La tabella dei valori che ti serve davvero

Prima di parlare di grafici, devi avere in testa i valori fondamentali. Questi valori derivano dalle definizioni geometriche sul cerchio unitario e restano impressi quando ne capisci l’origine.

Angolo	Radianti	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
60°	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	non definita
120°	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
180°	$\pi$	$0$	$-1$	$0$
270°	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	non definita
360°	$2\pi$	$0$	$1$	$0$

La tangente è indefinita in 90° e 270° perché $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ e il coseno si annulla in quei punti. Per approfondire da dove vengono questi valori, vai a valori notevoli della trigonometria.

Come leggere un grafico trigonometrico: tre concetti chiave

Periodo

Il periodo è la lunghezza minima dell’intervallo dopo cui la funzione si ripete identica. Per seno e coseno il periodo è $2\pi \approx 6{,}28$; per la tangente è $\pi$.

Se la funzione è $y = \sin(bx)$, il periodo diventa:

$$T = \frac{2\pi}{|b|}$$

Esempio: $y = \sin(3x)$ ha periodo $\frac{2\pi}{3}$. Il grafico si “comprime” orizzontalmente: nello stesso spazio compaiono tre cicli invece di uno.

Ampiezza

L’ampiezza è la distanza dal valore massimo all’asse orizzontale. Per $y = a\sin(x)$, l’ampiezza è $|a|$: il massimo sale a $a$ e il minimo scende a $-a$. La tangente diverge verso $\pm\infty$ agli asintoti, quindi non ha ampiezza finita.

Sfasamento

Lo sfasamento (o fase) sposta il grafico orizzontalmente senza cambiare la forma. Per $y = \sin(x - \varphi)$, il grafico del seno standard trasla di $\varphi$ unità verso destra quando $\varphi > 0$. Lo sfasamento si legge facilmente trovando il punto dove la funzione vale zero e sale.

Esercizio 1: Grafico di $y = 2\sin(x)$

Traccia il grafico di $y = 2\sin(x)$ nell’intervallo $[0, 2\pi]$.

Passo 1: Individua ampiezza e periodo.
Ampiezza: $|a| = 2$, quindi il massimo vale $2$ e il minimo vale $-2$.
Periodo: il coefficiente di $x$ è $1$, quindi $T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$. Nessun cambiamento orizzontale rispetto al seno standard.

Passo 2: Calcola i cinque punti caratteristici.

• $x = 0$: $y = 2\sin(0) = 0$ (zero, la curva parte dall’asse)
• $x = \frac{\pi}{2}$: $y = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 1 = 2$ (massimo)
• $x = \pi$: $y = 2\sin(\pi) = 0$ (zero di discesa)
• $x = \frac{3\pi}{2}$: $y = 2\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2 \cdot (-1) = -2$ (minimo)
• $x = 2\pi$: $y = 2\sin(2\pi) = 0$ (fine del ciclo)

Passo 3: Traccia.
La forma è identica a $\sin(x)$, ma l’altezza è doppia. Le croci sull’asse $x$ restano nelle stesse posizioni ($0, \pi, 2\pi$); il picco positivo passa da $1$ a $2$, il picco negativo da $-1$ a $-2$. Immagina di “stirare” il grafico del seno verso l’alto e verso il basso.

Esercizio 2: Grafico di $y = \cos(2x)$

Traccia il grafico di $y = \cos(2x)$ nell’intervallo $[0, 2\pi]$.

Passo 1: Calcola il periodo.
$b = 2$, quindi $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Il grafico completa un ciclo ogni $\pi$ unità: nel solito intervallo $[0, 2\pi]$ vedrai due cicli completi.

Passo 2: Ampiezza invariata.
Non c’è coefficiente davanti al coseno, quindi ampiezza $= 1$. Massimo $= 1$, minimo $= -1$.

Passo 3: Punti caratteristici del primo ciclo $[0, \pi]$.

• $x = 0$: $y = \cos(0) = 1$ (massimo: il coseno parte dall’alto)
• $x = \frac{\pi}{4}$: $y = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
• $x = \frac{\pi}{2}$: $y = \cos(\pi) = -1$ (minimo)
• $x = \frac{3\pi}{4}$: $y = \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$
• $x = \pi$: $y = \cos(2\pi) = 1$ (di nuovo al massimo)

Passo 4: Traccia il secondo ciclo $[\pi, 2\pi]$.
È identico al primo per periodicità. Il grafico è come un coseno standard “compresso” a metà orizzontalmente.

Esercizio 3: Grafico di $y = \tan\!\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Traccia il grafico di $y = \tan\!\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ indicando asintoti e punti notevoli.

Passo 1: Identifica lo sfasamento.
La forma è $\tan(x - \varphi)$ con $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Il grafico della tangente standard si sposta di $\frac{\pi}{4}$ verso destra.

Passo 2: Trova gli asintoti verticali.
La tangente ha asintoti dove il coseno dell’argomento si annulla:

$$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Quindi gli asintoti si trovano in $x = \ldots, -\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}, \ldots$

Passo 3: Punto in cui la curva attraversa l’asse $x$.
$y = 0$ quando $\tan(x - \pi/4) = 0$, cioè quando $x - \pi/4 = k\pi$, quindi $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Nel ramo centrale: la curva attraversa l’asse in $x = \frac{\pi}{4}$.

Passo 4: Traccia.
Disegna le rette verticali tratteggiate in corrispondenza degli asintoti. Tra due asintoti consecutivi, la curva sale da $-\infty$ a $+\infty$ con andamento a “S”. La forma coincide con quella della tangente standard, traslata di $\frac{\pi}{4}$ a destra.

Schema riassuntivo delle proprietà principali

Funzione	Periodo	Ampiezza	Dominio	Codominio	Parità
$\sin(x)$	$2\pi$	1	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	Dispari
$\cos(x)$	$2\pi$	1	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	Pari
$\tan(x)$	$\pi$	non definita	$\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$	$\mathbb{R}$	Dispari

Parità: seno e tangente sono funzioni dispari ($f(-x) = -f(x)$), quindi il loro grafico è simmetrico rispetto all’origine. Il coseno è pari ($f(-x) = f(x)$), con simmetria rispetto all’asse $y$. Questa proprietà aiuta quando tracci solo metà grafico e poi lo ribalti.

Se vuoi capire da dove vengono i valori nella tabella iniziale e come ricordarli senza memorizzare, leggi valori notevoli della trigonometria.