Equazioni

Equazioni ad una incognita

• Perche’ le equazioni
• Equazioni di primo grado
• Equazioni di secondo grado
• Equazioni di grado superiore
• Equazioni esponenziali
• Equazioni logaritmiche
• Equazioni trigonometriche

Perche' le equazioni

Perche' le equazioni L’uomo ha sempre costruito macchine per poter far fare ad esse il lavoro che lui avrebbe preferito non fare, ma il lavoro non e’ solo fisico, esiste anche il lavoro mentale e le equazioni sono proprio una macchina che ci permette di fare un certo tipo di lavoro mentale senza troppo sforzo; diceva una Professoressa di Matematica di mio figlio: “Le equazioni sono state fatte per chi non sa fare i conti.”

Facendo il punto della situazione ora e’ come se tu avessi studiato le parole di un vocabolario, perche’ servano a qualcosa si devono mettere insieme per costruire le frasi di un linguaggio, le prime frasi che costruiremo saranno le equazioni; vedrai che una volta capito il nuovo linguaggio potrai risolvere velocemente e facilmente molti problemi che prima sembravano difficili tipo questo: un mattone pesa un chilo piu’ mezzo mattone, quanto pesa un mattone? ragionando e’ possibile arrivare alla soluzione ma ci vuole un certo sforzo mentale guarda invece com’e’ facile utilizzando le equazioni

• Uguaglianze, identita’ ed equazioni
• Primo principio di equivalenza
• Secondo principio di equivalenza
• Soluzione di un’equazione di primo grado ad una incognita
• Equazione possibile, impossibile, indeterminata
• Equazioni letterali
• Equazioni fratte
• Equazioni ai moduli

Uguaglianze

Uguaglianze In matematica un uguaglianza e’ un uguale fra due enti esempi possono essere 1 + 1 = 2 125 + 250 = 375 AB + BC = AC a + a + 3a + 2a = 2a + 5a

Regola importante: se un’uguaglianza e’ vera si comporta come una bilancia a piatti: quello che c’e’ su un piatto deve variare come quello che c’e’ sull’altro piatto altrimenti la bilancia non e’ piu’ in equilibrio e l’uguaglianza non e’ piu’ valida

Tra le varie uguaglianze poi possiamo considerare alcune uguaglianze particolari:

• le identita’
• le equazioni

Identita'

Identita' Un’identita’ e’ una uguaglianza in cui compaiono delle lettere e deve succedere che per qualunque valore noi possiamo mettere al posto delle lettere l’uguaglianza deve restare valida: Esempio \(a + a = 2a\) e’ un’identita’ infatti prova a sostituire al posto di a qualunque valore, il primo termine restera’ sempre uguale al secondo sostituisco 3 3 + 3 = 2·3 3 + 3 = 6 sostituisco 1234 1234 +1234 = 2·1234 1234 + 1234 = 2468 e questo va bene per ogni valore

nota: quando una regola e’ detta valida per tutti i valori per dimostrare che non e’ valida basta far vedere che esiste un valore per cui non vale

La seguente ad esempio non e’ un’identita: \(2a a a --- = ---- + ---- b b b\) perche’ al posto di b non posso sostituire il valore 0: esempio che ti mostra che non puoi dividere per zero

Equazioni Si chiama equazione di primo grado un’uguaglianza che puo’ diventare vera sostituendo alla lettera (incognita) un valore particolare detto soluzione esempio: se scrivo \(3x - 6 = 0\) se al posto di x metto il valore 2 l’uguaglianza diventa vera 3 · 2 – 6 = 0 6 – 6 = 0 0 = 0 mentre se metto altri numeri non e’ vera Allora quando avremo un problema, per trovare il valore di un dato che non conosciamo bastera’ impostarne l’equazione relativa e risolverla: il valore che mi risolve l’equazione sara’ il valore del dato che cerchiamo

abbiamo detto che le equazioni sono le frasi della matematica: l’equazione precedente dice che devo trovare il numero (e questo vuol dire considerare la x) tale che se dal triplo del numero (\(3x\)) tolgo (\(-\)) sei (\(6\)) ottengo (\(=\)) zero (). Comunque del linguaggio delle equazioni parleremo piu’ ampiamente nei problemi

Primo principio di equivalenza

I componenti della macchina “equazione” sono due: il primo ed il secondo principio di equivalenza: sono fondamentali e devono essere assolutamente ben capiti

Primo principio di equivalenza Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che:

Aggiungendo o sottraendo ad entrambe i membri di un'equazione una stessa quantita' l'equazione resta equivalente alla data

Per membro di un’equazione si intende tutto cio’ che c’e’ prima dell’uguale (primo membro) e tuto cio’ che c’e’ dopo l’uguale (secondo membro)

esempio: \(3x - 6 = 0\) aggiungo \(+6\) da entrambe le parti

intendiamoci: potrei aggiungere o togliere qualunque numero ma io aggiungo il numero (col segno cambiato cosi’ va via) che c’e’ vicino al termine con la x per rendere l’equazione piu’ semplice

ottengo \(3x -6 + 6 = 0 + 6 3x = 6\)

Equivale a dire: in un'equazione posso trasportare da un membro all'altro cambiando di segno il termine trasportato

Attenzione: l’equazione resta equivalente alla data non significa che l’equazione resta la stessa, ma significa che ha la stessa soluzione: infatti \(3x - 6 = 0\) significa :togliendo 6 dal triplo di un numero ottengo 0 mentre \(3x = 6\) significa il triplo di un numero vale 6. Le due equazioni sono diverse come sono diverse le due frasi, ma entrambe le equazioni hanno la stessa soluzione (in questo caso 2)

Poiche’ il primo principio e’ scomodo da usare quando abbiamo tanti termini e poiche’ bisogna, per risolvere un’equazione, avere i fattori con la x prima dell’uguale e quelli senza la x dopo l’uguale al posto del primo principio si puo’ usare questa regola

posso trasportare un termine da una parte all'altra dell'uguale, ma chi salta l'uguale cambia di segno

Secondo principio di equivalenza

Secondo principio di equivalenza Il secondo principio di equivalenza delle equazioni dice che:

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un'equazione per una stessa quantita' diversa da zero l'equazione resta equivalente alla data

esempio: \(3x = 6\) divido da entrambe le parti per 3

intendiamoci: potrei dividere per qualunque numero che non fosse zero ma io divido per il numero che c’e’ davanti alla x per lasciare la x da sola e cosi’ risolvere l’equazione

\(3x 6 ---- = ---- 3 3\) semplifico \(x = 2\)e’ la soluzione

il secondo principio sara’ utilissimo da usare quando avremo delle equazioni con denominatori numerici. Infatti dopo aver fatto il minimo comune multiplo fra entrambe i membri potro’ eliminare i denominatori ( equivale a moltiplicare entrambe i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo). Ne riparleremo negli esercizi

dividere per zero

In matematica non si puo' mai dividere per zero Infatti essendo la divisione il contrario della moltiplicazione se io avessi ad esempio \(5 : 0 = 2\) questo equivale a \(5 = 2 x 0 = 0\) se invece fosse \(5 : 0 = 4\) questo equivale a \(5 = 4 x 0 = 0\) vedi che non riesco ad avere un risultato ben determinato. allora in matematica il dividere per zero porta a risultati assurdi

soluzione di un'equazione di primo grado ad una incognita

Soluzione di un'equazione di primo grado ad una incognita Lavoriamo su un esempio: ho l’equazione \(2x - 4 = 8\)

che traduce in linguaggio matematico la frase “Sottraendo 4 dal doppio di un numero ottengo 8”

Per risolverla devo trasformarla in qualcosa del tipo \(x = soluzione\) quindi devo lasciare la x da sola prima dell’uguale cioe’ devo togliere di mezzo tutti i termini che sono vicini alla x. Il primo termine che ammazzero’ sara’ \(-4\)perche’ quello meno legato alla xe per farlo usero’ il primo principio di equivalenza aggiungo da entrambe le parti \(+4\)per eliminare il \(-4\)equivale a trasportare dall’altra parte cambiando di segno \(2x - 4 + 4= 8 + 4 2x = 12\) Ora devo eliminare il \(2\) e per eliminare qualcosa in matematica basta fare l’operazione contraria. Il \(2\) moltiplica la x , quindi per eliminarlo devo dividere per \(2\) sia prima che dopo l’uguale ( secondo principio di equivalenza) \(2x 12 ---- = ---- 2 2\) semplifico \(x = 6\) e’ la soluzione

Come hai visto risolvere un’equazione e’ un’operazione meccanica che potrei anche affidare ad una macchina, basta applicare prima il primo principio poi il secondo principio di equivalenza

E’ possibile vedere se hai risolto giustamente un’equazione: infatti per definizione un’ equazione e’ un’uguaglianza verificata se al posto di x metto la soluzione quindi posso fare la verifica sostituendo nell’equazione di partenza il valore \(6\) al posto di x, Verifica2x – 4 = 8 2·6 -4 = 8 12 – 4 = 8 8 = 8 L’uguaglianza e’ vera quindi ho risolto giustamente l’equazione.

la verifica delle equazioni di solito si fa solo per equazioni semplici e non per quelle troppo complicate, altrimenti si aggiungerebbe un esercizio di calcolo di un’espressione al calcolo di un’equazione. Comunque vedremo che la verifica sara’ importante per alcune categorie di equazioni quali le letterali e le fratte

ora ti consiglio di eseguire alcuni esercizi sia per fissare meglio i concetti appresi che per vedere quali sono i tipi di equazione possibili

Quando risolvo equazioni mi sento un po' killer con tutti i termini che devo eliminare!!!! ;-)

esercizi

esercizi Ti vengono qui forniti alcuni esercizi in ordine di difficolta’; prova a risolverli da solo e fai la verifica per vedere se hai trovato la soluzione giusta; se hai delle difficolta’ controlla lo svolgimento (risoluzione).

Al solito io faro’ tutti i passaggi, ma ricorda che , se possibile, si cerca di abbreviare. Per le equazioni piu’ lunghe metti la finestra a tutto schermo

1) 16x – 14 = 14x – 10 risoluzione

2) 2(8x – 7) = 5(3x – 2) risoluzione

3) (x + 2)(x – 1) + 2x =5 – x(4 – x) risoluzione

4) (x – 1)\(^{^2}\) + 2x + 3(x – 1) = (x + 2)\(^{^2}\)risoluzione

5) x – 1 2x + 1 1 – 3x —– + ———- = 2x – 2 + —— 2 10 5 risoluzione

6) 1 (2x – 1)\(^{^2}\) 1 — + (x – 1)\(^{^2}\)- ———– = —(1 – x\(^{^2}\)) 2 3 3 risoluzione

Sarebbe possibile continuare aumentando la difficolta’, ma penso che il saper risolvere queste equazioni meriti gia’ un giudizio di sufficienza. Se hai notato la parte nuova si riduce ai due principi di equivalenza mentre la difficolta’ maggiore deriva dallo svolgimento delle equazioni come frazioni algebriche per ridurle a forma semplice.

risolvere la seguente equazione

risolvere la seguente equazione \(16x - 14 = 14x - 10\)

devo ridurre l’equazione alla forma x = soluzione quindi dovrei applicare il primo principio sia ai numeri per portarli al secondo membro che alle x per portarle al primo membro; e’ scomodo quindi usiamo questa regola equivalente al primo principio:

posso trasportare dal primo al secondo membro e viceversa ma chi salta l'uguale cambia di segno

Trasporto \(-14\) dopo l’uguale e diventa \(+14\) \(14x\) prima dell’uguale e diventa \(-14x\) \(16x - 14x = 14 - 10 2x = 4\) applico il secondo principio dividendo per 2 entrambe i membri (cosi’ la x resta sola) \(2x 4 --- = -- 2 2\) semplifico \(x = 2\) e’ la soluzione

Verifica: Sostituisco ad x il valore 2 nell’equazione di partenza 16x – 14 = 14x – 10 16·2 – 14 = 14·2 – 10 32 – 14 = 28 -10 18 = 18 uguaglianza valida quindi ho risolto giustamente l’equazione

Risolvere l'equazione:

Risolvere l'equazione: \(2(8x - 7) = 5(3x - 2)\) prima di applicare i principi devo eseguire le operazioni indicate: moltiplico \(16x - 14 = 15x - 10\) Trasporto \(-14\) dopo l’uguale e diventa \(+14\) \(15x\) prima dell’uguale e diventa \(-15x\) \(16x - 15x = 14 - 10 x = 4\) e’ la soluzione

Verifica: Sostituisco ad x il valore 4 nell’equazione di partenza 2(8x – 7) = 5(3x – 2) 2(8·4 – 7) = 5(3·4 -2) 2(32 – 7) = 5(12 – 2) 2·25 = 5· 10 50 = 50 uguaglianza valida quindi ho risolto giustamente l’equazione

Risolvere l'equazione: \((x + 2)(x - 1) + 2x =5 - x(4 - x)\) prima di applicare i principi devo eseguire le operazioni indicate: moltiplico \(x^2 - x + 2x - 2 + 2x = 5 - 4x + x^2\) ora posso scegliere se sommare i termini simili prima di applicare il primo principio oppure prima applicare il primo principio e poi sommare i termini simili. io preferisco seguire il secondo metodo che mi permette di risparmiare un passaggio. Allora sposto i termini con la x tutti al primo membro e quelli senza la x al secondo membro e chi salta l’uguale cambia di segno \(x^2 - x^2 - x + 2x + 2x + 4x = 5 + 2\) Come c’era da aspettarsi le x\(^{^2}\) si eliminano fra loro (ricordiamo che stiamo facendo le equazioni di primo grado, con la x a potenza 1 ) quindi le x\(^{^2}\) devono sempre sparire sommo i termini simili \(- x + 2x + 2x + 4x = 5 + 2 7x = 7\) applico il secondo principio: divido per 7 da entrambe le parti per lasciare la x da sola \(7x 7 --- = -- 7 7\) semplifico \(x = 1\) e’ la soluzione

Verifica: Sostituisco ad x il valore 1 nell’equazione di partenza \(x^2 - x + 2x - 2 + 2x = 5 - 4x + x^2 1^2 - 1 + 2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 1 = 5 - 4 \cdot 1 + 1^2 1 - 1 + 2 - 2 + 2 = 5 - 4 + 1 2 = 2\) uguaglianza valida quindi ho risolto giustamente l’equazione

Risolvere l'equazione: \((x - 1)^2 + 2x + 3(x - 1) = (x + 2)^2\) prima devo risolvere le operazioni indicate: \(x^2 - 2x + 1 + 2x + 3x - 3 = x^2 + 4x + 4\) Trasporto i fattori attraverso l’uguale, le x prima e i termini senza le x dopo; chi salta l’uguale cambia di segno

come regolina semplice possiamo dire che termini uguali da parti opposte dell’uguale si possono togliere, infatti trasportando uno dei termini dall’altra parte diventa uguale e di segno opposto all’altro, quindi va via

\(x^2 - x^2 - 2x + 2x + 3x - 4x = 3 - 1 + 4\) Sommo i termini simili \(al solito le x^2 devono sparire essendo questa un'equazione di primo grado\) \(- x = 6\) -x significa -1x a me serve invece +1x cioe’ x quindi divido da entrambe le parti per -1

anche qui possiamo semplificare dicendo che posso cambiare di segno tutti i termini dell’equazione

\(-x 6 --- = --- -1 -1\) ottengo \(x = -6\) e’ la soluzione

Verifica: Sostituisco ad x il valore -6 nell’equazione di partenza \((x - 1)^2 + 2x + 3(x - 1) = (x + 2)^2 (-6 - 1)^2 + 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-6 - 1) = (-6 + 2)^2 (-7)^2 - 12 + 3 \cdot (-7) = (-4)^2 49 -12 -21 = 16 16 = 16\) uguaglianza valida quindi ho risolto giustamente l’equazione

Risolvere l'equazione: x – 1 2x + 1 1 – 3x —– + ———- = 2x – 2 + ——– 2 10 5 Per renderla piu’ comprensibile la scrivo cosi’ x – 1 2x + 1 2x – 2 1 – 3x —– + ———- = ——- + ——– 2 10 1 5 Prima devo risolvere come fosse un’espressione quindi faccio il minimo comune multiplo che e’ 10 5(x – 1)+ 2x + 1 10(2x – 2) + 2(1 – 3x) ——————— = ————————— 10 10

Per il secondo principio

posso eliminare i denominatori:

sarebbe come moltiplicare entrambe i membri per 10

\(5(x - 1)+ 2x + 1 = 10(2x - 2) + 2(1 - 3x)\) Eseguo le operazioni indicate: \(5x - 5 + 2x + 1 = 20x - 20 + 2 - 6x\) trasporto i termini con le x prima dell’uguale e quelli senza dopo l’uguale e chi salta l’uguale cambia di segno \(5x + 2x - 20x + 6x = 5 - 1 - 20 + 2\) sommo i termini simili \(-7x = -14\) Divido entrambe i membri per -7 per ricavare la x \(-7x -14 ----- = ----- -7 -7\) semplifico \(x = 2\) e’ la soluzione

Verifica: Sostituisco ad x il valore 2 nell’equazione di partenza x – 1 2x + 1 1 – 3x —– + ———- = 2x – 2 + ——– 2 10 5 2 – 1 2·2 + 1 1 – 3·2 —– + ———- = 2·2 – 2 + ——– 2 10 5 eseguo le moltiplicazioni \(1 4 + 1 1 - 6 ----- + ---------- = 4 - 2 + -------- 2 10 5\) eseguo le somme 1 5 &nbsp -5 — + —- = 2 + —- 2 10 5 semplifico le frazioni ove possibile \(1 1 --- + ---- = 2 - 1 2 2\)sommo le frazioni e i numeri\(1 = 1\) uguaglianza valida quindi ho risolto giustamente l’equazione

Risolvere l'equazione: \(1 (2x - 1)^2 1 --- + (x - 1)^2 - ----------- = ---(1 - x^2) 2 3 3\) Per renderla piu’ comprensibile la scrivo cosi’ \(1 (x - 1)^2 (2x - 1)^2 1 - x^2 --- + --------- - ----------- = -------- 2 1 3 3\) sviluppo i quadrati \(1 x^2 - 2x + 1 4x^2 - 4x + 1 1 - x^2 --- + ------------- - ----------------- = -------- 2 1 3 3\) Prima devo risolvere come fosse un’espressione quindi faccio il minimo comune multiplo che e’ 6 \(3 + 6(x^2 - 2x + 1) - 2(4x^2 - 4x + 1) 2( 1 - x^2) -------------------------------------------- = ----------- 6 6\) Elimino i denominatori (secondo principio) \(3 + 6(x^2 - 2x + 1) - 2(4x^2 - 4x + 1) = 2( 1 - x^2)\) eseguo le moltiplicazioni \(3 + 6x^2 - 12x + 6 - 8x^2 + 8x - 2 = 2 - 2x^2\) trasporto i termini con le x prima dell’uguale e quelli senza dopo l’uguale e chi salta l’uguale cambia di segno \(6x^2 - 8x^2 + 2x^2 - 12x + 8x = - 3 + 2 - 6 + 2\) Sommo i termini simili; i termi con x di ordine due devono elidersi tra loro \(-4x = -5\) Divido entrambe i membri per -4 per ricavare la x \(-4x -5 ----- = ----- -4 -4\) semplifico \(x = 5/4\) e’ la soluzione

Verifica: Sostituisco ad x il valore 5/4 nell’equazione di partenza \(1 (2x - 1)^2 1 --- + (x - 1)^2 - ----------- = ---(1 - x^2) 2 3 3\)\(1 (2 \cdot 5/4 - 1)^2 1 --- + (5/4 - 1)^2 - --------------- = ---[1 - (5/4)^2] 2 3 3\) eseguo moltiplicazione e potenza dentro parentesi \(1 (5/2 - 1)^2 1 --- + (5/4 - 1)^2 - ------------- = ---(1 - 25/16) 2 3 3\) sommo dentro parentesi \(1 (3/2)^2 1 --- + (1/4)^2 - ------ = ----(-9/16) 2 3 3\) eseguo i quadrati 1 (9/4) 1 — + (1/16) – —— = —-·(-9/16) 2 3 3 Trasformo la divisione in moltiplicazione e scrivo correttamente la frazione 1 1 9 1 1 9 — + —- – — · — = — ·(- —) 2 16 4 3 3 16 eseguo le moltiplicazioni \(1 1 3 3 --- + --- - --- = - --- 2 16 4 16\) sommo: minimo comune multiplo 16 \(8 + 1 - 12 3 ------------ = - --- 16 16\) eseguo i calcoli \(3 3 - --- = - --- 16 16\) uguaglianza valida quindi ho risolto correttamente l’equazione

equazione possibile, impossibile ed indeterminata

Equazione possibile, impossibile ed indeterminata Come in tutti i linguaggi anche nel linguaggio della matematica posso dire frasi vere, posso dire bugie e posso dire cose inutili: questo si riflette sulle equazioni relative a quelle frasi che potranno essere possibili, impossibili od indeterminate. Vediamo di spiegarci meglio con qualche esempio:

• equazione possibile
• equazione impossibile
• equazione indeterminata

Riassumendo: gli esempi che hai visto sono elementari ma quando ho un’equazione complicata e’ quasi impossibile dire senza risolverla se e’ possibile, impossibile od indeterminata ed a questo posso risalire solo dalla soluzione:

x = numero

0 = numero

0 = 0

• Equazione possibile
• Equazione impossible
• Equazione indeterminata

equazione possibile

Equazione possibile e’ l’equazione vera che afferma cioe’ un fatto vero ed unico:

sommando 4 ad un numero ottengo il doppio del numero stesso.

Con un po’ di logica dico che il numero e’ 4: infatti 4 + 4 = 8 e questo e’ un fatto vero. Se lo traduco in equazione ottengo: x + 4 = 2x e risolvendo x – 2x = -4 -x = -4 x = 4 Quando otteniamo la soluzione del tipo x = numero diciamo che l’equazione e’ possibile

equazione impossibile

Equazione impossibile e’ l’equazione che afferma un fatto falso:

sommando 3 ad un numero ottengo lo stesso numero

Pensandoci sopra non posso trovare nessun numero che resti uguale a se’ stesso aggiungendovi 3, quindi la mia affermazione e’ impossibile se lo traduco in equazione ottengo: x + 3 = x e risolvendo x – x = -3 0 = -3 quando otteniamo zero uguale a un numero diciamo che l’equazione e’ impossibile

equazione indeterminata

Equazione indeterminata e’ l’equazione che afferma un fatto vero ma che va bene per infiniti numeri (qualche testo la chiama anche identita’)

sommando 5 ad un numero ottengo lo stesso numero aumentato di 5

e’ un fatto vero ma che non mi individua il numero perche’ e’ vero per qualunque numero se lo traduco in equazione ottengo: x + 5 = x + 5 e risolvendo x – x = 5 – 5 0 = 0 Quando otteniamo zero uguale a zero diciamo che l’equazione e’ indeterminata (oppure che e’ un’identita’).

equazioni letterali

Equazioni letterali Un’equazione si dice letterale quando oltre ai numeri ed alle incognite vi compaiono anche delle lettere

Va fatta subito una convenzione: useremo le ultime lettere minuscole dell’alfabeto per indicare le incognite:x y z t u v w … useremo invece le prime lettere per indicare dei parametri, cioe’ dei simboli che possono essere sostituiti da numeri a b c d e f g …

Quando risolviamo un’equazione letterale occorre ricordare che la lettera occupa il posto di numeri e che per risolvere un’equazione devo tener presente che il secondo principio mi vieta di dividere per zero; quindi al posto della lettera non potro’ sostituire quei numeri che mi rendono il denominatore zero, d’altra parte io devo trovare tutte le soluzioni di un’equazione. Vediamolo meglio su un semplice esempio:

sia da risolvere l’equazione \(ax = 3\) Per risolverla dovrei applicare il secondo principio, ma esso e’ applicabile solo se \(a 0\) allora distinguo i due casi:

• \(a 0\) posso applicare il secondo principio quindi: \(ax 3 ---- = --- a a\)e semplificando: \(3 x = ---- a\)
• \(a = 0\) non posso applicare il secondo principio, ma sostituendo ad a il suo valore l’equazione mi diventa 0·x = 3 0 = 3 equazione impossibile

raccogliendo i risultati: se \(a 0 x = 3/a\); se \(a = 0 equazione impossibile\)

Riassumendo: per risolvere un’equazione letterale occorre porre diversi da zero i termini che applicando il secondo principio compariranno al denominatore. Inoltre bisognera’ discutere l’equazione quando quei termini avranno valore uguale a zero (devi sostituire tale valore al posto delle lettere). L’equazione che ne verra’ fuori sara’ o impossible o indeterminata.

Fai attenzione perche’ e’ possibile rendere gli esercizi difficili a piacere, basta aumentare il numero delle lettere, inoltre questi esercizi sono considerati utili da molti docenti perche’ ti costringono a ragionare in modo analitico considerando tutte le possibilita’

Risolviamo ora assieme alcuni esercizi graduati per difficolta’

esercizi Ti vengono forniti alcuni esercizi graduati per difficolta’, prova a risolverli da solo poi vai a vedere la soluzione e, se ne hai bisogno, lo svolgimento. per gli esercizi piu’ lunghi metti la finestra ad almeno tre quarti dello schermo

\(ax +1 = a + 1\)

\(ax + 1 = b\)

\(a^2x - x = 3\)

\(a^2x - x = b\)

\(a^2x + b = ab + x\)

\((x + 2a)^2 + a^2 = (x - a)^2 - (a - b)(a + b)\)

x – 2 x + 1 x + 2a ——— – ————- = 1 – ———- a – 3 2 2a – 6

esercizio

esercizio Risolvere la seguente equazione \(ax +1 = a + 1\) devo lasciare i termini con la x prima dell’uguale e quelli senza dopo l’uguale. Chi salta l’uguale cambia di segno \(ax = a + 1 - 1 ax = a\) Ora dovrei applicare il secondo principio dividendo entrambe i termini per a ma posso farlo solo se a e’ diverso da zero mentre se a e’ uguale a zero avro’ un’equazione o impossibile o indeterminata: distinguo i due casi \(se a 0\) posso dividere \(ax a ---- = --- a a\) semplifico \(x = 1\) L’altra possibilita’ \(se a = 0\) sostituisco zero invece di applicare il secondo principio 0·x = 0 0 = 0 equazione indeterminata Raccogliendo i risultati:

\(se a 0 x = 1 se a = 0 equazione indeterminata\)

esercizio Risolvere la seguente equazione \(ax + 1 = b\) devo lasciare i termini con la x prima dell’uguale e quelli senza dopo l’uguale. Chi salta l’uguale cambia di segno \(ax = b - 1\) Ora dovrei applicare il secondo principio dividendo entrambe i termini per a ma posso farlo solo se a e’ diverso da zero mentre se a e’ uguale a zero avro’ un’equazione o impossibile o indeterminata: distinguo i due casi \(se a 0\) posso dividere \(ax b - 1 ---- = ------ a a\) semplifico \(b - 1 x = ------- a\) L’altra possibilita’ \(se a = 0\) sostituisco zero nell’equazione invece di applicare il secondo principio 0·x = b – 1 ora devo vedere che valori posso dare a b: \(se b - 1 = 0\)equivale a dire \(b = 1\) l’equazione diventa 0·x = 1 – 1 0 = 0 equazione indeterminata invece \(se b - 1 0\)equivale a dire \(b 1\) l’equazione diventa 0·x = b – 1 0 = b – 1 0 = numero equazione impossibile

Raccogliendo i risultati: se a 0 x = (b-1)/a se a = 0 e b = 1 equazione indeterminata se a = 0 e b 1 equazione impossibile

esercizio Discutere la seguente equazione \(a^2x - x = 3\) devo esplicitare la x \(x(a^2 - 1) = 3\) dovrei applicare il secondo principio dividendo entrambe i termini per a\(^{^2}\) -1 ma posso farlo solo se il termine e’ diverso da zero distinguo i due casi \(se a^2 - 1 0\)( equivale a dire a ±1 ) posso dividere \(x(a^2 -1) 3 --------- = --------- a^2 -1 a^2 -1\) semplifico \(3 x = ------- a^2 - 1\) Ho altre due possibilita’ a = +1 oppure a = -1; la prima: \(se a = 1\) sostituisco 1 invece di applicare il secondo principio \(x \cdot (1^2 - 1) = 3 x \cdot 0 = 3 0 = 3\) equazione impossibile la seconda: \(se a = -1\) sostituisco -1 invece di applicare il secondo principio \(x \cdot [(-1)^2 - 1] = 3 x \cdot (1 - 1) = 3 x \cdot 0 = 3 0 = 3\) equazione impossibile Raccogliendo i risultati:

\(se a ±1 x = 3/(a^2 - 1) se a = ±1 equazione impossibile\)

esercizio Discutere la seguente equazione \(a^2x - x = b\) e’ simile alla precedente, variera’ nella discussione perche’ b potrebbe assumere anche valore zero facendo diventare l’equazione indeterminata devo esplicitare la x \(x(a^2 - 1) = b\) dovrei applicare il secondo principio dividendo entrambe i termini per a\(^{^2}\) -1 ma posso farlo solo se il termine e’ diverso da zero distinguo i due casi \(se a^2 - 1 0\)( equivale a dire a ±1 ) posso dividere \(x(a^2 -1) b --------- = --------- a^2 -1 a^2 -1\) semplifico \(b x = ------- a^2 - 1\) Ho altre due possibilita’ a = +1 oppure a = -1;

• la prima: \(se a = 1\) sostituisco 1 invece di applicare il secondo principio \(x \cdot (1^2 - 1) = b x \cdot 0 = b 0 = b\) qui devo distinguere due sottocasi: \(se b = 0 0 = 0\) equazione indeterminata \(se b 0 0 = numero\) equazione impossibile
• la seconda: \(se a = -1\) sostituisco -1 invece di applicare il secondo principio \(x \cdot [(-1)^2 - 1] = b x \cdot 0 = b 0 = b\) anche qui devo distinguere due sottocasi: \(se b = 0 0 = 0\) equazione indeterminata \(se b 0 0 = numero\) equazione impossibile

Raccogliendo i risultati:

\(se a ±1 x = b/(a^2 - 1) se a = ±1 e b = 0 equazione indeterminata se a = ±1 e b 0 equazione impossibile\)

esercizio Discutere la seguente equazione \(a^2x + b = ab + x\) devo lasciare i termini con la x prima dell’uguale e quelli senza dopo l’uguale. Chi salta l’uguale cambia di segno \(a^2x - x = ab - b\) metto in evidenza la x al primo membro e la b al secondo \(x(a^2 - 1) = b(a - 1)\) notando che a -1 e’ un fattore di a\(^{^2}\) – 1 scompongo in fattori \(x(a + 1)(a - 1) = b(a - 1)\) dovrei applicare il secondo principio dividendo entrambe i termini per (a + 1)(a – 1) ma posso farlo solo se questo termine e’ diverso da zero distinguo i due casi \(se (a + 1)(a - 1) 0\) equivale a dire \(a 1 e a -1\) posso dividere x(a + 1)(a – 1) b(a – 1) ——————- = ————— (a + 1)(a – 1) (a + 1)(a – 1) semplifico \(b x = ----- a + 1\) Ho altre due possibilita’ a = +1 oppure a = -1;

la seconda: \(se a = -1\) sostituisco -1 invece di applicare il secondo principio \(x(-1 + 1)(-1 - 1) = b(-1 - 1) 0 = -2b\) ho due sottocasi

• \(se b = 0 0 = 0\) equazione indeterminata
• \(se b 0 0 = numero\) equazione impossibile

• la prima: \(se a = 1\) sostituisco 1 invece di applicare il secondo principio \(x(1 + 1)(1 - 1) = b(1 - 1) 0 = 0\) equazione indeterminata

Raccogliendo i risultati:

se a ±1 x = b/(a + 1) se a = 1 equazione indeterminata se a = -1 e b = 0 equazione indeterminata se a = -1 e b 0 equazione impossibile

esercizio Risolvere e discutere la seguente equazione \((x + 2a)^2 + a^2 = (x - a)^2 - (a - b)(a + b)\) eseguo i prodotti notevoli \(x^2 + 4ax + 4a^2 + a^2 = x^2 -2ax + a^2 - (a^2 - b^2) x^2 + 4ax + 4a^2 + a^2 = x^2 -2ax + a^2 - a^2 + b^2\) Sposto i termini con la x prima dell’uguale e quelli senza dopo l’uguale e chi salta l’uguale cambia di segno (potrei prima sommare i termini simili ma preferisco fare in questo modo perche’ cosi’ posso risparmiare un passaggio) \(x^2 + 4ax - x^2 + 2ax = a^2 - a^2 + b^2 - 4a^2 - a^2\) sommo i termini simili \(6ax = b^2 - 5a^2\) Ora dovrei applicare il secondo principio dividendo entrambe i termini per 6a ma posso farlo solo se a e’ diverso da zero mentre se a e’ uguale a zero avro’ un’equazione o impossibile o indeterminata: distinguo i due casi

\(se a = 0\) sostituisco zero invece di applicare il secondo principio \(6 \cdot 0 \cdot x = b^2 - 5 \cdot 0^2 0 = b^2\) devo distinguere due sottocasi

• \(se b = 0 0 = 0^2 0 = 0\) equazione indeterminata
• \(se b 0 0 = numero\) equazione impossibile

• \(se a 0\) posso dividere \(6ax b^2 - 5a^2 ----- = ---------- 6a 6a\) semplifico \(b^2 - 5a^2 x = ----------- 6a\)

Raccogliendo i risultati:

\(se a 0 x = (b^2 - 5a^2)/6a se a = 0 e b = 0 equazione indeterminata se a = 0 e b 0 equazione impossibile\)

esercizio Discutere la seguente equazione x – 2 x + 1 x + 2a ——— – ————- = 1 – ———- a – 3 2 2a – 6 Come prima cosa impongo che sia ( C.R. condizioni di realta’) 2a – 6 0 cioe' a 3 Perche’ per questo valore l’equazione perde di significato devo risolvere come un’espressione, prima scompongo i denominatori x – 2 x + 1 x + 2a ——— – ————- = 1 – ———- a – 3 2 2(a – 3) il minimo comune multiplo e’ \(2(a - 3)\) riduco allo stesso denominatore (diminuisco il carattere per non dover andare a capo) 2(x – 2) – (x + 1)(a – 3) 2(a – 3) – (x + 2a) —————————– = ———————— 2(a – 3) 2(a – 3) Elimino i denominatori (posso farlo per le condizioni di realta’ C.R.) \(2(x - 2) - (x + 1)(a - 3) = 2(a - 3) - (x + 2a)\) Eseguo le moltiplicazioni (io faccio tutti i passaggi, tu puoi abbreviare) \(2x - 4 - (ax -3x + a - 3) = 2a - 6 - x - 2a\) \(2x - 4 - ax + 3x - a + 3 = 2a - 6 - x - 2a\) Termini con la x prima e quelli senza dopo l’uguale, chi salta l’uguale cambia di segno 2x – ax + 3x + x = 2a – 6 – 2a + 4 + a – 3 6x – ax = a -5 x(6 – a) = a – 5 Ora dovrei applicare il secondo principio dividendo entrambe i termini per (6-a) ma posso farlo solo se (6-a) e’ diverso da zero mentre se e’ uguale a zero avro’ un’equazione o impossibile o indeterminata: distinguo i due casi

• \(se 6 - a 0\)( equivale a dire \(a 6 )\) posso dividere \(x(6 - a) a - 5 --------- = -------- 6 - a 6 -a\) semplifico \(a - 5 x = -------- 6 -a\)
• L’altra possibilita’ \(se a = 6\) sostituisco sei invece di applicare il secondo principio \(x(6 - 6) = 6 - 5 0 = 1\) equazione impossibile

Raccogliendo i risultati:

se a = 3 l'equazione perde di significato se a 3 e a 6 x = (a-5)/(6-a) se a 3 e a = 6 equazione impossibile

Attenzione e’ diverso dire che un equazione e’ impossibile o che un’equazione perde di significato:

• Un’equazione e’ impossibile se dice una bugia: esempio “Due e’ uguale a tre piu’ tre” oppure “Attila era un uomo di pace”
• un’equazione perde di significato se la frase non ha significato: esempio “Con le fragole del pianoforte si fanno le matite a mezzo servizio” oppure “Due piu’ supera elevato 7 meno per 52”.

Se un termine di un’equazione e’ diviso per zero l’equazione non e’ semplicemente falsa ma non ha nessun significato

equazioni fratte

Equazioni fratte Un’equazione si dice fratta quando la x compare sotto il segno di frazione. Al solito, tenendo conto del secondo principio quando faro’ il m. c. m. dovro’ dire che l’equazione non e’ valida per il valore della x che annulla il minimo comune multiplo. Questa si chiama anche Condizione di Realta’ (abbreviata in C.R.) Dopo aver risolto l’equazione dovro’ controllare il valore della x:

1. se il valore della x non e’ quello che annullava il minimo comune multiplo la soluzione e’ accettabile
2. se il valore trovato e’ uguale a quello che annullava il minimo comune multiplo allora dovro’ dire che la soluzione non e’ accettabile

vediamo un esempio per tipo:

1) \(1 1 --- = --------- 2 x - 2 m.c.m. = 2(x-2) 0\) cioe’ Condizione di Realta' (C.R.) x 2 x – 2 2 ———-= ———- 2(x-2) 2(x-2) per il secondo principio tolgo i denominatori (posso farlo perche’ ho supposto il m.c.m. diverso da zero) \(x - 2 = 2 x = 4 accettabile\)

2) 1 1 -1 — – ——– = ———- 2 x – 2 x – 2 m.c.m. = 2(x-2) 0 cioe’ C. R. x 2 x – 2 – 2 – 2 ————- = ———– 2(x-2) 2(x-2) per il secondo principio tolgo i denominatori (posso farlo perche’ ho supposto il m.c.m. diverso da zero) x – 2 – 2 = -2 x = 2 non accettabile perche' contraria alla condizione di realta'

Equazioni ai moduli

Equazioni ai moduli Conviene qui ampliare un pochino nei particolari il concetto di modulo

• perche’ il modulo
• definizione di modulo
• equazioni con un modulo
• equazioni con due moduli
• equazioni con piu’ moduli

perche' il modulo

Perche' il modulo In Matematica esistono delle grandezze che sono solamente rappresentabili da numeri positivi, ad esempio si pensi alla lunghezza di un segmento o alla distanza fra due punti: non ha nessun significato associare a tali grandezze un numero negativo, Allora, in certe parti della matematica, avremo bisogno di un qualcosa che ci garantisca che il numero che consideriamo e’ sempre positivo: questo qualcosa e’ l’etichetta “Modulo” che verra’ indicata con il simbolo | x | e si leggera’ modulo di x

definizione di modulo

Dobbiamo definire che un qualcosa e’ sempre positivo, quindi se e’ positivo va bene mentre se e’ negativo dovro’ cambiargli il segno per farlo diventare positivo

Definizione: Si definisce modulo di x e si scrive | x |

• lo stesso x se x e’ positivo
• x cambiato di segno se x e’ negativo

In simboli:

• | x | = x se x > 0
• | x | = -x se x

Non c’e’ bisogno di dire che | 0 | non ha nessun significato (anche perche’ 0 e’ l’unico numero senza segno) vedi anche il modulo nei radicali e le disuguaglianze fra moduli

Equazioni con un modulo

Equazioni con un modulo Sono come le equazioni normali: l’unica differenza e’ che spezzando il modulo nelle sue componenti otteniamo due equazioni che valgono in due intervalli diversi Un esempio chiarira’ meglio il concetto:

Risolvere l’equazione |2x – 4| + x = 8 pongo l’argomento del modulo maggiore o uguale a zero \(2x - 4 0 2x 4 x 2\)

ho messo maggiore o uguale, potevo anche mettere solo il maggiore e lasciare l’uguale nell’altro intervallo

Ottengo l’intervallo \([2, +)\), in questo intervallo il termine dentro il modulo e’ positivo quindi tolgo il modulo e considero l’equazione \(2x - 4 + x = 8\) Invece nell’intervallo ( –

\(\infty\) , 2) il termine dentro il modulo (2x – 4) e’ negativo quindi per togliere il modulo devo cambiarlo di segno ( -2x + 4) e considerare l’equazione \(-2x + 4 + x = 8\) raccogliendo:

• \(se x 2\)considero \(-2x + 4 + x = 8\)
• \(se x 2\)considero \(2x - 4 + x = 8\)

Posso anche rappresentarlo sulla retta reale nel seguente modo: \(-2x + 4 + x = 8\)\(2x - 4 + x = 8\) _____________________2_______________________ Naturalmente la soluzione e’ accettabile solo se cade dentro l’intervallo in cui considero l’equazione: Posso prendere per buona la soluzione della prima solo se e’ minore di 2 e posso accettare la soluzione della seconda solo se e’ uguale o maggiore di 2. In pratica devo risolvere le due equazioni nel loro intervallo

• risolviamo la prima \(se x 2\) considero \(-2x + 4 + x = 8 -x + 4 = 8 -x = 4 x = - 4\)essendo questo valore minore di 2 posso accettarlo
• risolviamo la seconda \(se x 2\) considero \(2x - 4 + x = 8 3x - 4 = 8 3x = 12 x = 4\)essendo questo valore maggiore di 2 posso accettarlo

Ho due soluzioni: \(x_1 = -4 x_2 = 4\)

Concludendo: quando ho un modulo devo suddividere l’equazione in piu’ equazioni ognuna valida in un certo intervallo e devo risolvere ogni equazione singolarmente: potro’ accettare la soluzione solo se cade dentro l’intervallo dell’equazione. Per il numero di soluzioni non c’e’ un criterio: possono essere 1, 2, oppure nessuna. Ad esempio prova a risolvere la stessa equazione cambiando di segno il termine dopo l’uguale: |2x – 4| + x = -8 (nessuna soluzione) se vuoi vedere lo svolgimento

esercizi Risolvere l’equazione |2x – 4| + x = -8 pongo l’argomento del modulo maggiore o uguale a zero \(2x - 4 0 2x 4 x 2\) Ottengo:

Naturalmente la soluzione e’ accettabile solo se cade dentro l’intervallo in cui considero l’equazione: Posso prendere per buona la soluzione della prima solo se e’ minore di 2 e posso accettare la soluzione della seconda solo se e’ uguale o maggiore di 2. Devo risolvere le due equazioni nel loro intervallo

• risolviamo la prima \(se x 2\) considero \(-2x + 4 + x = -8 -x + 4 = -8 -x = -12 x = 12\)non essendo questo valore minore di 2 non posso accettarlo
• risolviamo la seconda \(se x 2\) considero \(2x - 4 + x = -8 3x - 4 = -8 3x = -4 x = -4/3\)non essendo questo valore maggiore di 2 non posso accettarlo

• \(se x 2\)considero \(-2x + 4 + x = -8\)
• \(se x 2\)considero \(2x - 4 + x = -8\)

l'equazione non ammette soluzioni

Equazioni con due moduli

Equazioni con due moduli Se abbiamo due moduli si avranno genere tre intervalli da considerare e quindi tre equazioni: Vediamo un esempio

Risolvere l’equazione |2x – 4| + |x + 3| – x = 8 pongo gli argomenti dei moduli maggiori o uguali a zero ottenendo due disequazioni

1. \(2x - 4 0 2x 4 x 2\)
2. \(x + 3 0 x -3\)

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + – – – – – – – – – (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ottengo gli intervalli:

• \(( - , -3)\) in questo intervallo entrambe le disequazioni non sono verificate quindi i termini interni al modulo devono essere presi col segno cambiato e l’equazione sara’ \(-2x + 4 - x - 3 - x = 8\) sviluppando \(- 4x = 7\)
• \([-3 , 2)\) in questo intervallo la prima disequazione non e’ verificata (quindi devo cambiare di segno i termini del modulo) mentre invece e’ verificata la seconda (allora prendo con lo stesso segno i termini del secondo modulo) e l’equazione diventa \(-2x + 4 + x + 3 - x = 8\) sviluppando \(- 2x = 1\)
• \([2 , +)\) in questo intervallo entrambe le disequazioni sono verificate quindi i termini dei moduli vanno presi senza cambiarli di segno e l’equazione diventa \(2x - 4 + x + 3 - x = 8\) sviluppando \(2x = 9\)

Posso rappresentarlo sulla retta reale nel seguente modo: \(- 4x = 7\)\(- 2x = 1\)\(2x = 9\) ______________-3______________________2_________________ Naturalmente la soluzione e’ accettabile solo se cade dentro l’intervallo in cui considero l’equazione: Posso prendere per buona la soluzione della prima equazione solo se e’ minore di -3, posso accettare la soluzione della seconda solo se e’ compresa fra -3 e 2, posso accettare la soluzione della terza solo se il risultato e’ maggiore di 2 In pratica devo risolvere le tre equazioni nel loro intervallo

• risolviamo la prima \(se x -3\) considero \(- 4x = 7 x = - 7/4\)non essendo questo valore minore di -3 non posso accettarlo
• risolviamo la seconda \(se -3 x 2\) considero \(- 2x = 1 x = - 1/2\)essendo questo valore compreso tra -3 e 2 posso accettarlo
• risolviamo la terza \(se x 2\) considero \(2x = 9 x = 9/2\)essendo questo valore maggiore di 2 posso accettarlo

Ho quindi due soluzioni: x = – 1/2 x = 9/2

Equazioni con piu' moduli

Equazioni con piu' moduli Se abbiamo piu’ moduli si avranno genere piu’ intervalli da considerare e quindi piu’ equazioni: Vediamo un esempio con tre moduli

Risolvere l’equazione |2x – 4| + |x + 3| + |x – 3| – x = 8 pongo gli argomenti dei moduli maggiori o uguali a zero ottenendo tre disequazioni

1. \(2x - 4 0 2x 4 x 2\)
2. \(x + 3 0 x -3\)
3. \(x - 3 0 x 3\)

– – – – – – – – – – – – – – – – (2) + + + + + + + + + + + + + + + – – – – – – (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – (3) + + + + + + + + + Ottengo gli intervalli:

• \(( - , -3)\) in questo intervallo tutte e tre le disequazioni non sono verificate quindi i termini interni al modulo devono essere presi col segno cambiato e l’equazione sara’ \(-2x + 4 - x - 3 - x + 3 - x = 8\) sviluppando \(- 5x = 4\)
• \([-3 , 2)\) in questo intervallo la prima e la terza disequazione non sono verificate (quindi devo cambiare di segno i termini dei moduli) mentre invece e’ verificata la seconda (allora prendo con lo stesso segno i termini del secondo modulo) e l’equazione diventa \(-2x + 4 + x + 3 - x + 3 - x = 8\) sviluppando \(- 3x = -2 3x = 2\)
• \([2 , 3)\) in questo intervallo le prime due disequazioni sono verificate (i termini dei moduli vanno presi senza cambiarli di segno) mentre la terza non e’ verificata (quindi devo cambiare di segno i termini del modulo); l’equazione diventa \(2x - 4 + x + 3 - x + 3 - x = 8\) sviluppando \(x = 6\)
• \([3 , +)\) in questo intervallo tutte e tre le disequazioni sono verificate quindi i termini dei moduli vanno presi senza cambiarli di segno e l’equazione diventa \(2x - 4 + x + 3 + x - 3 - x = 8\) sviluppando \(3x = 12\)

Posso rappresentarlo sulla retta reale nel seguente modo: \(- 5x = 4\)\(3x = 2\)\(x = 6\)\(3x = 12\) __________-3_________________2___________3___________ Naturalmente la soluzione e’ accettabile solo se cade dentro l’intervallo in cui considero l’equazione:

Posso prendere per buona la soluzione della prima equazione solo se e’ minore di -3, posso accettare la soluzione della seconda solo se e’ compresa fra -3 e 2, posso accettare la soluzione della terza solo se il risultato e’ compreso tra 2 e 3 e posso accettare la quarta se la soluzione e’ maggiore o uguale a 3

In pratica devo risolvere le quattro equazioni nel loro intervallo

• risolviamo la prima \(se x -3\) considero \(- 5x = 4 x = - 4/5\) non essendo questo valore minore di -3 non posso accettarlo
• risolviamo la seconda \(se -3 x 2\) considero \(3x = 2 x = 2/3\) essendo questo valore compreso tra -3 e 2 posso accettarlo
• risolviamo la terza \(se 2 x 3\) considero \(x = 6\) non essendo questo valore compreso tra 2 e 3 non posso accettarlo
• risolviamo la quarta \(se x 3\) considero \(3x = 12 x = 4\) essendo questo valore maggiore di 3 posso accettarlo

Ho quindi due soluzioni: x = 2/3 x = 4

equazioni di secondo grado

equazioni di secondo grado Un’equazione si dice di secondo grado quando la x vi compare a potenza 2, cioe’ c’e’ un termine con x\(^2\) A seconda dei termini presenti, oltre a quello di secondo grado, le equazioni possono essere suddivise in

• Equazioni pure
• Equazioni spurie
• Equazioni complete

Per affrontare correttamente l’argomento occorre aver prima studiato i radicali

equazione pura

Equazione pura E’ l’equazione di secondo grado del tipo:

\[ax^2 + c = 0\]

\(si ottiene dall'equazione completa ax^2 + bx + c = 0 quando manca il termine di primo grado bx\)

Per risolverla usiamo le regole gia’ viste per le equazioni di primo grado: \(ax^2 + c = 0\) per il primo principio di equivalenza trasporto la c dall’altra parte dell’uguale cambiandola di segno \(ax^2 = -c\) dovro’ lasciare la x senza altri termini quindi applico il secondo principio dividendo entrambe i termini per a \(ax^2 -c ---- = ---- a a\) \(-c x^2 = ---- a\) ora siccome cerco la x mentre ho x\(^2\) per fare in modo che x\(^2\) diventi x dovro’ fare la radice ad entrambe i termini

sono radicali algebrici perche’ cerchiamo tutti i valori che elevati al quadrato ci danno il radicando quindi ci va il simbol o

\(\pm\) ma siccome e’ un’uguaglianza basta mettere il simbolo solo davanti ad una delle due radici

\(x^2 = -c/a\) \(x = -c/a\) le due soluzioni sono \(x_1 = --c/a x_2 = +-c/a\)

quando faccio

[figura: radicea.jpg]

-c/a non faccio la radice di un numero negativo (non si potrebbe fare perche’ nessun numero reale al quadrato mi da’ un numero negativo). il segno meno significa semplicemente cambiare il segno di c/a

Facciamo un esempio \(3x^2 - 12 = 0\) trasporto il -12 dopo l’uguale \(3x^2 = + 12\) per il secondo principio divido entrambe i membri per 3 per liberare x\(^2\) \(3x^2 12 ---- = ---- 3 3 x^2 = 4\) applico la radice ad entrambe i membri

[figura: radicearossa.jpg]

x\(^2\) =

\(\pm\)

[figura: radicearossa.jpg]

4 x =

\(\pm\)

[figura: radicearossa.jpg]

• x\(_1\) = -2
• x\(_2\) = +2

e’ consuetudine mettere le soluzioni partendo dalla piu’ a sinistra sulla retta dei numeri e andando verso destra

Perche’ il nome “pura” dato a questa equazione? Sembra derivi dal fatto che gia’ la usavano i greci per risolvere il problema: data la superficie di un quadrato trovarne il lato

equazione spuria

Equazione spuria E’ l’equazione di secondo grado del tipo:

\[ax^2 + bx = 0\]

\(si ottiene dall'equazione completa ax^2 + bx + c = 0 quando manca il termine noto c\)

Per risolverla trattiamola come un polinomio e scomponiamola: raccogliamo a fattor comune la x prima dell’uguale \(x ( ax + b) = 0\)

il principio di annullamento del prodotto dice che un prodotto e’ zero se e solo se uno dei suoi fattori e’ zero

siccome devo trovare i valori per cui il prodotto e’ zero, per il principio di annullamento del prodotto dovro’ porre ogni fattore uguale a zero quindi

• x = 0
• ax + b = 0 ax = -b x = -b/a

le soluzioni sono:

• x\(_1\) = 0
• x\(_2\) = -b/a

Facciamo un esempio \(3x^2 - 12x = 0\) raccolgo la x \(x( 3x - 12) = 0\) applico la legge dell’annullamento del prodotto

• x = 0
• 3x – 12 = 0 3x = + 12 x = 12/3 = 4

le soluzioni sono:

• x\(_1\) = 0
• x\(_2\) = 4

L’equazione si chiama spuria in contrapposizione con l’equazione pura e’ l’equazione che serve a determinare la gittata di un proiettile