equazione di secondo grado completa

Equazione di secondo grado completa E’ l’equazione

\[ax^2 + bx + c = 0\]

Per risolverla basta applicare la formula risolutiva: \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\)

La prima cosa da dire e’ che, vista l’importanza della formula, sarebbe bene riscriverla ogni volta che la usi. Cosi’, senza troppa fatica l’impari a memoria La seconda e’ che, visto che per ricavarla vi sono dei ragionamenti matematici piuttosto interessanti, sarebbe bene capire la dimostrazione anche se il tuo professore non l’ha spiegata. Nella pagina successiva potrai vedere la dimostrazione

• Formula risolutiva
• Formula ridotta
• Discriminante
• Relazioni fra coefficienti e radici
• Regola di cartesio
• Decomposizione del trinomio
• Esercizi
• Discussione di un'equazione disecondo grado

Facciamo un esercizio \(x^2 - 5x + 6 = 0\) i coefficienti sono

• a = 1
• b = – 5
• c = 6

sostituisco nella formula \(-(-5) [(-5)^2 - 4(1)(6)] x_{1,2} = ---------------------------------- 2(1)\) eseguo i calcoli \(5 [25 - 24] x_{1,2} = ------------------------- 2\) \(5 1 x_{1,2} = ----------------- 2\) estraggo di radice \(5 1 x_{1,2} = ------------ 2\) ora devo fare un bivio scegliendo una volta il meno e l’altra il piu’

• x\(_1\) = (5 – 1)/2 = 4/2 = 2
• x\(_2\) = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3

dimostrazione della formula risolutiva

Formula risolutiva dell'equazione di secondo grado Dobbiamo dimostrare come da \(ax^2 + bx + c = 0\) si giunga a \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\)

\(ax^2 + bx + c = 0\) Devo togliere di mezzo x\(^2\) e farla diventare una x, l’unico sistema e’ di racchiudere le x dentro un quadrato, facendo poi la radice avro’ la x a potenza 1. Perche’ ax\(^2\) faccia parte di un quadrato dovro’ moltiplicarlo per a. Perche’ bx sia il doppio prodotto dovrei moltiplicarlo per 2; siccome pero’ quando moltiplico devo moltiplicare tutti i termini, il primo termine non sarebbe piu’ un quadrato; allora moltiplichero’ per 4 cosi’ il primo termine diventa un quadrato ed il secondo un doppio prodotto. Conclusione: moltiplico tutto per \(4a\)\(4a (ax^2 + bx + c) = 0 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\) Il primo termine e’ un quadrato, il secondo e’ un doppio prodotto quindi manca il quadrato del secondo, guardando il doppio prodotto vedo che l’unico termine che manca e’ b, quindi perche’vi sia un quadrato devo aggiungere (e togliere per non cambiare il valore) b\(^2\) \(4a^2x^2 + 4abx + b^2 - b^2 + 4ac = 0\) raccolgo il quadrato \((2ax + b)^2 - b^2 + 4ac = 0\) lascio il quadrato da solo prima dell’uguale \((2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\) Estraggo la radice da una parte e dall’altra \((2ax + b)^2 = (b^2 - 4ac)\) \(2ax + b = (b^2 - 4ac)\) ora e’ come un’equazione di primo grado quindi porto i termini senza x dopo l’uguale \(2ax = - b (b^2 - 4ac)\) divido tutto per 2a in modo da lasciare la x da sola \(2ax -b (b^2 - 4ac) ----- = --------------------- 2a 2a\) e si ottiene la formula finale \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\)

A volte conviene applicare una formula piu’ veloce: la formula ridotta che troverai nella prossima pagina.

formula ridotta

Formula ridotta Si puo’ applicare solamente quando il secondo termine e’ divisibile per due: pongo b=2h \(ax^2 + 2hx + c = 0\) in tal caso la formula risolutiva diviene: \(-h (h^2 - ac) x_{1,2} = ---------------------- a\) la formula ridotta semplifica i calcoli per trovare le soluzioni ed e’ conveniente da usare soprattutto quando il termine a vale 1

esempio: \(x^2 + 6x + 8 = 0\) b vale 6 quindi h (meta’ di b) vale 3 \(-3 [(3)^2 - 1 \cdot 8] x_{1,2} = ---------------------- 1\) eseguo i calcoli x\(_{1,2}\) = -3

\(\pm\)

[figura: radicearossa.jpg]

(9-8) x\(_{1,2}\) = -3

\(\pm\)

[figura: radicearossa.jpg]

1 x\(_{1,2}\) = -3

\(\pm\)1

• x\(_1\) = -3 + 1 = -2
• x\(_2\) = -3 – 1 = -4

Vediamone ora la dimostrazione; sostituendo 2h al posto di b nella formula risolutiva ottengo: \(-2h [(2h)^2 - 4ac] x_{1,2} = ---------------------- 2a\) eseguo il quadrato \(-2h (4h^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) Raccolgo il 4 all’interno della radice \(-2h 4(h^2 - ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) porto il 4 fuori radice \(-2h 2(h^2 - ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) raccolgo il 2 fra il primo termine e la radice \(2[-h (h^2 - ac) ] x_{1,2} = ---------------------- 2a\) ora semplificando il 2 sopra e sotto ottengo la formula risolutiva: \(-h (h^2 - ac) x_{1,2} = ---------------------- a\) mi scuso per l’uso sovrabbondante di parentesi ma non posso estendere la riga superiore del radicale

Esiste anche una formula detta ridottissima, ma, secondo me, complica i calcoli invece di semplificarli

il discriminante dell'equazione di secondo grado

Il discriminante dell'equazione di secondo grado

Prima di affrontare questo argomento dovresti leggere le prime parti dei numeri immaginari e complessi fino alla definizione di numero complesso

Si definisce discriminante o

\(\Delta\) (delta) il termine che si trova sotto radice nella formula risolutiva dell’equazione di secondo grado. \(-b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a\) cioe’ \(= b^2 - 4ac\)

Si chiama discriminante perche’ e’ il termine che discrimina, cioe’ rende differenti le soluzioni, infatti quando hai estratto la radice una volta va sommato ed una volta va sottratto cosi’ ottieni due valori diversi. A volte si usa anche chiamarlo determinante perche’ e’ lui che determina le soluzioni; pero’ e’ un errore: il determinante e’ un’altra cosa. Incontreremo il determinante quando parleremo di calcolo matriciale a proposito dei sistemi lineari di piu’ equazioni in piu’ incognite

Siccome il termine e’ dentro radice abbiamo tre possibilita’:

il discriminante e’ minore di zero

• il discriminante e’ maggiore di zero \(= b^2 - 4ac > 0\) in tal caso posso fare la radice e poiche’ devo sommare e sottrarre otterro’ due radici reali e distinte
• il discriminante e’ uguale a zero \(= b^2 - 4ac = 0\) in tal caso la radice vale zero e poiche’ devo sommare e sottrarre zero otterro’ due radici uguali (valori reali e coincidenti) e la doppia soluzione vale -b/2a
• \(\Delta\) = b\(^2\) – 4ac in tal caso non posso fare la radice nei numeri reali ma solo nei numeri immaginari e poiche’ devo sommare e sottrarre otterro’ due radici complesse che differiranno solo per il segno in mezzo ai numeri (radici complesse e coniugate)

Regola: un’ equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni che potranno essere

• reali e distinte se il discriminante e’ maggiore di zero
• reali coincidenti se il discriminante e’ uguale a zero
• complesse e coniugate se il discriminante e’ minore di zero

Se il tuo insegnante non ti ha spiegato i numeri complessi puoi semplicemente dire che se il discriminante e’ minore di zero l’equazione non ammette soluzioni reali

\(infatti se nella formula risolutiva: -b (b^2 - 4ac) x_{1,2} = ---------------------- 2a pongo il termine sotto radice uguale a zero ottengo -b x_{1,2} = ----- 2a\)

Caso del discriminante maggiore di zero

Caso del discriminante maggiore di zero Facciamo un esempio \(x^2 - 3x - 4= 0\) i coefficienti sono

• a = 1
• b = – 3
• c = -4

sostituisco nella formula \(-(-3) [(-3)^2 - 4(1)(-4)] x_{1,2} = ---------------------------------- 2(1)\) eseguo i calcoli \(3 (9 + 16) x_{1,2} = ------------------------- 2\) il discriminante vale 25 > 0 \(3 25 x_{1,2} = ----------------- 2\) estraggo di radice. Posso farlo perche’ il discriminante e’ maggiore di zero \(3 5 x_{1,2} = ------------ 2\) ora devo fare un bivio scegliendo una volta il meno e l’altra il piu’

• x\(_2\) = (3 – 5)/2 = -2/2 = -1
• x\(_1\) = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4

ottengo due radici reali e distinte

Caso del discriminante uguale a zero

Caso del discriminante uguale a zero Facciamo un esempio \(x^2 - 6x +9= 0\) i coefficienti sono

• a = 1
• b = – 6
• c = 9

sostituisco nella formula \(-(-6) [(-6)^2 - 4(1)(9)] x_{1,2} = ---------------------------------- 2(1)\) eseguo i calcoli \(6 (36 - 36) x_{1,2} = ------------------------- 2\) il discriminante vale 0 \(3 0 x_{1,2} = ----------------- 2\) \(6 0 x_{1,2} = ------------ 2\) ora devo fare un bivio scegliendo una volta il meno e l’altra il piu’, ma essendo il secondo termine zero non mi cambiera’ nulla

• x\(_2\) = (6 – 0)/2 = 6/2 = 3
• x\(_1\) = (6 + 0)/2 = 6/2 = 3

ottengo due radici reali e coincidenti

Quando il discriminante e’ uguale a zero il primo membro dell’equazione e’ un quadrato perfetto: \(x^2 - 6x +9= 0\) e’ un quadrato infatti posso scrivere: \((x - 3)^2 = 0\) (x – 3)·(x – 3) = 0 per la legge di annullamento del prodotto dovro’ fare

• (x – 3 ) = 0 x\(_1\) = 3
• (x – 3 ) = 0 x\(_2\) = 3

Si usa anche dire che la soluzione e’ doppia

Non ho applicato la formula ridotta per non distrarti dall’argomento, pero’ potresti ora rifare tu l’esercizio applicando la formula ridotta

Caso del discriminante minore di zero

Caso del discriminante minore di zero Facciamo un esempio \(x^2 - 2x + 5= 0\) i coefficienti sono

• a = 1
• b = – 2
• c = 5

sostituisco nella formula \(-(-2) [(-2)^2 - 4(1)(5)] x_{1,2} = ---------------------------------- 2(1)\) eseguo i calcoli \(2 (4 - 20) x_{1,2} = ------------------------- 2\) il discriminante vale -16 \(2 -16 x_{1,2} = ----------------- 2\) Come numero immaginario la radice di -16 e’ 4i \(2 4i x_{1,2} = ------------ 2\) ora devo fare un bivio scegliendo una volta il meno e l’altra il piu’

• x\(_2\) = (2-4i)/2 = 2(1-2i)/2 = 1-2i
• x\(_1\) = (2+4i)/2 = 2(1+2i)/2 = 1+2i

ottengo due radici complesse e coniugate

Prova a rifare l’esercizio utilizzando la formula ridotta

relazioni fra coefficienti e radici nell'equazione di secondo grado

Relazioni fra coefficienti e radici nell'equazione di secondo grado Se io considero un’equazione di secondo grado tipo: \(x^2 - 5x + 6 = 0\) che ho gia’ risolto; le sue radici sono

• x\(_1\) = 2
• x\(_2\) = 3

Viene da chiedersi se e’ possibile stabilire una relazione fra le radici ed i coefficienti: infatti, con la formula risolutiva, dati i coefficienti trovi le radici. Siccome in matematica si deve sempre poter fare anche il contrario dobbiamo veder come dalle radici si possano ritrovare i coefficienti.

Per essere piu’ chiari data l’equazione trovi le radici; allora conoscendo le radici devi poter ritrovare l’equazione

Queste relazioni si ottengono facendo la somma ed il prodotto delle radici stesse.

• somma delle radici
• prodotto delle radici

somma delle radici nell'equazione di secondo grado

Somma delle radici nell'equazione di secondo grado Considero le due radici dell’equazione di secondo grado: \(-b - (b^2 - 4ac) x_1 = ---------------------- 2a\) e \(-b + (b^2 - 4ac) x_2 = ---------------------- 2a\) voglio fare la loro somma \(x_1 + x_2\) \(-b - (b^2 - 4ac) -b + (b^2 - 4ac) x_1 + x_2 = ---------------------- + -------------------------- = 2a 2a\) il minimo comune multiplo vale 2a \(-b - (b^2 - 4ac) -b + (b^2 - 4ac) = ------------------------------------------------ = 2a\) Le radici sono uguali e di segno contrario quindi vanno via \(-b -b = ------- = 2a\) sommo i numeratori e semplifico \(-2b -b = ------- = ---- 2a a\) quindi: \(-b x_1 + x_2 = ----- a\) cioe’:

Regola: la somma delle radici dell'equazione di secondo grado e' uguale al rapporto cambiato di segno fra il secondo ed il primo coefficiente

• a si chiama primo coefficiente
• b si chiama secondo coefficiente
• c si chiama termine noto

Considerando l’equazione (che abbiamo gia’ risolto) \(x^2 - 5x + 6 = 0\) i coefficienti sono

• a = 1
• b = – 5
• c = 6

e il rapporto -b/a vale -(-5/1) = +5 Le radici sono:

• x\(_1\) = 2
• x\(_2\) = 3

e la loro somma vale +5 esattamente come il rapporto -b/a

D’ora in avanti per sapere se hai fatto i calcoli giusti puoi controllare se la somma delle radici trovate corrisponde al rapporto -b/a

prodotto delle radici nell'equazione di secondo grado

Prodotto delle radici nell'equazione di secondo grado Considero le due radici dell’equazione di secondo grado: \(-b - (b^2 - 4ac) x_1 = ---------------------- 2a\) e \(-b + (b^2 - 4ac) x_2 = ---------------------- 2a\) voglio fare il loro prodotto \(x_1 \cdot x_2\) \(-b - (b^2 - 4ac) -b + (b^2 - 4ac) x_1 \cdot x_1 = ------------------------ \cdot -------------------------- = 2a 2a\) devo moltiplicare numeratore con numeratore e denominatore con denominatore (sopra con sopra e sotto con sotto) sotto otterro’ 4a\(^2\) sopra osservo che si tratta di due termini (uno e’ -b l’altro e’ la radice) moltiplicati per gli stessi due termini col segno in mezzo cambiato, cioe’ e’ un prodotto notevole somma di due monomi per la loro differenza ed il risultato sara’ il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo \((-b )^2 - [(b^2 - 4ac) ]^2 = ----------------------------- = 4a^2\) Mando via la radice con il quadrato: resta \((-b )^2 - (b^2 - 4ac) = ------------------------- = 4a^2\) Eseguo il primo quadrato e tolgo la seconda parentesi (ricorda di cambiare di segno) \(b^2 - b^2 + 4ac = ----------------------- = 4a^2\) b\(^2\) si elimina con – b\(^2\) \(4ac = -------- = 4a^2\) semplifico sopra e sotto per 4a \(c = ----- a\) quindi: \(c x_1 \cdot x_2 = ----- a\) cioe’:

Regola: il prodotto delle radici dell'equazione di secondo grado e' uguale al rapporto fra il termine noto ed il primo coefficiente

• a si chiama primo coefficiente
• b si chiama secondo coefficiente
• c si chiama termine noto

Considerando l’equazione (che abbiamo gia’ risolto) \(x^2 - 5x + 6 = 0\) i coefficienti sono

• a = 1
• b = – 5
• c = 6

e il rapporto c/a vale 6/1 = +6 Le radici sono:

• x\(_1\) = 2
• x\(_2\) = 3

e il loro prodotto vale +6 esattamente come il rapporto c/a

Per sapere se hai fatto i calcoli giusti puoi anche controllare se il prodotto delle radici trovate corrisponde al rapporto c/a

equazione consomma e prodotto

Equazione di secondo grado con riferimento alla somma e prodotto dei coefficienti Alla luce di quanto visto nelle pagine precedenti possiamo scrivere l’equazione di secondo grado anche come

\[x^2 - sx + p = 0\]

con s somma delle radici p prodotto delle radici

infatti tu hai l’equazione \(ax^2 + bx + c = 0\) divido tutto per a \(x^2 +\) b —- a x + c —- a = 0

siccome b/a e’ la somma delle radici cambiata di segno, mentre c/a e’ il prodotto posso scrivere b —- a = – s c —- a = p

e sostituendo ottengo \(x^2 - sx + p = 0\)

regola di Cartesio

Regola di Cartesio La regola di Cartesio mette in evidenza le relazioni esistenti tra i segni dei coefficienti a,b,c ed i segni delle radici x\(_1\) e x\(_2\)

\(Cioe' guardando i segni di a,b e c trovo i segni di x_1 e x_2\)

Guardo i segni di

\[ax^2 + bx + c = 0\]

ho una

permanenza

ho una

variazione

• di segno se due segni successivi sono uguali
• di segno se due segni successivi sono diversi

\(ad esempio: 2x^2 + 5x + 2 = 0 ha 2 permanenze 2x^2 - 5x + 2 = 0 ha 2 variazioni x^2 + 3x - 4 = 0 ha 1 permanenza ed 1 variazione\)

Regola di Cartesio: ad ogni permanenza corrisponde una radice negativa e ad ogni variazione una radice positiva

quindi l’equazione: \(2x^2 + 5x + 2 = 0\) ha 2 permanenze cioe’ due soluzioni entrambe negative \(2x^2 - 5x + 2 = 0\) ha 2 variazioni cioe’ due soluzioni entrambe positive \(x^2 + 3x - 4 = 0\) ha 1 permanenza ed 1 variazione cioe’ una soluzione negativa e l’altra positiva

Naturalmente la regola e’ valida solo se l’equazione e’ risolubile nell’insieme dei numeri reali

La dimostrazione della regola e’ un buon esempio di ragionamento matematico e sarebbe da studiare anche se, ormai, in alcune scuole si insegna la regola senza farne la dimostrazione. In matematica, invece, a parte i postulati iniziali, tutto dovrebbe essere dimostrato! Nella pagina seguente troverai una tabella riassuntiva con le relative dimostrazioni

tabella riassuntiva della regola di Cartesio

Tabella riassuntiva della regola di Cartesio Considerando i vari segni possibili per i coefficienti possiamo aver i seguenti casi: \((ho considerato x_1 come valore assoluto minore e x_2 come valore assoluto maggiore cioe'senza considerarne i segni)\)a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(+\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\) dim

\(+\) \(+\) \(-\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\) dim

\(+\) \(-\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\) dim

\(+\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\) \(+\) dim

i seguenti casi si possono ricondurre ai primi quattro semplicemente cambiando di segno i termini dell’equazione ( secondo principio: moltiplico per -1), Li metto comunque come esercizio per ripassare i ragionamenti logici da applicare

\(-\) \(-\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\) dim

\(-\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\) dim

\(-\) \(+\) \(-\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\) dim

\(-\) \(+\) \(+\) \(+\) \(-\) \(-\) \(+\) dim

(per ogni riga puoi vedere la relativa dimostrazione facendo click sulla casella dim)

dimostrazione

Dimostrazione Debbo dimostrare che da

• a positivo
• b positivo
• c positivo

segue

• x\(_1\) negativa
• x\(_2\) negativa

a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(+\) – + – –

Essendo a e b positivi il loro rapporto b/a sara’ positivo, allora -b/a sara’ negativo, cioe’ sara’ negativa la somma delle radici a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(+\) \(-\) + – –

Essendo a e c positivi lo sara’ anche il loro rapporto c/a quindi il prodotto delle radici e’ positivo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(+\) \(-\) \(+\) – –

Se un prodotto di due numeri ( x\(_1\)·x\(_2\) ) e’ positivo i due numeri debbono avere lo stesso segno (entrambe positivi o entrambe negativi). Due numeri positivi danno una somma positiva Due numeri negativi danno una somma negativa Siccome la somma ( x\(_1\)+x\(_2\) ) e’ negativa ne deriva che entrambe i numeri sono negativi a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(+\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\)

Due permanenze = due radici negative

Dimostrazione Debbo dimostrare che da

• a positivo
• b positivo
• c negativo

segue

• x\(_1\) positiva
• x\(_2\) negativa

a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(-\) – – + –

Essendo a e b positivi il loro rapporto b/a sara’ positivo, allora -b/a sara’ negativo, cioe’ sara’ negativa la somma delle radici a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(-\) \(-\) + + –

Essendo a positivo e c negativo il loro rapporto c/a sara’ negativo quindi il prodotto delle radici e’ negativo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(-\) \(-\) \(-\) + –

Se un prodotto di due numeri ( x\(_1\)·x\(_2\) ) e’ negativo i due numeri debbono avere segno contrario. Se facciamo la somma di due numeri di segno contrario, la somma avra’ sempre il segno del piu’ grosso (meglio dire di quello di valore assoluto magiore) Siccome la somma ( x\(_1\)+x\(_2\) ) e’ negativa ne deriva che il piu’ grosso ( x\(_2\)) e’ negativo ed il piu’ piccolo (x\(_1\)) e’ positivo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(+\) \(-\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\)

Una permanenza ed una variazione = una radice negativa ed una positiva

Dimostrazione Debbo dimostrare che da

• a positivo
• b negativo
• c positivo

segue

• x\(_1\) positiva
• x\(_2\) positiva

a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(-\) \(+\) + + + +

Essendo a positivo e b negativo il loro rapporto b/a sara’ negativo, allora -b/a sara’ positivo, cioe’ sara’ positiva la somma delle radici a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(-\) \(+\) \(+\) + + +

Essendo a e c positivi lo sara’ anche il loro rapporto c/a quindi il prodotto delle radici e’ positivo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(-\) \(+\) \(+\) \(+\) + +

Se un prodotto di due numeri ( x\(_1\)·x\(_2\) ) e’ positivo i due numeri debbono avere lo stesso segno (entrambe positivi o entrambe negativi). Due numeri positivi danno una somma positiva Due numeri negativi danno una somma negativa Siccome la somma ( x\(_1\)+x\(_2\) ) e’ positiva ne deriva che entrambe i numeri sono positivi a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(-\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\)

Due variazioni = due radici positive

Dimostrazione Debbo dimostrare che da

• a positivo
• b negativo
• c negativo

segue

• x\(_1\) positiva
• x\(_2\) negativa

a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(-\) \(-\) + – – +

Essendo a positivo e b negativo il loro rapporto b/a sara’ negativo, allora -b/a sara’ positivo, cioe’ sara’ positiva la somma delle radici a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(-\) \(-\) \(+\) – – +

Essendo a positivo e c negativo il loro rapporto c/a sara’ negativo quindi il prodotto delle radici e’ negativo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\) – +

Se un prodotto di due numeri ( x\(_1\)·x\(_2\) ) e’ negativo i due numeri debbono avere segno contrario. Se facciamo la somma di due numeri di segno contrario, la somma avra’ sempre il segno del piu’ grosso (meglio dire di quello di valore assoluto magiore) Siccome la somma ( x\(_1\)+x\(_2\) ) e’ positiva ne deriva che il piu’ grosso ( x\(_2\)) e’ positivo ed il piu’ piccolo (x\(_1\)) e’ negativo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(+\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\) \(+\)

Una variazione ed una permanenza = una radice positiva ed una negativa

Dimostrazione Debbo dimostrare che da

• a negativo
• b negativo
• c negativo

segue

• x\(_1\) negativa
• x\(_2\) negativa

a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(-\) \(-\) – + – –

Essendo a e b entrambe negativi il loro rapporto b/a sara’ positivo, allora -b/a sara’ negativo, cioe’ sara’ negativa la somma delle radici a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(-\) \(-\) \(-\) + – –

Essendo a e c entrambe negativi il loro rapporto c/a sara’ positivo quindi il prodotto delle radici e’ positivo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(-\) \(-\) \(-\) \(+\) – –

Se un prodotto di due numeri ( x\(_1\)·x\(_2\) ) e’ positivo i due numeri debbono avere lo stesso segno (entrambe positivi o entrambe negativi). Due numeri positivi danno una somma positiva Due numeri negativi danno una somma negativa Siccome la somma ( x\(_1\)+x\(_2\) ) e’ negativa ne deriva che entrambe i numeri sono negativi a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(-\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\)

Due permanenze = due radici negative

Dimostrazione Debbo dimostrare che da

• a negativo
• b negativo
• c positivo

segue

• x\(_1\) positiva
• x\(_2\) negativa

a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(-\) \(+\) – – + –

Essendo a e b negativi il loro rapporto b/a sara’ positivo, allora -b/a sara’ negativo, cioe’ sara’ negativa la somma delle radici a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(-\) \(+\) \(-\) + + –

Essendo a negativo e c positivo il loro rapporto c/a sara’ negativo quindi il prodotto delle radici e’ negativo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\) + –

Se un prodotto di due numeri ( x\(_1\)·x\(_2\) ) e’ negativo i due numeri debbono avere segno contrario. Se facciamo la somma di due numeri di segno contrario, la somma avra’ sempre il segno del piu’ grosso (meglio dire di quello di valore assoluto magiore) Siccome la somma ( x\(_1\)+x\(_2\) ) e’ negativa ne deriva che il piu’ grosso ( x\(_2\)) e’ negativo ed il piu’ piccolo (x\(_1\)) e’ positivo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\) \(+\) \(-\)

Una permanenza ed una variazione = una radice negativa ed una positiva

Dimostrazione Debbo dimostrare che da

• a negativo
• b positivo
• c negativo

segue

• x\(_1\) positiva
• x\(_2\) positiva

a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(+\) \(-\) + + + +

Essendo a negativo e b positivo il loro rapporto b/a sara’ negativo, allora -b/a sara’ positivo, cioe’ sara’ positiva la somma delle radici a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(+\) \(-\) \(+\) + + +

Essendo a e c entrambe negativi il loro rapporto c/a sara’ positivo, quindi il prodotto delle radici e’ positivo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(+\) \(-\) \(+\) \(+\) + +

Se un prodotto di due numeri ( x\(_1\)·x\(_2\) ) e’ positivo i due numeri debbono avere lo stesso segno (entrambe positivi o entrambe negativi). Due numeri positivi danno una somma positiva Due numeri negativi danno una somma negativa Siccome la somma ( x\(_1\)+x\(_2\) ) e’ positiva ne deriva che entrambe i numeri sono positivi a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(+\) \(-\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\)

Due variazioni = due radici positive

Dimostrazione Debbo dimostrare che da

• a negativo
• b positivo
• c positivo

segue

• x\(_1\) positiva
• x\(_2\) negativa

a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(+\) \(+\) + – – +

Essendo a negativo e b positivo il loro rapporto b/a sara’ negativo, allora -b/a sara’ positivo, cioe’ sara’ positiva la somma delle radici a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(+\) \(+\) \(+\) – – +

Essendo a negativo e c positivo il loro rapporto c/a sara’ negativo quindi il prodotto delle radici e’ negativo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(+\) \(+\) \(+\) \(-\) – +

Se un prodotto di due numeri ( x\(_1\)·x\(_2\) ) e’ negativo i due numeri debbono avere segno contrario. Se facciamo la somma di due numeri di segno contrario, la somma avra’ sempre il segno del piu’ grosso (meglio dire di quello di valore assoluto magiore) Siccome la somma ( x\(_1\)+x\(_2\) ) e’ positiva ne deriva che il piu’ grosso ( x\(_2\)) e’ positivo ed il piu’ piccolo (x\(_1\)) e’ negativo a b c \(-b/a = x_1+x_2\) \(c/a =x_1 \cdot x_2\) \(x_1\) \(x_2\)

\(-\) \(+\) \(+\) \(+\) \(-\) \(-\) \(+\)

Una variazione ed una permanenza = una radice positiva ed una negativa

decomposizione del trinomio

Come nome e’ un po’ macabro, ma e’ il suo; qualcuno la chiama scomposizione, pero’ la scomposizione del trinomio e’ un altro tipo di ragionamento anche se il risultato e’ quasi il medesimo

Il trinomio \(ax^2 + bx + c\) e’ scomponibile come: \(ax^2 + bx + c = a ( x - x_1)(x - x_2)\) essendo x\(_1\) e x\(_2\) le radici dell’equazione di secondo grado associata al polinomio \(ax^2 + bx + c = 0\)

nella pagina successiva troverai la dimostrazione che sarebbe bene fare almeno per esercizio

Esempio: scomporre \(2x^2 + 5x + 2\) considero l’equazione associata \(2x^2 + 5x + 2 = 0\) La risolvo \(-5 (5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2) x_{1,2} = ---------------------- 2 \cdot 2\) \(-5 (25 - 16) x_{1,2} = ----------------- 4\) \(-5 9 x_{1,2} = ------------- 4\) \(-5 3 x_{1,2} = -------- 4\) Trovo le radici sommando e sottraendo \(-5 - 3 x_1 = ------ = -2 4\) \(-5 + 3 x_2 = ------ = -1/2 4\) ora essendo x\(_1\) = -2, x\(_2\)= -1/2 ed a=2 applico la formula per la scomposizione: \(a ( x - x_1)(x - x_2)= = 2[x-(-2)][x-(-1/2)]= = 2(x + 2)(x + 1/2)=\) Per non avere frazioni moltiplico il numero fuori di parentesi per la parentesi con la frazione \(= (x + 2)(2x + 1)\)

eseguendo la moltiplicazione ritroverai il polinomio di partenza

dimostrazione della formula per
la decomposizione del trinomio

Dimostrazione della formula per la decomposizione del trinomio devo dimostrare che vale \(ax^2 + bx + c = a ( x - x_1)(x - x_2)\) cioe’ che partendo da \(ax^2 + bx + c\) riesco ad arrivare a \(a ( x - x_1)(x - x_2)\)

\(ax^2 + bx + c =\) Per trasformarlo devo metter in evidenza la a; ma se a non c’e’ in tutti i termini come si fa a metterla in evidenza? Per metterla in evidenza basta prima farla comparire moltiplicando i termini senza a per a/a (e’ come moltiplicarli per 1) \(abx ac = ax^2 + ------ + ----- = a a\) ora posso mettere in evidenza la a raccogliendo quella al numeratore \(bx c = a(x^2 + ----- + ----) = a a\) ora so che \(-b/a = x_1 + x_2\) e quindi \(b/a = - (x_1 + x_2)\) inoltre vale \(c/a = x_1 \cdot x_2\) Sostituisco: \(= a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2)] =\) Eseguo la moltiplicazione \(= a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1 \cdot x_2) =\) Scompongo dentro parentesi (raccoglimento parziale, tra i primi due raccolgo x e tra il terzo e il quarto raccolgo -x\(_2\)) \(= a[x(x - x_1) - x_2(x - x_1)] =\) ora raccolgo (x – x\(_1\)) \(= a[(x - x_1) \cdot (x-x_2)] =\) tolgo le parentesi quadre \(= a(x - x_1) \cdot (x-x_2)\) come volevamo