i termini sono tutti positivi, se avevo due positivi e due negativi provavo col segno meno) Se il risultato corrispondera’ al polinnomio di partenza questa sara’ la scomposizione, altrimenti dovremo provare un’altra scomposizione (ad esempio Ruffini) Se sviluppo ottengo \((2x+3y)^3= 8x^3 +36x^2y +54xy^2 +27y^3\) Va bene. Quindi potro’ scrivere: \(8x^3 +36x^2y +54xy^2 +27y^3=(2x+3y)^3\)

Per i segni notiamo che se e’ un cubo i segni sono o tutti e quattro positivi (o negativi)oppure due positivi e due negativi quindi se avessi \(8x^3 +36x^2y -54xy^2 +27y^3\) Questo non potrebbe essere un cubo

Scomposizione secondo il quadrato del trinomio

Scomposizione secondo il quadrato del trinomio E’ una delle piu’ facili da individuare perche’ il polinomio di partenza ha un elevato numero di termini (sei), l’unica difficolta’ e’ mettere i segni giusti. Naturalmente si ottiene leggendo a rovescio la regola per ottenere il quadrato del trinomio \((a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2 +2ab+2ac+2bc\) cioe’ a\(^2\)+b\(^2\)+c\(^2\) +2ab+2ac+2bc=(a+b+c)\(^2\)

Proviamo subito con un esempio: \(4x^2+9y^2 +16z^2+12xy-16xz-24yz=\) Guardando la regola del quadrato del trinomio devo avere sei termini di cui tre devono essere dei quadrati di monomi e gli altri tre i loro doppi prodotti (qui sono in fila ma possono anche essere in disordine) \(4x^2\) e’ il quadrato di \(2x\) \(9y^2\) e’ il quadrato di \(3y\) \(16z^2\) e’ il quadrato di \(4z\) Il doppio prodotto di \(2x\) e di \(3y\)e’ 2·2x·3y=12xy Il doppio prodotto di \(2x\) e di \(4z\)e’ 2·2x·4z=16xz Il doppio prodotto di \(3y\) e di \(4z\)e’ 2·3y·4z=24yz quindi posso scrivere \(4x^2+9y^2 +16z^2+12xy-16xz-24yz= (2 \cdot 3y 4z)^2\) Per quanto riguarda i segni partiamo dal mettere il segno positivo al primo monomio, per avere il segno del secondo guardo il segno del doppio prodotto del primo per il secondo: se c’e’ piu’ metto al secondo il segno piu’ altrimenti metto meno, in questo caso avendo \(+12xy\) metto piu’. \((2x+3y 4z)^2\) . Per il segno del terzo guardo il doppio prodotto fra il primo ed il terzo: avendo \(-16xz\) metto meno: \((2x+3y-4z)^2\) . Non e’ finita: devo controllare che vada bene il segno del doppio prodotto fra il secondo ed il terzo altrimenti la scomposizione non e’ valida: in questo caso \(-24yz\)corrisponde al segno positivo del secondo e negativo del terzo quindi \(4x^2+9y^2 +16z^2+12xy-16xz-24yz= (2x+3y-4z)^2\)

Somma o differenza di potenze pari o dispari

Somma o differenza di potenze pari o dispari Sono scomposizioni di polinomi di due termini: possiamo suddividerle nei seguenti quattro gruppi:

• Differenza di potenze dispari
• Somma di potenze dispari
• Differenza di potenze pari
• Somma di potenze pari

Differenza di potenze dispari

Differenza di potenze dispari Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo \(x^n - a^n\) per n dispari, cioe’ ad esempio \(x^3 - a^3 =\) \(x^5 - a^5 =\) \(x^7 - a^7 = ..........\) dove al posto di a possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle regolarita’ Iniziamo a scomporre \(x^3 - a^3 =\) essendo il termine noto \(a^3\) il possibile divisore di Ruffini sara’ del tipo \((x-a); (x+a)\) Provo a dividere per \((x-a) (x-a) ; P(a)=a^3- a^3 =0\) Essendo il resto zero \((x-a)\) e’ un divisore; eseguo la divisione

[figura: ruffini9.gif]

ottengo \(x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)\)

Proviamo ora a scomporre \(x^5 - a^5 = (x-a) ; P(a)=a^5- a^5 =0\) Essendo il resto zero \((x-a)\) e’ un divisore; eseguo la divisione

[figura: ruffini10.gif]

ottengo \(x^5 - a^5 = (x-a) (x^4 +ax^3 +a^2x^2 +a^3x +a^4)\)

Ora senza eseguire Ruffini ma tenendo presenti le due scomposizioni \(x^3 - a^3 = (x-a) (x^2+ax+a^2)\) \(x^5 - a^5 = (x-a) (x^4 +ax^3 +a^2x^2 +a^3x +a^4)\) Voglio scomporre \(x^7 - a^7 =\) Intanto il divisore sara’ \((x-a)\) \(x^7 - a^7 = (x-a) (.....)\) osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine abbassato di un grado, cioe’ \(x^6\) poi man mano devo fare un polinomio ordinato abbassando la potenza della x ed aumentando la potenza della a ed i segni sono tutti positivi quindi \(x^7 - a^7 = (x-a) (x^6 +ax^5 +a^2x^4 +a^3x^3 +a^4x^2 +a^5x +a^6)\)

Regola: una differenza di potenze dispari e’ uguale al prodotto di un binomio dato dalla differenza delle basi per un polinomio ordinato e completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un grado il secondo ed i segni sono tutti positivi

Per esercizio prova a scomporre: \(x^9 - a^9 =\) poi controlla il risultato

Risultato: \(x^9 - a^9 = (x-a) (x^8 +ax^7 +a^2x^6 +a^3x^5 +a^4x^4 +a^5x^3 +a^6x^2 +a^7x +a^8)\) Da notare che essendo il secondo fattore un polinomio ordinato e completo il grado di tutti i suoi monomi e’ fisso ed in questo caso vale 8

Somma di potenze dispari

Somma di potenze dispari Cercheremo la regola per scomporre tutte quelle potenze del tipo \(x^n + a^n\) per n dispari, cioe’ ad esempio \(x^3 + a^3 =\) \(x^5 + a^5 =\) \(x^7 + a^7 = ..........\) dove al posto di a possiamo pensare un numero; per trovare la regola di scomposizione proviamo a scomporre con Ruffini e vediamo se riusciamo ad individuare delle regolarita’ come nella schermata precedente Iniziamo a scomporre \(x^3 + a^3 =\) essendo il termine noto \(a^3\) il possibile divisore di Ruffini sara’ del tipo \((x-a); (x+a)\) Provo a dividere per \((x-a) (x-a) ; P(a)=a^3+ a^3 \neq 0\) \((x+a) ; P(-a)=(-a)^3+ a^3 =-a^3+ a^3 =0\) Essendo il resto zero \((x+a)\) e’ un divisore; eseguo la divisione

[figura: ruffini11.gif]

ottengo \(x^3 + a^3 = (x+a)(x^2-ax+a^2)\)

Proviamo ora a scomporre \(x^5 + a^5 = (x-a) ; P(a)=a^5+ a^5 \neq 0 (x+a) ; P(-a)=(-a)^5+ a^5 = -a^5+ a^5 =0\) Essendo il resto zero \((x+a)\) e’ un divisore; eseguo la divisione

[figura: ruffini12.gif]

ottengo \(x^5 + a^5 = (x+a) (x^4 -ax^3 +a^2x^2 -a^3x +a^4)\)

Ora senza eseguire Ruffini ma tenendo presenti le due scomposizioni \(x^3 + a^3 = (x+a) (x^2-ax+a^2)\) \(x^5 + a^5 = (x+a) (x^4 -ax^3 +a^2x^2 -a^3x +a^4)\) Voglio scomporre \(x^7 + a^7 =\) Intanto il divisore sara’ \((x+a)\) \(x^7 + a^7 = (x+a) (.....)\) osserviamo che dentro parentesi al posto dei puntini devo mettere il primo termine abbassato di un grado, cioe’ \(x^6\) poi man mano devo fare un polinomio ordinato abbassando la potenza della x ed aumentando la potenza della a ed i segni sono alternati: uno positivo e l’altro negativo .. quindi \(x^7 + a^7 = (x+a) (x^6 -ax^5 +a^2x^4 -a^3x^3 +a^4x^2 -a^5x +a^6)\)

Regola: una somma di potenze dispari e’ uguale al prodotto di un binomio dato dalla somma delle basi per un polinomio ordinato e completo ottenuto abbassando di un grado il primo termine, poi via via abbassando di un grado il primo ed aumentando di un grado il secondo ed i segni sono alternati

Per esercizio prova a scomporre: \(x^9 + a^9 =\) poi controlla il risultato

Risultato: \(x^9 + a^9 = (x+a) (x^8 -ax^7 +a^2x^6 -a^3x^5 +a^4x^4 -a^5x^3 +a^6x^2 -a^7x +a^8)\) Da notare che essendo il secondo fattore un polinomio ordinato e completo il grado di tutti i suoi monomi e’ fisso ed in questo caso vale 8

Scomposizione di una differenza di potenze pari

Scomposizione di una differenza di potenze pari Ho visto in alcuni libri utilizzare una formula quale quelle per le potenze dispari, ma siccome io sono convinto che in matematica le cose piu’ semplici siano le migliori per questa scomposizione consiglio sempre ai miei alunni di rifarsi alla differenza di quadrati: vediamo un esempio \(x^6 - a^6 = x^6\) e’ il quadrato di \(x^3 a^6\) e’ il quadrato di \(a^3\) quindi \(x^6 - a^6 = (x^3 - a^3) (x^3 + a^3)=\) Poi dentro parentesi abbiamo una differenza di potenze dispari ad una somma di potenze dispari, quindi \(=(x-a)(x^2+ax+a^2) (x+a)(x^2-ax+a^2)\)

Scomposizione di una somma di potenze pari

Scomposizione di una somma di potenze pari In genere una somma di potenze pari del tipo \(x^4 + a^4\) Non e’ scomponibile

Vi e’ un caso in cui e’ possibile applicare una scomposizione, ma di solito si fa solo al liceo scientifico: Per poter fare questa scomposizione occorre che i quadrati dei monomi siano tali che il doppio prodotto dei monomi stessi sia ancora un quadrato; vediamone un esempio: \(x^4 + 4a^4= x^4 + 4a^4 +4a^2x^2 -4a^2x^2 =\) Ho aggiunto e tolto il doppio prodotto \(=(x^4 +4a^2x^2 + 4a^4) -4a^2x^2=\) Ho messo assieme i termini che formano un quadrato ed ora lo evidenzio \(=(x^2+2a^2)^2 -4a^2x^2=\) Ora e’ come se avessi due termini al quadrato con il meno in mezzo applico la scomposizione differenza di quadrati \((x^2+2a^2)^2\) e’ il quadrato di \((x^2+2a^2) 4a^2x^2\) e’ il quadrato di \(2ax\) quindi \(=[(x^2+2a^2)+ 2ax] [(x^2+2a^2)- 2ax]=\) faccio cadere le parentesi \(= (x^2+2a^2+ 2ax) (x^2+2a^2- 2ax)=\) metto i polinomi in forma ordinata \(=(x^2+ 2ax+2a^2) (x^2- 2ax+2a^2)\) Ho potuto fare la scomposizione solamente perche’ il termine che ho aggiunto e tolto \(4a^2x^2\) e’ un quadrato, altrimenti non avrei potuto scomporre

Trinomio notevole

Scomposizione secondo il trinomio notevole La scomposizione secondo il trinomio notevole e’ l’operazione inversa della moltiplicazione fra binomi: cioe’ dato il trinomio \(x^2+sx+p\) con s e p numeri dati dobbiamo trovare il prodotto fra binomi \((x+a)(x+b)\) il cui risultato sia il polinomio di partenza Se noi proviamo ad eseguire la moltiplicazione vedremo cosa sono s e p rispetto ad a e b \((x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab= x^2+(a+b)x+ab\) allora avremo che \(x^2+sx+p= x^2+(a+b)x+ab\) e per il principio di identita’ dei polinomi avremo \(s=(a+b) p=ab\) Quindi avendo p e s dovro’ trovare due numeri il cui prodotto e’ p e la somma e’ s Esempio \(x^2+5x+6=\) Devo trovare due numeri il cui prodotto e’ \(6\) e la somma e’ \(5\) (conviene partire dal prodotto): i numeri che danno prodotto \(6\) possono essere \(1\) e \(6\) oppure \(2\) e \(3\) e la somma di \(2\) e \(3\) mi da’ \(5\) i due numeri cercati sono \(2\) e \(3\) quindi \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) Quindi quando hai un polinomio ordinato di 3 termini puoi usare questa regola senza scomodare Ruffini.

Attenzione: guarda che per somma si intende somma algebrica quindi e’ importante guardare il segno del prodotto: se e’ positivo allora i due numeri cercati hanno lo stesso segno e devi farne la somma, ma se il segno del prodotto e’ negativo i due numeri hanno segni diversi e devi fare la differenza; esempio \(x^2+3x-10=\) Devo trovare due numeri il cui prodotto e’ \(-10\) e la somma e’ \(+3\) (conviene partire dal prodotto che in questo caso e’ negativo quindi devi fare la differenza): i numeri che danno prodotto \(10\) possono essere \(1\) e \(10\) oppure \(2\) e \(5\) e la differenza di \(5\) e \(2\) mi da’ \(3\) ed essendo \(3\) positivo dovro’ fare \(+5-2\) i due numeri cercati sono \(-2\) e \(+5\) quindi \(x^2+3x-10=(x-2)(x+5)\)

Scomposizioni mediante raggruppamenti

Scomposizioni mediante raggruppamenti Sono le scomposizioni piu’ difficili da individuare e solamente un po’ di esperienza potra’ facilitartene il riconoscimento. Teoricamente si tratta di questo: quando devo scomporre un polinomio puo’ darsi che raccogliendo tra parentesi alcune parti io possa rifarmi a qualcuno dei casi gia’ studiati Qui di seguito troverai elencati alcuni casi, ma ricordati che qui bisogna intervenire sia col ragionamento che con l’esperienza, pertanto sono necessari molti esercizi.

Raggruppamenti possibili per i polinomi secondo il numero dei termini

• A quattro termini
• A cinque termini
• A sei termini

Non vado oltre i sei termini comunque potresti provare tu per esercizio a vedere quali sono i possibili raggruppamenti per 7 e 8 termini

Raggruppamenti possibili per polinomi a quattro termini

Raggruppamenti possibili per polinomi a quattro termini Il caso classico del raggruppamento a quattro termini e’ quello in cui tre termini concorrono in un quadrato ed il quarto e’ ancora un quadrato: \(x^2+2xy+y^2 -z^2=\) Raggruppo i primi tre termini \(=(x^2 +2xy+y^2)-z^2= =(x+y)^2-z^2=\) Ora poiche’ la parentesi e’ un solo termine devo fare la scomposizione fra due termini e precisamente posso fare la differenza di due quadrati cioe’: \(=[(x+y)+z][(x+y)-z]=\) tolgo le parentesi interne \(=(x+y+z)(x+y-z)\)

Un altro caso possibile e’ quello in cui abbiamo una differenza di quadrati che si combina con un raccoglimento: \(x^2-a^2 +5x+5a=\) Scompongo i primi due termini come differenza di quadrati e fra il terzo ed il quarto termine raccolgo il \(5 =(x+a)(x-a)+5(x+a)=\) ora sono due termini e tra loro posso raccogliere \((x+a) =(x+a)[(x-a)+5]=(x+a)(x-a+5)\)

Altri casi possibili si hanno con somme o differenze di potenze dispari unite ad un raccoglimento

Raggruppamenti possibili per polinomi a cinque termini

Alcuni raggruppamenti possibili per polinomi a cinque termini Qui abbiamo vari casi e bisogna decidere volta per volta cosa fare:

Ti enumero alcuni dei vari casi possibili per darti un’idea su come procedere:

• Differenza fra due cubi
• Quadrato di un binomio e raccoglimento
• Trinomio notevole con raccoglimento

Inoltre posso avere somme o differenze di potenze dispari o differenze di potenze pari unite ad una scomposizione a tre termini, quindi i casi diventano piuttosto numerosi e invece che studiarli a memoria conviene cercare di capire volta per volta quale strada seguire. Poiche’ questi raggruppamenti sono piuttosto complicati vengono usati raramente, quindi faremo dei brevi cenni e non considereremo il caso in cui uno dei raggruppamenti sia scomponibile con Ruffini

Raggruppamento per polinomi a cinque termini: differenza di cubi

Raggruppamento per polinomi a cinque termini: differenza di cubi In questo caso quattro dei termini concorrono a formare un cubo di un binomio ed il quinto termine e’ ancora un cubo \(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - z^3 =\) Raggruppo i primi quattro termini \(= (x^3 + 3x^2y + 3xy^2+y^3) - z^3 = = (x+y)^3 - z^3 =\) Ora poiche’ la parentesi e’ da considerare un solo termine devo fare la scomposizione fra due termini e precisamente posso fare la differenza di due cubi cioe’: \(= [(x + y) - z][(x + y)^2 + (x + y)z + z^2] =\) faccio i calcoli \(=[(x + y) - z][(x^2 + 2xy + y^2) + xz + yz + z^2] =\) tolgo le parentesi interne \(=(x + y - z)(x^2 + 2xy + y^2 + xz + yz + z^2)\)

Complicato, vero?

Raggruppamento per polinomi a cinque termini:
quadrato di un binomio e raccoglimento

Raggruppamento per polinomi a cinque termini: quadrato di un binomio e raccoglimento In questo caso tre termini concorrono in un quadrato e tra gli altri due termini posso mettere qualcosa in evidenza in modo che risultino uguali i termini entro parentesi \(x^2+2xy+y^2 +3x+3y=\) Raggruppo i primi tre termini e fra il quarto ed il quinto raccolgo \(3 =(x^2 +2xy+y^2)+3(x+y)= =(x+y)^2 +3(x+y)=\) Ora poiche’ i termini entro parentesi sono uguali posso raccogliere: \(= (x+y)[(x+y)+3]=\) tolgo le parentesi interne \(=(x+y)(x+y+3)\)

Raggruppamento per polinomi a cinque termini:
trinomio notevole con raccoglimento

Raggruppamento per polinomi a cinque termini: trinomio notevole con raccoglimento In questo caso tre termini concorrono in un trinomio notevole e tra gli altri due termini posso mettere qualcosa in evidenza in modo che risultino uguali i termini entro parentesi \(x^2+6x+8 +ax+4a=\) Raggruppo i primi tre termini e fra il quarto ed il quinto raccolgo \(a =(x^2 + 6x+8) +a(x+4)=\) nei primi tre termini scompongo secondo il trinomio notevole \(=(x+2)(x+4)+a(x+4) =\) Ora poiche’ i termini entro parentesi sono uguali posso raccogliere: \(= (x+4)[(x+2)+a]=\) tolgo le parentesi interne ed ordino \(=(x+4)(x+a+2)\)

Raggruppamenti possibili per polinomi a sei termini

Raggruppamenti possibili per polinomi a sei termini In questo caso i raggruppamenti possibili sono ancor piu’ numerosi: per dartene un’idea pensa a tutte le scomposizioni fatte tali che il numero dei termini di due scomposizioni sia 6 e tali che i termini delle due scomposizioni non si possano sommare tra loro; quindi:

• differenza fra due quadrati di un binomio
• cubo di un binomio con un raccoglimento fra due termini
• due termini come differenza di quadrati e gli altri con un raccoglimento parziale
• quattro termini come raggruppamento a differenza di quadrati e gli altri due come raccoglimento

E ve ne sono parecchie altre se consideriamo per due termini la somma o la differenza di potenze dispari e la differenza di potenze pari. Se poi facciamo intervenire la scomposizione di Ruffini il numero aumenta di parecchio, quindi, senza dilungarci troppo, anche perche’ questo e’ un argomento piuttosto secondario, concludiamo le scomposizioni passando alla tabella di riepilogo

Tabella di riepilogo per le scomposizioni

Tabella di riepilogo per le scomposizioniCome si usa la tabella

Prima operazione da fare e’ il raccoglimento a fattor comune poi si contano i termini

N. termini Scomposizioni possibili

2 termini

• \(Differenza di quadrati: (differenza di potenze pari) a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
• \(Somma di cubi (somma di potenze dispari) x^3 + a^3 = (x+a)(x^2-ax+a^2)\)
• \(Differenza di cubi (differenza di potenze dispari) x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)\)
• Caso particolare: somma di potenze pari

3 termini

• \(Quadrato del binomio a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\)
• \(Trinomio notevole x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\)
• Ruffini

4 termini

• \(Cubo del binomio a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3= (a+b)^3\)
• Raccoglimento a fattor comune parziale \(ax+ay +bx+by= a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)\)
• Raggruppamento
• Ruffini

5 termini

Ruffini 6 termini

• \(Quadrato del trinomio a^2+b^2+c^2 +2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2\)
• Raccoglimento parziale \(ax+bx+ay+by+az+bz= x(a+b)+y(a+b)+z(a+b)=(a+b)(x+y+z)\)
• Raggruppamento
• Ruffini

• Raggruppamenti

Come si usa la tabella precedente

Come si usa la tabella di riepilogo per le scomposizioni Premetto che, secondo me, questa tabella e’ una delle pochissime cose che in matematica bisognerebbe “studiare a memoria”, perche’ ci permette di poter affrontare quasi tutte le possibili scomposizioni di un polinomio fino a sei termini

Vediamo con un semplice esercizio come usare la tabella per scomporre un polinomio: Scomponiamo il polinomio: \(a^2x^2 +ax^2-ax-x=\) prima operazione da fare e’ raccogliere a fattor comune cioe’ \(=x(a^2x+ax-a-1)=\) Ora conto i termini dentro parentesi: sono 4 quindi vado a vedere le scomposizioni a quattro termini: prima ho il cubo di un binomio e direi che non va bene perche’ non ho termini al cubo, poi ho il raccoglimento parziale, proviamo a raccogliere il primo con il terzo ed il secondo con il quarto: \(=x[a(ax-1)+1(ax-1)]=\) poiche’ dentro parentesi tonde i termini sono uguali posso raccogliere \(x[(ax-1)(a+1)]=\) Tolgo le parentesi quadre perche’ non servono \(=x(ax-1)(a+1)\)

Per scomporre prima devi raccogliere a fattor comune totale poi contare il numero di termini che ti restano dentro parentesi (o fuori se non hai raccolto niente), poi vai a controllare le scomposizioni associate a quel numero di termini in ordine come sono (dalla piu’ semplice alla piu’ difficile) finche’ non trovi quella giusta e se alla fine vedi che nessuna scomposizione va bene devi scrivere polinomio non scomponibile

Proviamo a scomporre il polinomio: \(x^3-x^2+2x+1=\) Non c’e’ niente da raccogliere a fattor comune totale allora conto i termini: sono 4

il polinomio \(x^3-x^2+2x+1=\)non e’ scomponibile

• La prima scomposizione a quattro termini e’ il cubo di un binomio, ho due termini al cubo ma mi mancano i tripli prodotti, quindi non va bene
• Provo il raccoglimento parziale ma vedo subito che non posso farlo perche’ ho tre segni positivi ed uno negativo, quindi anche questa scomposizione non va bene
• Provo a raggruppare: sembra quasi ci sia il quadrato di un binomio ma i termini che potrebbero essere quadrati sono uno positivo e l’altro negativo quindi non e’ un quadrato e non vedo altri possibili raggruppamenti, passo avanti
• Provo Ruffini: i possibili divisori sono \(+1\) e \(-1\) \(P(1)= (1)^3-(1)^2+2(1)+1=1-1+2+1=3 P(1)= (-1)^3-(-1)^2+2(-1)+1=-1-1-2+1=-3\) e con entrambi il polinomio mi da’ resto diverso da zero quindi anche questa scomposizione e’ da scartare

M.C.D. fra polinomi

M.C.D. fra polinomi Come per i monomi anche per i polinomi per calcolare il Massimo Comun Divisore devo trovare tutti i fattori comuni, quindi prima dovro’ scomporre i polinomi poi cercare cosa hanno di uguale fra loro (ricorda che se non hanno niente di uguale il Massimo Comun Divisore vale 1)

Vediamo su un esempio Trovare il M.C.D. fra i seguenti polinomi: \(3x^2 - 12 ; 3x^3 + 24 ; 6x + 12;\) Scompongo i tre polinomi \(3x^2 - 12 = 3 \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) scomposizione 3x^3 + 24 = 3 \cdot (x + 2) \cdot (x^2 - 2x + 4) scomposizione 6x + 12 = 2 \cdot 3 \cdot (x + 2) scomposizione\) Ora di comune abbiamo \(3\) e \((x + 2)\) quindi il M.C.D. e’ 3·(x + 2)

Definizione: Per calcolare il M.C.D. fra polinomi si scompongono i polinomi in fattori e poi si prendono i fattori comuni con l'esponente piu' basso

Proviamo qualcosa di piu’ complicato: Trovare il M.C.D. fra i seguenti polinomi: \(2x^3-6x^2 + 6x -2 ; 4x^2 - 8x + 4 ; 2x^3 -2x^2 - 2x + 2 ;\) Scompongo i tre polinomi \(2x^3-6x^2 + 6x -2 = 2 \cdot (x - 1)^3 scomposizione 4x^2 - 8x + 4 = 2^2 \cdot (x - 1)^2 scomposizione 2x^3 -2x^2 - 2x + 2 = 2 \cdot (x - 1)^2 \cdot (x + 1) scomposizione\) Devo prendere i fattori che sono comuni cioe’ \(2\) e \((x-1)\) e con l’esponente piu’ basso quindi \(M.C.D. = 2 \cdot (x - 1)^2\)

\(Scomponiamo il polinomio 3x^2 - 12 = raccolgo a fattor comune 3 =3 \cdot (x^2 - 4) Dentro parentesi ho due termini: sono due quadrati con il meno in mezzo: differenza di quadrati = 3 \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)\)

Scomponiamo il polinomio: \(3x^3 + 24 =\) Raccolgo \(3\)a fattor comune \(=3 \cdot (x^3 + 8) =\) Dentro parentesi ci sono due termini; non e’ una differenza di quadrati; c’e’ il segno meno in mezzo a due cubi (8 e’ il cubo di 2) quindi: \(=3 \cdot (x + 2) \cdot (x^2 - 2x + 4)\)

Scomponiamo il polinomio: \(6x + 12 =\) Raccolgo \(6\)a fattor comune =6·(x + 2) = Conviene scomporre anche il numero =2·3·(x + 2)

Scomponiamo il polinomio: \(2x^3-6x^2 + 6x -2 =\) Metto in evidenza il \(2\) \(2 \cdot (x^3-3x^2 + 3x -1) =\) Sono 4 termini e come prima cosa nella tabella delle scomposizioni devo controllare se e’ un cubo: Ho due termini al cubo (1 e’ il cubo di 1) ed i loro tripli prodotti \(=2 \cdot (x - 1)^3\)

Scomponiamo il polinomio: \(4x^2 - 8x + 4 =\) Raccolgo \(4\) a fattor comune \(= 4 \cdot ( x^2 - 2x + 1)=\) Ho tre termini e seguendo la tabella delle scomposizioni devo controllare per prima cosa se e’ un quadrato: vi sono due termini al quadrato ed il loro doppio prodotto \(= 4 \cdot (x - 1)^2=\) scompongo il numero 4 \(= 2^2 \cdot (x - 1)^2\)

Scomponiamo il polinomio: \(2x^3 -2x^2 - 2x + 2 = 2\) Metto in evidenza \(2 = 2 \cdot (x^3 -x^2 - x + 1)\) Dentro parentesi ho 4 termini e seguendo la tabella delle scomposizioni controllo:

1. Se si tratta di un cubo: i 2 cubi ci sono ma mancano i tripli prodotti; quindi non va bene e passo alla seconda scomposizione
2. Se si tratta di un raccoglimento parziale: tra il primo ed il secondo posso raccogliere \(x^2\) e tra il terzo ed il quarto posso raccogliere \(- 1\); provo la scomposizione

\(= 2 \cdot [x^2 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)]=\) dentro parentesi quadre raccolgo \((x - 1)\) \(= 2 \cdot [(x - 1) \cdot (x^2 - 1)]=\) Tolgo la parentesi quadra \(= 2 \cdot (x - 1) \cdot (x^2 - 1)=\) Dentro parentesi tonda ho una differenza di quadrati, la scompongo \(= 2 \cdot (x - 1) \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)= = 2 \cdot (x - 1)^2 \cdot (x + 1)\)

m.c.m. fra polinomi

m.c.m. fra polinomi Per calcolare il minimo comune multiplo devo prendere tutti i fattori comuni e non comuni con l’esponente piu’ alto, quindi prima dovro’ scomporre i polinomi Vediamo su un esempio Trovare il m.c.m. fra i seguenti polinomi: \(x^2 - 9 ; 2x^2 + 12x + 18 ; 3x^3 - 81;\) Scompongo i tre polinomi \(x^2 - 9 = (x - 3) \cdot (x + 3) scomposizione 2x^2 + 12x + 18 = 2 \cdot (x + 3)^2 scomposizione 3x^3 - 81 = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x^2 + 3x + 9) scomposizione\) Ora per fare il m.c.m. devo prendere tutto: \(m.c.m. = 2 \cdot 3 \cdot (x - 3) \cdot (x + 3)^2 \cdot (x^2 + 3x + 9)\)

Definizione: Per calcolare il m.c.m. fra polinomi si scompongono i polinomi in fattori e poi si prendono i fattori comuni e non comuni con l'esponente piu' alto

\(Scomponiamo il polinomio x^2 - 9 = Ho due termini: sono due quadrati con il meno in mezzo: differenza di quadrati =(x - 3) \cdot (x + 3)\)

\(Scomponiamo il polinomio 2x^2 + 12x + 18 = Prima raccolgo a fattor comune il 2 2 \cdot (x^2 + 6x + 9) = Ho tre termini: ci sono due quadrati con il loro doppio prodotto: Quadrato del binomio: =2 \cdot (x + 3)^2\)

Scomponiamo il polinomio \(3x^3 - 81=\) Prima metto in evidenza il 3 \(= 3 \cdot (x^3 - 27) =\) Dentro parentesi ho due termini: La prima scomposizione a due termini e’ la differenza di quadrati ma \(x^3\) non e’ un quadrato; Passo alla somma e differenza di cubi e stavolta ci siamo \(= 3 \cdot (x^3 - 3^3) = = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x^2 + 3x + 9)\)

polinomi

DEFINIZIONE DI POLINOMIO

bluviola chiaro. viola scuro potenza \(^{^3}\)

Stranezze sui segni

Diverso modo di interpretare i segni

E’ curioso come il segno piu’ o meno messo in mezzo a due enti matematici abbia significati diversi a seconda di come lo si osservi: ad esempio 3x-2y si puo’ considerare 1) come operazione di sottrazione fra il monomio 3x ed il monomio 2y 2) come segno del monomio 2y sottointendendo il segno piu’ fra i due monomi [3x+(-2y)] converrete con me che i due significati sono completamente diversi eppure viene usato lo stesso simbolo Come sarebbe la matematica se si usassero due simboli diversi?

uso delle parentesi

In matematica le parentesi (a seconda del punto di vista adottato) hanno 2 significati: Il primo, che abbiamo gia’ visto e’ far considerare un tutto unico quello che e’ dentro parentesi come ad esempio \(2a+3=(2a+3)\)per indicare che se anche non posso fare la somma considero la somma come fatta Ma c’e’ un altro significato molto importante ed e’ che i termini dentro parentesi hanno tutti gli stessi diritti e l’operazione (o il segno) che e’ fuori parentesi appartiene a tutti Cioe’ in \(-(3a^2+2a-3)\) il segno meno appartiene a tutti e tre i termini dentro parentesi quindi devi fare \(-(3a^2)= - 3a^2 -(+2a)= - 2a -(-3)= + 3\)secondo le regole dei segni Piu’ in generale se hai \(-2b(3a^2+2a-3)\) otterrai \(-6a^2b-4ab+6b\)e, come vedi, \(-2b\) appartiene a ciascuno dei monomi interni.

punto di vista

PUNTI DI VISTA

Spesso in matematica si hanno due modi completamente diversi di osservare un fenomeno:

il primo e’ il modo dell’osservatore esterno che descrive un fenomeno

il secondo e’ la matematica dal punto di vista degli oggetti su cui opera

cosi’ abbiamo per il primo metodo ad esempio i concetti di somma, differenza, prodotto, quoziente, il significato di parentesi come un tutto unico somma di termini che non posso sommare, il concetto di intervallo in analisi matematica..

per il secondo equivalentemente abbiamo i concetti di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, il significato di parentesi come distribuzione equa dell’operazione esterna, il concetto di intorno in analisi matematica..

un altro esempio che purtroppo e’ alla base di molti errori si ha quando consideri un polinomio come \(2a-3b\) il segno meno nel primo modo indica una sottrazione, nel secondo modo indica il segno del secondo monomio molti alunni trascurano questo secondo significato e quindi fanno errori di segno

Se divido un trinomio per un binomio il risultato avra’ 2 termini Se divido un quadrinomio per un binomio il risultato avra’ 3 termini Se divido un polinomio di 5 termini per un binomio il risultato avra’ 4 termini E cosi’ via di seguito Naturalmente se tutti i termini che ottengo sono diversi da zero

COS’E’ UN TERMINE

Per termine si intende cio’ che c’e’ fra un segno PIU’ o MENO e il segno PIU’ o MENO successivo (se c’e’) (fanno eccezione le parentesi) cosi’ ad esempio se prendiamo \(2a+3ab-4a\) il monomio\(+3ab\) e’ un termine essendo compreso fra il suo + ed il – successivo il monomio\(-4a\) e’ un termine essendo l’ultimo della fila il monomio\(2a\) e’ un termine ricorda che se un monomio non ha segno davanti e’ sottointeso il segno + se ora prendiamo \(2a+(-3ab)(-4a)/(-3bc)-4a\) tutto il blocco \(+(-3ab)(-4a)/(-3bc)\)e’ un solo termine