Cos’è un’equazione trigonometrica fondamentale
Un’equazione trigonometrica è un’equazione in cui l’incognita compare come argomento di una funzione trigonometrica. La forma più semplice è:
$$\sin(x) = a, \quad \cos(x) = a, \quad \tan(x) = a$$
dove $a$ è un numero reale. A differenza delle equazioni algebriche, queste equazioni hanno infinite soluzioni, distribuite lungo l’asse reale con periodicità regolare. Trovare tutte le soluzioni significa scrivere la soluzione generale, cioè una formula che le descriva tutte con un parametro intero $k$.
Le tre equazioni di base con le loro soluzioni generali
Equazione $\sin(x) = a$, con $|a| \leq 1$
La soluzione generale è:
$$x = \arcsin(a) + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
La prima famiglia corrisponde al primo quadrante (o al quarto), la seconda al secondo quadrante (o al terzo). Se $|a| > 1$ l’equazione è impossibile: il seno resta entro il valore assoluto $1$.
Equazione $\cos(x) = a$, con $|a| \leq 1$
La soluzione generale è:
$$x = \pm\arccos(a) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Il coseno è una funzione pari: se $x_0$ è soluzione, lo è anche $-x_0$. Ecco perché la formula usa $\pm$.
Equazione $\tan(x) = a$, con $a \in \mathbb{R}$
La soluzione generale è:
$$x = \arctan(a) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
La tangente ha periodo $\pi$ (non $2\pi$), quindi le soluzioni si ripetono ogni $\pi$. Non c’è restrizione su $a$: la tangente copre tutti i valori reali.
Esercizio 1: Equazione base con seno
Risolvi $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$.
Passo 1: Trova il valore di riferimento.
$\arcsin\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ (30°). Lo conosci dalla tavola dei valori notevoli.
Passo 2: Scrivi la soluzione generale.
$$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Passo 3: Interpreta geometricamente.
Sul cerchio unitario, il seno vale $\frac{1}{2}$ in due punti simmetrici rispetto all’asse verticale: a $30°$ e a $150°$. Le due famiglie di soluzioni corrispondono a questi due punti, ripetuti ogni giro completo ($2\pi$).
Esercizio 2: Equazione base con coseno
Risolvi $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Passo 1: Valore di riferimento.
$\arccos\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, ma il coseno deve essere negativo: questo accade nel secondo e terzo quadrante. L’angolo del secondo quadrante con $|\cos| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ è $\frac{3\pi}{4}$ (135°).
Passo 2: Soluzione generale.
$$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Oppure, esplicitamente: $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ oppure $x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$. Entrambe le famiglie descrivono angoli nel secondo e terzo quadrante dove il coseno è negativo.
Esercizio 3: Equazione con tangente
Risolvi $\tan(x) = \sqrt{3}$.
Passo 1: Valore di riferimento.
$\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ (60°).
Passo 2: Soluzione generale.
$$x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Passo 3: Elenca le prime soluzioni.
- $k=0$: $x = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05$
- $k=1$: $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}19$
- $k=-1$: $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -2{,}09$
Esercizio 4: Equazione con argomento composto
Risolvi $\sin(2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Passo 1: Sostituisci $t = 2x$.
L’equazione diventa $\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, con $\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Passo 2: Soluzione per $t$.
$$t = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad t = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$
Passo 3: Ritorna a $x$ sostituendo $t = 2x$.
$$2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{6} + k\pi$$
$$2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi$$
Soluzione finale: $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ oppure $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Esercizio 5: Equazione riconducibile alla forma base
Risolvi $2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0$.
Passo 1: Sostituisci $t = \sin(x)$.
L’equazione diventa un’equazione di secondo grado in $t$:
$$2t^2 - t - 1 = 0$$
Passo 2: Risolvi la quadratica.
Discriminante: $\Delta = 1 + 8 = 9$. Soluzioni:
$$t = \frac{1 \pm 3}{4} \quad \Rightarrow \quad t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{1}{2}$$
Passo 3: Risolvi le due equazioni trigonometriche.
Caso $\sin(x) = 1$:
$$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Caso $\sin(x) = -\dfrac{1}{2}$:
$\arcsin\!\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$
$$x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Soluzione completa: le tre famiglie riunite:
$$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
La sostituzione $t = \sin(x)$ (o $\cos(x)$) risolve le equazioni che formano un polinomio nella funzione trigonometrica. È una tecnica comune per le equazioni di grado superiore al primo.
Per risolvere queste equazioni velocemente hai bisogno di conoscere a memoria i valori fondamentali: li trovi con spiegazione completa in valori notevoli della trigonometria.