La tavola completa dei valori notevoli
Ecco i valori che ricorrono negli esercizi di trigonometria. Sono frazioni esatte derivate dalla geometria dei triangoli rettangoli.
| Angolo | Radianti | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ | $\cot$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0° | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ | non definita |
| 30° | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| 45° | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | $1$ |
| 60° | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 90° | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | non definita | $0$ |
| 120° | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\sqrt{3}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 135° | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ | $-1$ |
| 150° | $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $-\sqrt{3}$ |
| 180° | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ | non definita |
La cotangente è indefinita dove il seno è zero (0° e 180°), mentre la tangente è indefinita dove il coseno è zero (90°).
Come ricordarli: tre metodi pratici
Metodo 1: Il triangolo 30-60-90
Prendi un triangolo equilaterale con lato $2$. Taglia a metà con l’altezza: ottieni un triangolo rettangolo con angoli 30°-60°-90° e lati $1$, $\sqrt{3}$, $2$. Da qui:
$$\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \tan 60° = \sqrt{3}$$
Nota: sin e cos si “scambiano” tra 30° e 60°. Questo perché sono angoli complementari: $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$.
Metodo 2: Il triangolo 45-45-90
Prendi un quadrato con lato $1$ e taglia lungo la diagonale: ottieni un triangolo isoscele rettangolo con angoli 45°-45°-90° e lati $1$, $1$, $\sqrt{2}$.
$$\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45° = 1$$
Seno e coseno sono uguali a 45° perché i due cateti sono uguali: il triangolo è isoscele.
Metodo 3: Il metodo della mano
Stendi la mano sinistra con il palmo verso di te. Ogni dito corrisponde a un angolo notevole: pollice = 0°, indice = 30°, medio = 45°, anulare = 60°, mignolo = 90°.
Per trovare $\sin(\alpha)$: abbassa il dito corrispondente all’angolo. Conta i diti sotto il dito abbassato, mettilo sotto radice e dividi per 2. Per trovare $\cos(\alpha)$: conta i diti sopra.
- $\sin 30°$: abbasso il dito indice (30°). Sotto: il pollice → 1 dito. $\sin 30° = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$ ✓
- $\sin 60°$: abbasso l’anulare (60°). Sotto: pollice, indice, medio → 3 diti. $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓
- $\cos 60°$: sopra l’anulare: il mignolo → 1 dito. $\cos 60° = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$ ✓
Il metodo è informale e funziona per i valori da 0° a 90°.
Angoli oltre 90°: la regola del segno
Per gli angoli tra 90° e 180° (secondo quadrante), il seno rimane positivo, coseno e tangente diventano negativi. Il modulo del valore è uguale a quello dell’angolo supplementare:
$$\sin(180° - \alpha) = \sin(\alpha), \quad \cos(180° - \alpha) = -\cos(\alpha)$$
Esempio: $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, mentre $\cos 120° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$.
Per il terzo e quarto quadrante (180°–360°) si usano le formule:
$$\sin(180° + \alpha) = -\sin(\alpha), \quad \cos(180° + \alpha) = -\cos(\alpha) \quad \text{(terzo quadrante)}$$
$$\sin(360° - \alpha) = -\sin(\alpha), \quad \cos(360° - \alpha) = \cos(\alpha) \quad \text{(quarto quadrante)}$$
Esempio per il terzo quadrante: $\sin 210° = \sin(180° + 30°) = -\sin 30° = -\frac{1}{2}$. Esempio per il quarto: $\cos 330° = \cos(360° - 30°) = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
La logica è sempre la stessa: calcola il modulo con il valore notevole dell’angolo di riferimento (l’angolo acuto corrispondente), poi applica il segno in base al quadrante. Seno positivo nel I e II quadrante; coseno positivo nel I e IV; tangente positiva nel I e III.
Esercizio 1: Calcola senza calcolatrice
Calcola $\sin 45° \cdot \cos 30° + \cos 45° \cdot \sin 30°$.
Passo 1: Sostituisci i valori notevoli.
$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
Passo 2: Riconosci la formula.
Questo è esattamente $\sin(45° + 30°) = \sin 75°$. Hai appena calcolato $\sin 75°$ senza calcolatrice usando la formula di addizione.
Esercizio 2: Verifica un’identità
Verifica che $\sin^2 60° + \cos^2 60° = 1$.
Passo 1: Sostituisci.
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \quad \checkmark$$
L’identità fondamentale $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ vale per qualsiasi angolo. Verificarla su un valore notevole è un buon modo per controllare di non aver confuso seno e coseno.
Esercizio 3: Semplifica un’espressione
Semplifica $\dfrac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \cdot \tan 30°}$.
Passo 1: Sostituisci i valori.
$\tan 45° = 1$, $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$$
Passo 2: Razionalizza moltiplicando per $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$.
$$\frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$$
Passo 3: Riconosci il risultato.
Questo è $\tan(45° + 30°) = \tan 75°$. Hai applicato la formula di addizione per la tangente usando solo valori notevoli.
Per vedere come questi valori si comportano lungo un ciclo completo e come appaiono nel grafico, leggi grafici delle funzioni trigonometriche.