esercizi sulle equazioni
Esercizi sulle equazioni vediamo ora alcuni tipi di esercizi che riguardano le equazioni di secondo grado
- Esercizi sulle equazioni di secondo grado pure
- Esercizi sulle equazioni di secondo grado spurie
- Esercizi sulle equazioni complete
- Trovare l’equazione di cui conosciamo le radici
- Trovare due numeri di cui conosciamo la somma ed il prodotto
- Equazioni con parametro
- Semplificazione di frazioni
esercizi sulle equazioni di secondo grado pure
esercizi sulle equazioni di secondo grado pure Vediamo alcuni esercizi graduati per difficolta’
Comunque ricorda che questi esercizi possono essere resi difficili quanto si vuole
risolvere le seguenti equazioni:
esercizio 1 \(2x^2 - 18 = 0 soluzione\)
esercizio 2 \((2x - 3)^2 = x (x-12) + 12 soluzione\)
esercizio 3 (x – 3)(x+3) + 5x = 5 (x- 5)
esercizio 4 10 x – 5 x + 5
—- – ————- = ———–
3 x + 5 x – 5
esercizio 5 5 1 1
————– + ————- = ———–
2x – 2 2x – 3 2x + 2
esercizio 6 \(ax^2 = 0 soluzione\)
esercizio 7 x – a x + a
——— = 3 + ———–
x + a a – x
esercizio
esercizio risolvere la seguente equazione: \(2x^2 - 18 = 0\)
Al solito io faro’ tutti i passaggi, tu puoi abbreviare
si porta il termine noto dopo l’uguale \(2x^2 = 18\) divido entrambe i membri per il coefficiente di x\(^{^2}\) \(2x^2\) 18
—— = —-
semplifico ed ottengo \(x^2 = 9\) Applico la radice da entrambe le parti dell’uguale (il piu’ o meno lo mettiamo sempre solo davanti al secondo termine) \(x^2 = 9\) Semplifico le radici con gli esponenti ricordando che 9=3\(^{^2}\) x =
\(\pm\) 3 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -3\) \(x_2 = +3\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \((2x - 3)^2 = x (x-12) + 12\) qui dobbiamo prima fare i calcoli: come prima cosa eleviamo al quadrato prima dell’uguale e, dopo l’uguale eseguiamo la moltiplicazione \(4x^2 - 12x + 9 = x^2 - 12x + 12\) porto le x prima dell’uguale e i termini noti dopo l’uguale \(4x^2 - x^2 - 12x + 12x = -9 + 12\) sommo i termini simili \(3x^2 = 3\) divido entrambe i membri per il coefficiente di x\(^{^2}\) \(3x^2\) 3
—— = —-
semplifico ed ottengo \(x^2 = 1\) Applico la radice da entrambe le parti dell’uguale \(x^2 = 1\) Semplifico le radici con gli esponenti \(x^2 = 1\) Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -1\) \(x_2 = +1\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \((x - 3)(x+3) + 5x = 5 (x- 5)\) anche qui dobbiamo prima fare i calcoli: eseguiamo i prodotti prima e dopo l’uguale (prima dell’uguale e’ un prodotto notevole) \(x^2 - 9 + 5x = 5x - 25\) porto le x prima dell’uguale e i termini noti dopo l’uguale \(x^2 + 5x - 5x = 9 - 25\) sommo i termini simili \(x^2 = - 16\) Applico la radice da entrambe le parti dell’uguale \(x^2 = -16\) Dovrei fare la radice quadrata di un numero negativo e qui hai due possibilita’
Se il tuo Professore ti ha spiegato i numeri immaginari e complessi allora devi procedere estraendo la radice e ricordando che
[figura: radicea.jpg]
-1 = i \(x^2 = -1 16\) Semplifico le radici con gli esponenti ricordando che 16=4\(^{^2}\) x =
\(\pm\) 4i Ho quindi le due soluzioni immaginarie \(x_1 = -4i\) \(x_2 = +4i\)
- Se il tuo Professore non ti ha spiegato i numeri immaginari e complessi devi solo dire che l’equazione non ammette soluzioni reali
esercizio risolvere la seguente equazione: 10 x – 5 x + 5
—- – ————- = ———–
3 x + 5 x – 5
E’ un’ equazione fratta quindi prima di risolverla dobbiamo porre le condizioni di realta’ \(C.R. x - 5 0 x 5 x + 5 0 x - 5\) Cioe’ se troveremo come soluzione x=5 o x=-5 diremo che l’equazione e’ impossibile Ora possiamo fare il minimo comune multiplo e poi semplificarlo m.c.m. = 3(x-5)(x+5) \(10(x-5)(x+5) - 3(x-5)^2\) \(3(x + 5)^2\)
——————————- = ——————-
3(x-5)(x+5) 3(x-5)(x+5)
Elimino i denominatori
Devo moltiplicare da entrambe le parti per 3(x-5)(x+5); posso farlo perche’ ho posto che e’ diverso da zero
\(10(x-5)(x+5) - 3(x-5)^2 = 3(x+5)^2\) eseguo i calcoli, prima i prodotti notevoli \(10(x^2-25) - 3(x^2-10x+25) = 3(x^2+10x+25)\) poi le moltiplicazioni \(10x^2 -250 - 3x^2 +30x -75 = 3x^2 +30x +75\) conviene portare tutto prima dell’uguale \(10x^2 -250 - 3x^2 +30x -75 - 3x^2 -30x -75 = 0\) sommo i termini simili \(4x^2 -400 = 0\) divido entrambe i membri per il coefficiente di x\(^{^2}\) \(4x^2\) 400
—— = —-
semplifico ed ottengo \(x^2 = 100\) Applico la radice da entrambe le parti dell’uguale (il piu’ o meno lo mettiamo sempre solo davanti al secondo termine) \(x^2 = 100\) Semplifico le radici con gli esponenti ricordando che 100=10\(^{^2}\) x =
\(\pm\) 10 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -10\) \(x_2 = +10\)
e rispettano le condizioni di realta’
esercizio risolvere la seguente equazione: 5 1 1
————– + ————- = ———–
2x – 2 2x – 3 2x + 2
scomponiamo i denominatori 5 1 1
————– + ————- = ———–
2(x – 1) 2x – 3 2(x + 1)
E’ un’ equazione fratta quindi prima di risolverla dobbiamo porre le condizioni di realta’: ogni termine al denominatore,che contenga la x, va posto diverso da zero; le costanti moltiplicate (il 2) puoi saltarle perche’ sono certamente diverse da zero \(C.R. x - 1 0 x 1 2x - 3 0 x 3/2 x + 1 0 x -1\) Cioe’ se troveremo come soluzione x=-1 x=1 o x=3/2 diremo che l’equazione e’ impossibile Ora possiamo fare il minimo comune multiplo e poi semplificarlo m.c.m. = 2(x-1)(x+1)(2x-3) 5·(x+1)(2x-3) + 2(x-1)(x+1) (x-1)(2x-3)
———————————————— = —————————-
2(x-1)(x+1)(2x-3) 2(x-1)(x+1)(2x-3)
Elimino i denominatori
Devo moltiplicare da entrambe le parti per 2(x-1)(x+1)(2x-3); posso farlo perche’ so che ogni termine e’ diverso da zero
5(x+1)(2x-3) + 2(x-1)(x+1)=(x-1)(2x-3) eseguo i calcoli, prima i prodotti fra parentesi \(5(2x^2-3x + 2x -3) + 2(x^2-1) = 2x^2 - 3x - 2x + 3\) poi le moltiplicazioni
Veramente sarebbepiu’ “matematico” sommare prima i termini simili entro parentesi, pero’ cosi’ facendo devo fare un passaggio in piu’,perche’ dopo aver moltiplicato dovro’ ancora sommare i termini simili, quindi…
\(10x^2 - 15x + 10x - 15 + 2x^2 - 2 = 2x^2 - 3x - 2x + 3\) conviene portare tutto prima dell’uguale \(10x^2 - 15x + 10x - 15 + 2x^2 - 2 - 2x^2 + 3x + 2x - 3 =0\) sommo i termini simili \(10x^2 -20 = 0\) divido entrambe i membri per il coefficiente di x\(^{^2}\) \(10x^2\) 20
—— = —-
10 10
semplifico ed ottengo \(x^2 = 2\) Applico la radice da entrambe le parti dell’uguale (il piu’ o meno lo mettiamo sempre solo davanti al secondo termine) \(x^2 = 2\) Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -2\) \(x_2 = +2\)
e rispettano le condizioni di realta’
Non ti devi meravigliare se il risultato viene un numero con la radice: se consideri i numeri naturali 1,2,3, i numeri con alcuni termini dopo la virgola(detti razionali perche’ esprimibili mediante frazioni) sono infiniti rispetto ai numeri naturali, cioe’ per ogni numero naturale ci sono infiniti numeri razionali; si puo’ dimostrare che per ogni numero razionale esistono infiniti numeri esprimibili con la radice(reali); se hai un problema reale di solito ottieni un numero con la radice: e’ raro ottenere come soluzione un numero razionale e i numeri interi li ottieni solo in problemi preparati apposta.
esercizio risolvere la seguente equazione: \(ax^2 = 0\)
E’ un’equazione tanto semplice che puo’ diventare difficile il risolverla: di solito ci si aspetta un esercizio difficile e quando si trova invece davanti un esercizio semplice parecchi si confondono
E’ un’ equazione letterale quindi, per risolverla:
se \(a0\) posso applicare il secondo principio e quindi divido entrambe i membri per il coefficiente di x\(^{^2}\)\(ax^2\) 0
—— = —-
semplifico ed ottengo \(x^2 = 0\) Applico la radice da entrambe le parti dell’uguale (il piu’ o meno lo mettiamo sempre solo davanti al secondo termine) \(x^2 = 0\) Semplifico le radici con gli esponenti e, ricordando che 0=0\(^{^2}\) e che lo zero e’ un numero senza segno, ottengo le due soluzioni \(x_1 = 0\) \(x_2 = 0\)
- si dice anche che 0 e’ una radice doppia
- se \(a=0\) in questo caso non posso dividere entrambe i membri per a, allora sostituisco il valore 0 ad a \(a=x^2 = 0\) \(0 = 0 equazione indeterminata\)
esercizio risolvere la seguente equazione: x – a x + a
——— = 3 + ———–
x + a a – x
Intanto osserviamo l’equazione: abbiamo ai denominatori x+a ed a-x conviene scrivere a+x invece di x+a essendo la stessa cosa. x – a x + a
——— = 3 + ———–
a + x a – x
E’ un’ equazione fratta e, contemporaneamente, un’ equazione letterale Prima di risolverla dobbiamo porre le condizioni di realta’ \(C.R. a + x 0 x -a a - x 0 x a\) Cioe’ se troveremo come soluzione x=a o x=-a diremo che l’equazione e’ impossibile Ora possiamo fare il minimo comune multiplo e poi semplificarlo m.c.m. = (a+x)(a-x) (x-a)(a-x) 3(a+x)(a-x) + (x+a)(a+x)
—————— = —————————————-
(a+x)(a-x) (a+x)(a-x)
o meglio, ricordando che (a-x) = -(x-a) \(-(x-a)^2\) \(3(a+x)(a-x) + (x+a)^2\)
—————— = —————————————-
(a+x)(a-x) (a+x)(a-x)
Elimino i denominatori
Devo moltiplicare da entrambe le parti per (a+x)(a-x); posso farlo perche’ ho posto che sono diversi da zero
\(-(x-a)^2 = 3(a+x)(a-x) + (x+a)^2\) eseguo i calcoli, prima i prodotti notevoli \(-(x^2- 2ax + a^2) = 3(a^2 - x^2) + x^2 + 2ax + a^2\) poi moltiplico e faccio cadere le parentesi \(-x^2 + 2ax - a^2 = 3a^2 - 3x^2 + x^2 + 2ax + a^2\) conviene portare tutto prima dell’uguale \(-x^2 + 2ax - a^2 - 3a^2 + 3x^2 - x^2 - 2ax - a^2 = 0\) \(x^2 - 5a^2 = 0\) porto il termine noto dopo l’uguale \(x^2 = 5a^2\) Applico la radice da entrambe le parti dell’uguale (il piu’ o meno lo mettiamo sempre solo davanti al secondo termine) \(x^2 = 5a^2\) estraggo a dalla radice x =
\(\pm\) a
[figura: radiceablu.jpg]
5 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = -a5\) \(x_2 = +a5\)
Per finire, siccome abbiamo delle soluzioni letterali, dobbiamo porre che le soluzioni trovate rispettano le condizioni di realta’: quindi dovra’ essere -a5 -a calcoli a 0 -a5 a calcoli a 0 a5 -a calcoli a 0 a5 a calcoli a 0 quindi le soluzioni sono accettabili se a e’ diverso da zero
\(-a5 -a\) La diseguaglianza si risolve esattamente come un’equazione: porto tutti i termini al primo membro \(-a5 + a 0\) metto in evidenza a \(a(1 -5) 0\) allora essendo (1 –
[figura: radicea.jpg]
5) diverso da zero dovra’ essere \(a 0\)
\(-a5 a\) Porto tutti i termini al primo membro \(-a5 - a 0\) metto in evidenza a \(-a(1 + 5) 0\) allora essendo (1 +
[figura: radicea.jpg]
5) diverso da zero dovra’ essere \(-a 0\) e quindi \(a 0\)
\(a5 -a\) Porto tutti i termini al primo membro \(a5 + a 0\) metto in evidenza a \(a(1 + 5) 0\) allora essendo (1 +
[figura: radicea.jpg]
5) diverso da zero dovra’ essere \(a 0\)
\(a5 a\) Porto tutti i termini al primo membro \(a5 - a 0\) metto in evidenza a \(a( 5 - 1) 0\) allora essendo (
[figura: radicea.jpg]
5 – 1) diverso da zero dovra’ essere \(a 0\)
esercizi sulle equazioni di secondo grado spurie
esercizi sulle equazioni di secondo grado spurie Risolvere le seguenti equazioni:
esercizio 1 \(2x^2 - 10x = 0 soluzione\)
esercizio 2 \(2(x - 2)^2 - 7x = (x - 3)^2 -1 soluzione\)
esercizio 3 \(x^2 + 3x =\) x —- 2 + 7x(x – 2)
esercizio 4 \(x^2 - x + 1\) \(x^2 + x + 1\) 3x 2
—————- – —————– = ———— + ———–
x – 1 x + 1 x + 1 \(x^2 - 1\)
esercizio 5 3 x – 2 1
—————— – ————- + ———– = 0
\(x^2 - 3x + 2\) x – 1 2 – x
esercizio 6 \(ax^2 + ax = 2x(x - 1) soluzione\)
esercizio 7 x – a 2a
———- + ————- = 1
a x + a
esercizio risolvere la seguente equazione: \(2x^2 - 10x = 0\)
Al solito io faro’ tutti i passaggi, tu puoi abbreviare
si fa il raccoglimento a fattor comune 2x(x – 5) = 0 questo e’ un prodotto uguale a zero per la legge dell’annullamento del prodotto so che un prodotto e’ zero se e solo se uno dei fattori e’ zero, quindi l’equazione precedente equivale alle due equazioni 2x =0 x-5=0
- Risolvo la prima: 2x = 0 divido per 2 da entrambe le parti dell’uguale ed ottengo x = 0
- Risolvo la seconda: x – 5 = 0 porto il -5 dopo l’uguale cambiandolo di segno x = 5
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 0\) \(x_2 = 5\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \(2(x - 2)^2 - 7x = (x - 3)^2 -1\) qui dobbiamo prima fare i calcoli: come prima cosa eleviamo al quadrato prima dell’uguale e dopo l’uguale \(2(x^2 - 4x + 4) - 7x = x^2 - 6x + 9 - 1\) ora eseguo la moltiplicazione prima dell’uguale \(2x^2 - 8x + 8 - 7x = x^2 - 6x + 9 - 1\) porto le x prima dell’uguale e i termini noti dopo l’uguale \(2x^2 - x^2 - 8x - 7x + 6x = 9 - 1 - 8\) sommo i termini simili \(x^2 - 9x = 0\) Raccolgo a fattor comune la x x(x – 9) = 0 per la legge dell’annullamento del prodotto l’equazione precedente equivale alle due equazioni x = 0 x – 9 = 0 La prima e’ gia’ risolta, risolvo la seconda: porto il -9 dopo l’uguale cambiandolo di segno x = 9 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 0\) \(x_2 = 9\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \(x^2 + 3x =\) \(x----2\) \(+ 7x(x - 2)\)
dobbiamo prima fare i calcoli: eseguiamo il prodotto dopo l’uguale \(x^2 + 3x =\) x —- 2 \(+ 7x^2 - 14x\)
ora facciamo il minimo comune multiplo \(2x^2 + 6x ---------- 2\) = \(x + 14x^2 - 28x -------------------- 2\)
adesso, essendo un’equazione posso moltiplicare prima e dopo l’uguale per 2, cioe’ posso togliere i denominatori secondo principio di equivalenza \(2x^2 + 6x = x + 14x^2 - 28x\) porto le x prima dell’uguale e i termini noti dopo l’uguale \(2x^2 - 14x^2 + 6x - x + 28x = 0\) sommo i termini simili \(-12x^2 + 33x = 0\) raccolgo a fattor comune -3x -3x(4x – 11) = 0 per la legge dell’annullamento del prodotto la mia equazione equivale alle due equazioni -3x =0 4x – 11 = 0
Risolvo la seconda: 4x – 11 = 0 porto il -11 dopo l’uguale cambiandolo di segno 4x = 11 divido da entrambe le parti per 4 ed ottengo 4x —– 4 = 11 —– 4
e quindi x = 11 —– 4
- Risolvo la prima: -3x = 0 divido per -3 da entrambe le parti dell’uguale ed ottengo x = 0
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 0\) \(x_2 =\) \(11 ----- 4\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \(x^2 - x + 1\) \(x^2 + x + 1\) \(3x\) \(2\)
\(----------------\) \(- ----------------- =\) \(------------\) \(+ -----------\)
\(x - 1\) \(x + 1\) \(x + 1\) \(x^2 - 1\)
Prima scomponiamo l’ultimo denominatore \(x^2 - x + 1\) \(x^2 + x + 1\) 3x 2
—————- – —————– = ———— + —————
x – 1 x + 1 x + 1 (x+1)(x-1)
E’ un’ equazione fratta quindi prima di risolverla dobbiamo porre le condizioni di realta’ cioe’ supporre che i denominatori siano diversi da zero C.R.
\(x - 1 0\) \(x 1\)
\(x + 1 0\) \(x -1\)
Cioe’ se troveremo come soluzione x=1 o x=-1 diremo che l’equazione e’ impossibile Ora possiamo fare il minimo comune multiplo e poi semplificarlo m.c.m. = (x+1)(x-1) \((x+1)(x^2 - x + 1) - (x-1)(x^2 + x + 1)\) 3x(x – 1) + 2
——————————————- = ——————-
(x-1)(x+1) (x-1)(x+1)
Elimino i denominatori
Devo moltiplicare da entrambe le parti per (x-1)(x+1); posso farlo perche’ nelle condizioni di realta’ ho posto che i fattori sono diversi da zero
\((x+1)(x^2 - x + 1) - (x-1)(x^2 + x + 1) = 3x(x - 1) + 2\) eseguo i calcoli, da notare che prima dell’uguale ottengo delle somme e differenze di cubi \(x^3 + 1 - (x^3 - 1) = 3x^2 - 3x + 2\) faccio cadere le parentesi \(x^3 + 1 - x^3 + 1 = 3x^2 - 3x + 2\) conviene portare tutto prima dell’uguale \(x^3 + 1 - x^3 + 1 - 3x^2 + 3x - 2 = 0\) sommo i termini simili \(-3x^2 + 3x = 0\) raccolgo a fattor comune -3x -3x(x – 1) = 0 per la legge dell’annullamento del prodotto la mia equazione equivale alle due equazioni -3x =0 x – 1 = 0
- Risolvo la prima: -3x = 0 divido per -3 da entrambe le parti dell’uguale ed ottengo x = 0
- Risolvo la seconda: x – 1 = 0 porto -1 dopo l’uguale cambiandolo di segno x = 1 Pero’ per le condizioni di realta’ questo valore non puo’ essere accettato (altrimenti, per togliere i denominatori, avrei moltiplicato per zero entrambe i membri dell’equazione contro il secondo principio di equivalenza
Ho quindi una sola soluzione accettabile \(x_1 = 0 accettabile\) \(x_2 = 1 non accettabile\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \(3\) \(x - 2\) \(1\)
\(------------------\) \(- ------------- +\) \(-----------\) \(= 0\)
\(x^2 - 3x + 2\) \(x - 1\) \(2 - x\)
scomponiamo il primo denominatore (trinomio notevole) 3 x – 2 1
———————- – ————- + ———– = 0
(x – 1)(x – 2) x – 1 2 – x
Notiamo ora che al primo denominatore abbiamo x-2 mentre al terzo abbiamo 2-x cioe’ lo stesso con il segno cambiato, quindi conviene cambiare il terzo termine di segno per avere denominatori uguali (moltiplico sopra e sotto per -1, sopra metto il meno davanti alla frazione, sotto ottengo -2+x cioe’ ordinando x-2) 3 x – 2 1
———————- – ————- – ———– = 0
(x – 1)(x – 2) x – 1 x – 2
E’ un’ equazione fratta quindi prima di risolverla dobbiamo porre le condizioni di realta’: ogni termine al denominatore,che contenga la x, va posto diverso da zero C.R.
\(x - 1 0\) \(x 1\)
\(x - 2 0\) \(x 2\)
Cioe’ se troveremo come soluzione x=1 o x=2 diremo che l’equazione e’ impossibile Ora possiamo fare il minimo comune multiplo e poi semplificarlo m.c.m. = (x-1)(x-2) \(3 - (x - 2)^2 - (x - 1)\) 0
—————————- = ——————
(x-1)(x-2) (x-1)(x-2)
Elimino i denominatori
Devo moltiplicare da entrambe le parti per (x-1)(x-2); posso farlo perche’ so che ogni termine e’ diverso da zero
\(3 - (x - 2)^2 - (x - 1) = 0\) eseguo i calcoli, prima il quadrato \(3 - (x^2 - 4x + 4) - (x - 1) = 0\) ora faccio cadere le parentesi \(3 - x^2 + 4x - 4 - x + 1 = 0\) sommo i termini simili \(-x^2 + 3x = 0\) raccolgo a fattor comune -x -x(x – 3) = 0 per la legge dell’annullamento del prodotto la mia equazione equivale alle due equazioni -x =0 x – 3 = 0
- Risolvo la prima: -x = 0 cambio di segno (moltiplico per -1) ed ottengo x = 0
- Risolvo la seconda: x – 3 = 0 porto -3 dopo l’uguale cambiandolo di segno x = 3 Controllo le condizioni di realta’, va tutto bene
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 0\) \(x_2 = 3\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \(ax^2 + ax = 2x(x - 1)\) E’ un’ equazione letterale, prima eseguiamo la moltiplicazione \(ax^2 + ax = 2x^2 - 2x\) portiamo tutto prima dell’uguale \(ax^2 + ax - 2x^2 + 2x = 0\) Sommo i termini simili
quando ho delle lettere e dei numeri per indicare che sommo faccio il raccoglimento a fattor comune
\(x^2(a - 2) + x(a + 2) = 0\) raccolgo a fattor comune x x[x(a-2) + (a+2)] = 0 per la legge dell’annullamento del prodotto la mia equazione equivale alle due equazioni x =0 x(a-2) + (a+2) = 0 La prima e’ gia’ risolta: x = 0Risolvo la seconda: x(a-2) + (a+2) = 0 porto il termine noto dopo l’uguale cambiandolo di segno x(a-2) = – a – 2
ora devo impostare la discussione
se a-2
\(\neq\)0, cioe’ a
\(\neq\)2 posso applicare il secondo principio e quindi divido entrambe i membri per a-2 x(a-2) -a-2
——– = ——-
a-2 a-2
semplifico ed ottengo -a-2
x = ——–
- se a-2 = 0, cioe’ a = 2 allora non posso applicare il secondo principio e quindi sostituisco 2 al posto di a nell’equazione x(a-2) = -a-2 x(2-2) = -2-2 0 = -4 impossibile
Ho quindi le soluzioni \(x_1 = 0\) \(se a2\) \(x_2 =\) \(-a-2-------- a-2\)
\(se a=2\) equazione impossibile
esercizio risolvere la seguente equazione: \(x - a\) \(2a\)
\(----------\) \(+ ------------- = 1\)
a \(x + a\)
Intanto osserviamo l’equazione: abbiamo ai denominatori x+a ed a. E’ un’ equazione fratta e, contemporaneamente, un’ equazione letterale Prima di risolverla dobbiamo porre le condizioni di realta’ e di possibilita’
Nota: i due fattori a ed x+a sono diversi per determinare la risolvibilita’ dell’equazione: il fatto di avere a al denominatore implica che al posto di a non posso mettere il valore zero (condizione di possibilita’ dell’equazione) ed e’ anteriore allo svolgimento dell’equazione invece il fattore x+a implica che la soluzione dell’equazione deve essere diversa da -a (condizione di realta’ dell’equazione) e va vista dopo aver risolto l’equazione
Condizione di possibilita' a 0 Posso procedere solo se a e' diverso da zero Condizione di realta' x+a 0 x -a Alla fine devo controllare se x e' diverso da a Ora possiamo fare il minimo comune multiplo e poi semplificarlo m.c.m. = a(x+a) \((x-a)(x+a) + 2a^2\) a(x+a)
——————— = ————–
a(x+a) a(x+a)
Elimino i denominatori
Devo moltiplicare da entrambe le parti per a(x+a); posso farlo per le condizioni poste all’inizio
\((x-a)(x+a) + 2a^2 = a(x+a)\) eseguo i calcoli, prima dell’uguale il prodotto notevole e dopo l’uguale il prodotto \(x^2 - a^2 + 2a^2 = ax + a^2\) conviene portare tutto prima dell’uguale \(x^2 - a^2 + 2a^2 - ax - a^2 = 0\) sommo i termini simili \(x^2 - ax = 0\) raccolgo a fattor comune x x(x – a) = 0 per la legge dell’annullamento del prodotto la mia equazione equivale alle due equazioni x = 0 x – a = 0
- La prima e’ gia’ risolta: x = 0 0
- Risolvo la seconda: x – a = 0 porto -a dopo l’uguale cambiandolo di segno x = a Controllo la condizione di realta’, va tutto bene
Se a
\(\neq\)0 ho quindi le due soluzioni \(con la condizione a 0\)
\(x_1 = 0\) \(x_2 = a\)
esercizi sulle equazioni di secondo grado complete
esercizi sulle equazioni di secondo grado complete Risolvere le seguenti equazioni:
esercizio 1 \(x^2 + 5x - 14 = 0 soluzione\)
esercizio 2 \(x^2 - 6x + 9 = 0 soluzione\)
esercizio 3 \(5x^2 - 6x + 5 = 0 soluzione\)
esercizio 4 3x \(x^2 - 3x - 10 - -------------------- + 3\) \((x - 2)^2 ------------ 2\) = 0
esercizio 5 \(x^2 + x3 + x + 3 = 0 soluzione\)
esercizio 6 \(3 (x^2-1) = x + 2(x + 3) soluzione\)
esercizio 7 (x+a)(x-a) + x(x-2b) = (x+b)(x-b)
esercizio 8 a – 3x a + 3x \(x^2 - ax\)
———- + ————- = ————-
a 2a b
esercizio risolvere la seguente equazione: \(x^2 + 5x - 14 = 0\)
Al solito io faro’ tutti i passaggi, tu puoi abbreviare
prendiamo la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = 5 c = – 14 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((-5)^2 - 4(1)(-14)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 + 56
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 81
\(\pm\) 9 = ———– = 2
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno – 5 + 9 = ——— = 2 2
– 5 – 9 = ——— = 2 – 7
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 2\) \(x_2 = -7\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \(x^2 - 6x + 9 = 0\)
Possiamo risolverla
- Con la formula normale
- con la formula ridotta
- Con un’osservazione (meglio)
se devi scegliere e’ meglio risolvere con un’osservazione, se questo non e’ possibile e’ preferibile usare la formula ridotta piuttosto che la formula completa, anche perche’, come potrai vedere confrontando i metodi, con la formula ridotta le operazioni vengono, di solito,semplificate
consideriamo la formula risolutiva normale
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = -6 c = 9 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(6^2 - 4(1)(9)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 36 – 36
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 0
\(\pm\) 0 = ———– = 2
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno, ma essendo il secondo termine 0 non cambia nulla 6 + 0 = ——— = 2 3
6 – 0 = ——— = 2 3
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 3\) \(x_2 = 3\)
essendo il discriminante dell’equazione uguale a zero abbiamo due radici reali e coincidenti
torna su consideriamo la formula risolutiva ridotta ricordando che
\(\beta\) = b/2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = -6
\(\beta\) = -3 c = 9 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(3^2 - (1)(9)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9 – 9 =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 0 =
\(\pm\) 0
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno, ma essendo il secondo addendo 0 non cambia nulla 3 + 0 = 3
3 – 0 = 3
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = 3\) \(x_2 = 3\)
essendo il discriminante dell’equazione uguale a zero abbiamo due radici reali e coincidenti
torna su Osserviamo l’equazione: \(x^2 - 6x + 9 = 0\) il polinomio \(x^2 - 6x + 9\) e’ scomponibile come quadrato di un binomio \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\) quindi possiamo risolvere l’equazione \((x-3)^2 = 0\) che si scompone nelle due equazioni x – 3 = 0 x – 3 = 0 ed abbiamo come risultato \(x_1 = 3\) \(x_2 = 3\)
Da notare che questo ragionamento (del quadrato di un binomio) si puo’ fare ogni volta che il discriminante dell’equazione vale zero, cioe’ Se il discriminante vale zero il polinomio associato all’equazione e’ un quadrato perfetto. Viceversa se il polinomio associato all’equazione e’ un quadrato perfetto il discriminante vale zero torna su
esercizio risolvere la seguente equazione: \(5x^2 - 6x + 5 = 0\)
Possiamo risolverla
- con la formula normale
- con la formula ridotta
e’ preferibile usare la formula ridotta piuttosto che la formula completa, anche perche’, come potrai vedere confrontando i metodi, con la formula ridotta le operazioni vengono, di solito, semplificate
consideriamo la formula risolutiva normale
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 5 b = -6 c = 5 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(6^2 - 4(5)(5)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(5)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 36 – 100
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) – 64
adesso devi comportarti diversamente a seconda del tuo programma:
- se non hai fatto i numeri complessi devi semplicemente dire che l’equazione non ammette soluzioni
- se invece hai fatto i numeri compessi puoi procedere e trovare le soluzioni complesse
procediamo 6
\(\pm\) 8 i = ———– = 10
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno, raccolgo sopra il 2 e semplifico con il denominatore 2(3 + 4 i) ———— = 10 3 + 4 i ———– 5
2(3 – 4 i) ———— = 10 3 – 4 i ———– 5
Ho quindi le due soluzioni complesse e coniugate \(x_1 =\) \(3 + 4i------ 5\) \(x_2 =\) \(3 - 4i------ 5\)
essendo il discriminante dell’equazione minore di zero abbiamo due complesse e coniugate
torna su consideriamo la formula risolutiva ridotta ricordando che
\(\beta\) = b/2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 5 b = -6
\(\beta\) = -3 c = 5 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(3^2 - (5)(5)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9 – 25
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) – 16
adesso devi comportarti diversamente a seconda del tuo programma:
- se non hai fatto i numeri complessi devi semplicemente dire che l’equazione non ammette soluzioni
- se invece hai fatto i numeri compessi puoi procedere e trovare le soluzioni complesse
procediamo 3
\(\pm\) 4 i = ———– = 5
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno 3 + 4 i ———- 5
3 – 4 i ———— 5
Ho quindi le due soluzioni complesse e coniugate \(x_1 =\) \(3 + 4i------ 5\) \(x_2 =\) \(3 - 4i------ 5\)
essendo il discriminante dell’equazione minore di zero abbiamo due complesse e coniugate torna su
esercizio risolvere la seguente equazione: \(3x\) \(x^2 - 3x - 10 - -------------------- + 3\) \((x - 2)^2 ------------ 2\) \(= 0\)
dobbiamo prima fare i calcoli: eseguiamo il quadrato 3x \(x^2 - 3x - 10 - -------------------- + 3\) \(x^2 - 4x + 4 ---------------- 2\) = 0
ora facciamo il minimo comune multiplo che e’ 6 \(18x - 2(x^2 - 3x -10) + 3(x^2 - 4x + 4) ------------------------------------------- 6\) = 0 —- 6
eseguiamo i prodotti \(18x - 2x^2 + 6x + 20 + 3x^2 - 12x + 12 -------------------------------------------------- 6\) = 0 —- 6
adesso, essendo un’equazione posso moltiplicare prima e dopo l’uguale per 6, cioe’ posso togliere i denominatori per il secondo principio di equivalenza \(18x - 2x^2 + 6x + 20 + 3x^2 - 12x + 12 = 0\) sommo i termini simili \(x^2 + 12x + 32 = 0\)
Possiamo risolverla
- con la formula normale
- con la formula ridotta
consideriamo la formula risolutiva normale
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = 12 c = 32 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– 12
\(\pm\) \(12^2 - 4(1)(32)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 144 – 128
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 16
\(\pm\) 4 = ———– = 2
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno – 12 + 4 ———— = 2 – 8 ———– 2 = -4
– 12 – 4 ———— = 2 – 16 ———– 2 = -8
Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = - 4\) \(x_2 = -8\)
torna su consideriamo la formula risolutiva ridotta ricordando che
\(\beta\) = b/2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 5 b = 12
\(\beta\) = 6 c = 32 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(6^2 - (1)(32)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 36 – 32
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 4
= -6
\(\pm\) 2 =
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno – 6 + 2 = -4 – 6 – 2 = -8 Ho quindi le due soluzioni \(x_1 = - 4\) \(x_2 = -8\)
torna su
esercizio risolvere la seguente equazione: \(x^2 + x3 + x + 3 = 0\) Prima devo metterla in forma di equazione, con un solo termine x\(^{^2}\), un solo termine in x ed un solo termine noto: raccolgo la x per indicare che faccio la somma \(x^2 + x(1 + 3) + 3 = 0\) prendiamo la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = 1 +
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 c =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) \((-1-3)^2 - 4(1)(3)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) 1 + 3 + 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 -4
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
adesso posso scegliere due strade:
- eseguire i calcoli e poi, per estrarre di radice, applicare la formula dei radicali doppi
- oppure (metodo consigliato) controllo, senza sommare, se posso individuare un quadrato senza scomodare la formula dei radicali doppi Questo metodo puo’ sempre essere applicato, e basta un po’ di esercizio per diventare veloci per approfondire
Potresti anche notare che facendo la somma entro radice cambia di segno solamente il doppio prodotto, quindi…
vediamo entrambe i metodi
- con i radicali doppi
- ragionando sul quadrato
per usare i radicali doppi continuiamo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) 4 – 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
calcoliamo il radicale doppio
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
4 – 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 =
prima devo portare il 2 dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
= 4 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)12 =
applico la formula dei radicali doppi
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)(16-12) 4 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)(16-12)
= – =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)4 4 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)4
= – =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
4 + 2 4 – 2
= – =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – 1 quindi posso scrivere – 1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) (
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – 1)
\(x_{1,2} = =\)
nota che ho messo la parentesi perche’ quando prendero’ il segno meno cambiera’ di segno anche l’1 dentro parentesi considero il piu’ – 1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 +
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – 1 -2
\(x_1 = =\) = -1
considero il meno – 1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – (
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – 1) – 1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 + 1 -2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(x_2 = =\) = = –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
2 2 2
ottengo quindi le soluzioni \(x_1 = -1\) \(x_2 = -3\)
torna su Ragionare sul quadrato dobbiamo trasformare l’espressione:
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
4 – 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 =
devo trasformare l’espressione in somma di radicali semplici Per farlo il termine dentro radice deve essere un quadrato cioe’ 4 – 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 e’ il quadrato di un binomio in cui i due quadrati sono stati sommati: il doppio prodotto vale 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 (e quindi il prodotto e’
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3) e la somma dei due quadrati deve essere 4 se il prodotto e’
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 i termini saranno
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 ed 1 ed infatti il loro quadrato e’ 3 + 1 = 4 quindi posso scrivere
\(\sqrt{\phantom{x}}\)(4 – 2
[figura: radiceablu.jpg]
3 ) = so che 4 = 3 + 1 =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)(3 + 1 – 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 ) = scompongo il trinomio in un quadrato \(= (3 - 1)^2=\) e semplificando il radicale esterno con il quadrato ottengo =
[figura: radiceablu.jpg]
3 – 1
Siccome il quadrato trasforma tutti i segni in segni positivi, tornando indietro potrei fare
[figura: radicea.jpg]
3 – 1 ma anche 1 –
[figura: radicea.jpg]
3 allora dovrai avere l’avvertenza, quando in mezzo c’e’ il segno meno, di mettere al primo posto il termine di valore maggiore quindi posso scrivere – 1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) (
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – 1)
\(x_{1,2} = =\)
nota che ho messo la parentesi perche’ quando prendero’ il segno meno cambiera’ di segno anche l’1 dentro parentesi considero il piu’ – 1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 +
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – 1 -2
\(x_1 = =\) = -1
considero il meno – 1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – (
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – 1) – 1 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 + 1 -2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(x_2 = =\) = = –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
2 2 2
ottengo quindi le soluzioni \(x_1 = -1\) \(x_2 = -3\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \(3 (x^2-1) = x + 2(x + 3)\) Prima devo sviluppare i calcoli; moltiplico \(x^23 - 3 = x + 2x + 23\) porto tutti i termini prima dell’uguale \(x^23 - 3 - x - 2x - 23 = 0\) sommo i termini simili \(x^23 - 3x - 33 = 0\) prendiamo la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 b = – 3 c = – 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((-3)^2 - 4(3)(-33)\)
\(x_{1,2} =\) =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9 + 36
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)45 = ————– = 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
estraggo di radice ricordando che 45=3\(^{^2}\)·5 3
\(\pm\) 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)5 = ————– = 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
quindi abbiamo come prima radice \(x_1 =\) 3 + 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)5 = ————– = 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
ora devo razionalizzare = 3 + 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)5 = ————– · 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 ———-
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 + 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)15 = ——————— = 6
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 +
\(\sqrt{\phantom{x}}\)15) = ——————— = 6
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 +
\(\sqrt{\phantom{x}}\)15 ——————— 2
abbiamo come seconda radice \(x_2 =\) 3 – 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)5 = ————– = 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
ora devo razionalizzare = 3 – 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)5 = ————– · 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 ———-
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)15 = ——————— = 6
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)15) = ——————— = 6
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)15 ——————— 2
ottengo quindi le soluzioni \(x_1 =\) \(3 + 15 --------------------- 2\) \(x_2 =\) \(3 - 15 --------------------- 2\)
esercizio risolvere la seguente equazione: \((x+a)(x-a) + x(x-2b) = (x+b)(x-b)\) Prima devo sviluppare i calcoli; moltiplico \(x^2 - a^2 + x^2 - 2bx = x^2 - b^2\) porto tutti i termini prima dell’uguale \(x^2 - a^2 + x^2 - 2bx - x^2 + b^2 = 0\) sommo i termini simili \(x^2 - 2bx + (b^2 - a^2) = 0\) ho messo tra parentesi b\(^{^2}\)-a\(^{^2}\) per indicare che e’ un termine unico: il termine noto
Possiamo risolverla
- con la formula normale
- con la formula ridotta
se devi scegliere e’ meglio risolvere con la formula ridotta piuttosto che la formula normale, anche perche’, come potrai vedere confrontando i metodi, con la formula ridotta le operazioni vengono semplificate, soprattutto se il primo coefficiente vale 1
procediamo con la formula risolutiva normale
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: \(1° coefficiente = 1 2° coefficiente = - 2b terzo coefficiente = b^2 - a^2\) ho messo 1°, 2° e 3°coefficiente per non confondere la b della formula con quella dopo l’uguale: la prima b indica il coefficiente generico della x nell’equazione, invece -2b e’ il valore di quel coefficiente; avrei dovuto usare simboli diversi, ma renderei piu’ complicata la simbologia sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
+ 2b
\(\pm\) \((-2b)^2 - 4(1)(b^2 - a^2)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(4b^2 - 4b^2 + 4a^2\)
\(2b 4a^2 = -------------- = 2\)
estraggo di radice 2b
\(\pm\) 2a = ————– = 2
raccolgo il 2 sopra e poi semplifico con sotto 2(b
\(\pm\) a) = ————– = 2
\(\pm\) a quindi abbiamo le soluzioni \(x_1 = b + a\) \(x_2 = b - a\)
torna su consideriamo la formula risolutiva ridotta ricordando che
\(\beta\) = b/2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: \(a = 1 2° coeff = -2b = -b c = b^2 - a^2\) sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((-b)^2 - (1)(b^2 - a^2)\)
\(x_{1,2} =\) =
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - b^2 + a^2 =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(a^2 =\)
\(\pm\) a
quindi abbiamo le soluzioni \(x_1 = b + a\) \(x_2 = b - a\)
Da notare che, anche se ci sono delle lettere, non abbiamo messo condizioni perche’ non abbiamo mai diviso per una lettera
esercizio risolvere la seguente equazione: \(a - 3x\) \(a + 3x\) \(x^2 - ax\)
\(----------\) \(+ ------------- =\) \(-------------\)
a \(2a\) b
Poniamo subito le condizioni per la possibilita’ dell’equazione a
\(\neq\) 0 b
\(\neq\) 0 ora facciamo il minimo comune multiplo 2ab 2b(a – 3x) + b(a + 3x) \(2a(x^2 - ax)\)
——————————– = —————–
2ab 2ab
tolgo i denominatori per il secondo principio di equivalenza: posso farlo perche’ ho supposto che a e b sono diversi da zero \(2b(a - 3x) + b(a + 3x) = 2a(x^2 - ax)\) eseguo i calcoli \(2ab - 6bx + ab + 3bx = 2ax^2 - 2a^2x\) porto tutti i termini prima dell’uguale \(2ab - 6bx + ab + 3bx - 2ax^2 + 2a^2x = 0\) sommo i termini simili \(- 2ax^2 - 3bx + 2a^2x + 3ab= 0\) cambio di segno \(2ax^2 + 3bx - 2a^2x - 3ab= 0\) \(2ax^2 + x(3b - 2a^2) - 3ab= 0\) applico la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: \(1° coefficiente = 2a 2° coefficiente = 3b - 2a^2 3° coefficiente = -3ab\) attenzione a non confondere le a e la b della formula con quelle dell’equazione: le prime indicano i coefficienti generici dell’equazione, mentre a e b nell’equazione sono dei numeri; avrei dovuto usare simboli diversi, ma renderei piu’ complicata la simbologia sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(- ( 3b - 2a^2)\) \((3b - 2a^2)^2 - 4(2a)(-3ab)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(2a)
fuori facciamo cadere la parentesi e facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(2a^2 - 3b\) \(9b^2 + 4a^4 - 12a^2b + 24a^2b\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(2a^2 - 3b\) \(9b^2 + 4a^4 + 12a^2b\)
dentro radice e’ un quadrato
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(2a^2 - 3b\) \((3b + 2a^2)^2\)
semplifico la radice con il quadrato \(2a^2 - 3b (2a^2 + 3b) = -------------------------------- = 4a\)
ora devo scegliere una volta il piu’ ed una volta il meno; \(x_1\) \(2a^2 - 3b + 2a^2 + 3b = ----------------------------- = 4a\) \(4a^2 ------ 4a\) = a
\(x_2\) \(2a^2 - 3b - 2a^2 - 3b = ----------------------------- = 4a\) -6b —— 4a 3b = – —— 2a
quindi abbiamo le soluzioni \(x_1 = a\) \(x_2\) \(3b = - ------ 2a\)
Da notare che, anche se abbiamo diviso per 4a non abbiamo posto ulteriori condizioni perche’ per la possibilita’ dell’equazione avevamo posto a diverso da zero
Trovare le equazioni di cui conosciamo il valore delle radici
Trovare le equazioni di cui conosciamo il valore delle radici Ti vengono forniti dei valori: devi trovare le equazioni di cui quei valori sono radici Come esercizi sono molto semplici quindi ci limiteremo a quattro casi diversi
esercizio 1 \(x_1 = 3 x_2 = 4 soluzione\)
esercizio 2 \(x_1 = 3 x_2 = - 2 soluzione\)
esercizio 3 \(x_1 = 3 x_2 = 23 soluzione\)
esercizio 4 \(x_1 = b - a x_2 = - b soluzione\)
esercizio Trovare l’equazione che ha come radici \(x_1 = 3 x_2 = 4\)
Facciamo riferimento alla forma dell’equazione di secondo grado \(x^2 - sx + p = 0\) con s e p somma e prodotto delle radici \(s = x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7 p = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12\) Otteniamo quindi \(x^2 - 7x + 12 = 0\)
Per verificare che hai fatto tutto giusto basta risolvere l’equazione
esercizio Facciamo un esercizio con segni diversi Trovare l’equazione che ha come radici \(x_1 = 3 x_2 = -2\)
Facciamo anche qui riferimento alla forma dell’equazione di secondo grado \(x^2 - sx + p = 0\) con s e p somma e prodotto delle radici \(s = x_1 + x_2 = 3 +(-2) = 3 - 2 = 1 p = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-2) = -6\) Otteniamo quindi \(x^2 - x - 6 = 0\)
Per verificare che hai fatto tutto giusto basta risolvere l’equazione
esercizio Facciamo un esercizio con radicali Trovare l’equazione che ha come radici \(x_1 = 3 x_2 = 23\)
Sempre per la forma dell’equazione di secondo grado \(x^2 - sx + p = 0\) con s e p somma e prodotto delle radici \(s = x_1 + x_2 = 3 + 23 = 33 q = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 23 = 2(3)^2 = 2 \cdot 3 = 6\) Otteniamo quindi \(x^2 - 3x3 + 6 = 0\)
Per verificare che hai fatto tutto giusto basta risolvere l’equazione
esercizio Facciamo un esercizio con le lettere Trovare l’equazione che ha come radici \(x_1 = b - a x_2 = - b\)
Sempre per la forma dell’equazione di secondo grado \(x^2 - sx + p = 0\) con s e p somma e prodotto delle radici \(s = x_1 + x_2 = b - a +(-b) = b - a - b = - a p = x_1 \cdot x_2 = (b-a) \cdot (-b) = -b^2 + ab = ab - b^2\) Otteniamo quindi \(x^2 + ax + ab - b^2= 0\)
Per verificare che hai fatto tutto giusto basta risolvere l’equazione
Trovare due numeri di cui conosciamo la somma ed il prodotto
Trovare due numeri di cui conosciamo la somma ed il prodotto Possiamo dire che sono gli esercizi inversi della pagina precedente: chiamiamo i due numeri x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) e consideriamoli come radici di un’equazione di secondo grado Conosci la somma ed il prodotto delle radici: devi trovare le radici
I piu’ semplici di questi esercizi potresti anche risolverli con la scomposizione: trinomio notevole, pero’ qui ti viene fornito un metodo generale per tutti i casi possibili
esercizio 1 \(x_1 + x_2 = 7 x_1 \cdot x_2 = 12 soluzione\)
esercizio 2 \(x_1 + x_2 = 1 x_1 \cdot x_2 = - 6 soluzione\)
esercizio 3 \(x_1 + x_2 = 33 x_1 \cdot x_2 = 6 soluzione\)
esercizio 4 \(x_1 + x_2 = - a x_1 \cdot x_2 = = ab - b^2 soluzione\)
esercizio Trovare i due numeri x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) tali che \(x_1 + x_2 = 7 x_1 \cdot x_2 = 12\)
Facciamo riferimento alla forma dell’equazione di secondo grado \(x^2 - sx + p = 0\) con s e p somma e prodotto delle radici \(s = x_1 + x_2 = 7 p = x_1 \cdot x_2 = 12\) Otteniamo l’equazione \(x^2 - 7x + 12 = 0\) per trovare i due numeri risolviamo l’equazione applico la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = -7 c = 12 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-7)
\(\pm\) \((-7)^2 - 4(1)(12)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 49 – 48
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1
\(\pm\) 1 = ———– = 2
adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ 7 – 1 = ——— = 2 3
7 + 1 = ——— = 2 4
quindi i due numeri cercati sono \((cerco sempre di ordinarli chiamando x_1 il minore)\) \(x_1 = 3\) \(x_2 = 4\)
puoi verificare che hai fatto giusto facendone semplicemente la somma ed il prodotto
esercizio Facciamo un esercizio con segni diversi Trovare i due numeri x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) tali che \(x_1 + x_2 = 1 x_1 \cdot x_2 = - 6\)
Facciamo sempre riferimento alla forma dell’equazione di secondo grado \(x^2 - sx + p = 0\) con s e p somma e prodotto delle radici \(s = x_1 + x_2 = 1 p = x_1 \cdot x_2 = -6\) Otteniamo l’equazione \(x^2 - x - 6 = 0\) per trovare i due numeri risolviamo l’equazione applico la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = – 1 c = – 6 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (-1)
\(\pm\) \((-1)^2 - 4(1)(-6)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1 + 24
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25
\(\pm\) 5 = ———– = 2
adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ \(1 - 5 x_1 = --------- = -2 2\)
\(1 + 5 x_2 = --------- = 3 2\)
quindi i due numeri cercati sono \((cerco sempre di ordinarli chiamando x_1 il minore)\) \(x_1 = -2\) \(x_2 = 3\)
puoi verificare che hai fatto giusto facendone semplicemente la somma ed il prodotto
esercizio Facciamo un esercizio con segni diversi Trovare i due numeri x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) tali che \(x_1 + x_2 = 33 x_1 \cdot x_2 = 6\)
Facciamo sempre riferimento alla forma dell’equazione di secondo grado \(x^2 - sx + p = 0\) con s e p somma e prodotto delle radici \(s = x_1 + x_2 = 33 p = x_1 \cdot x_2 = 6\) Otteniamo l’equazione \(x^2 - 3x3 + 6 = 0\) per trovare i due numeri risolviamo l’equazione applico la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = – 3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 c = 6 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (-3
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3)
\(\pm\) \((-33)^2 - 4(1)(6)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) 27 – 24
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 = ———– = 2
adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ \(33 - 3 x_1 = ------------ = 3 2\)
\(33 + 3 x_2 = ------------- = 23 2\)
quindi i due numeri cercati sono \((cerco sempre di ordinarli chiamando x_1 il minore)\) \(x_1 = 3\) \(x_2 = 23\)
puoi verificare che hai fatto giusto facendone semplicemente la somma ed il prodotto
esercizio Facciamo un esercizio con segni diversi Trovare i due numeri x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) tali che \(x_1 + x_2 = - a x_1 \cdot x_2 = ab - b^2\)
Facciamo sempre riferimento alla forma dell’equazione di secondo grado \(x^2 - sx + p = 0\) con s e p somma e prodotto delle radici \(s = x_1 + x_2 = - a p = x_1 \cdot x_2 = ab - b^2\) Otteniamo l’equazione \(x^2 + ax + ab - b^2 = 0\) per trovare i due numeri risolviamo l’equazione applico la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: \(a = 1 b = a c = ab - b^2\) sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(a^2 - 4(1)( ab - b^2)\)
\(x_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(a^2 - 4ab +4b^2\)
\(-a (a-2b)^2 = ---------------- = 2\)
\(\pm\) (a-2b) = —————- = 2
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(-a + a - 2b x_1 = -------------- = 2\) – 2b ———— 2 = – b
\(-a - a + 2b x_1 = -------------- = 2\) -2a + 2b ———— 2 2(-a + b) = ————- = 2 b – a
quindi i due numeri cercati sono \(x_1 = -b\) \(x_2 = b - a\)
puoi verificare che hai fatto giusto facendone semplicemente la somma ed il prodotto
Equazioni di secondo grado con parametro
sono esercizi che vengono spesso utilizzati dagli insegnanti soprattutto perche’ costringono l’alunno ad utilizzare un tipo di ragionamento “comparativo” possibile solo se ha appreso certe nozioni fondamentali sulle equazioni di secondo grado.
Per risolvere bene questi esercizi devi tener presenti le seguenti equivalenze Soluzioni coincidenti \(= b^2 - 4ac = 0\)
Una soluzione nulla Equazione spuria c = 0
Soluzioni opposte (la somma delle radici vale zero) Equazione pura b = 0
Soluzioni inverse (il prodotto delle radici vale uno) c
— = 1
il prodotto delle radici vale un numero ad esempio 5 c
— = 5
La somma delle radici vale un numero ad esempio 6 b
– — = 6
questi sono i casi fondamentali: ne puoi aggungere altri combinando questi fra loro: ad esempio la somma dei quadrati degli inversi delle radici vale 4 sarebbe a dire 1 1
—– + —– = 4
\(x_1^2\) \(x_2^2\)
faccio il m.c.m. prima dell’uguale \(x_2^2 + x_1^2\)
—————- = 4
\(x_1^2x_2^2\)
sopra aggiungo e tolgo il doppio prodotto 2x\(_{_1}\)x\(_{_2}\) per farlo diventare un quadrato, sotto posso considerarlo come quadrato del prodotto \(x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2\)
———————————- = 4
\((x_1 x_2)^2\)
\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)
————————— = 4
\((x_1 x_2)^2\)
a questo punto posso sostituire alla somma ed al prodotto delle radici le loro espressioni -b/a e c/a e quindi impostare la relazione
Vediamo ora alcuni esercizi tipici
esercizio 1 data l’equazione \((k+1)x^2 -2kx + k - 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’
- l’equazione abbia radici coincidenti
- l’equazione abbia radici opposte
- l’equazione abbia radici inverse
- la somma degli inversi delle radici valga 3
esercizio 2 data l’equazione \(kx^2 -(k-2)x + 1 = 0\) trovare il valore di k affinche’
- la somma delle radici valga 5
- il prodotto delle radici valga 6
- la somma dei quadrati delle radici valga 5
- x\(_{_1}\) + 3x\(_{_2}\) = 7
esercizio 3 data l’equazione \(kx^2 -kx + k + 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’
- il rapporto delle radici valga 1/2
- una radice sia tripla dell’altra
- una radice sia uguale al reciproco dell’altra
- la somma dei quadrati degli inversi delle radici valga 4
Una volta capito il meccanismo diventano esercizi abbastanza normali ed anche noiosi; Sarebbe anche possibile risolverli tutti in modo automatico; vedi nota nella quarta parte del secondo esercizio
esercizio data l’equazione \((k+1)x^2 -2kx + k - 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’ l’equazione abbia radici coincidenti radici coincidenti significa che il delta e’ uguale a zero cioe’ \(b^2 - 4ac = 0\) abbiamo \(a = k+1 b = -2k c = k - 2\) quindi sostituendo \(b^2 - 4ac =\)\((-2k)^2 - 4(k+1)(k - 2) = 0\) eseguo i calcoli per risolvere l’equazione \(4k^2 - 4(k^2 -2k + k - 2) = 0\) \(4k^2 - 4(k^2 -k - 2) = 0\) \(4k^2 - 4k^2 + 4k + 8 = 0\) \(4k + 8 = 0\) \(4k = - 8\) k = – 2 quindi l’equazione che soddisfa alla condizione si ottiene per k=-2 cioe’ \((-2+1)x^2 -2(-2)x + (-2) - 2 = 0\) \(- x^2 + 4x - 4 = 0\) o meglio, cambiando di segno \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
esercizio data l’equazione \((k+1)x^2 -2kx + k - 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’ l’equazione abbia radici opposte
Significa che le radici devono avere lo stesso valore e segno contrario, cosa che si ottiene solamente con un’equazione pura cioe’ con b=0 b = 0 abbiamo \(a = k+1 b = -2k c = k - 2\) quindi sostituendo b =\(-2k = 0\) devo risolvere l’equazione \(-2k = 0\) quindi k = 0 l’equazione che soddisfa alla condizione si ottiene per k=0 cioe’ \((0+1)x^2 -2(0)x + (0) - 2 = 0\) \(x^2 - 2 = 0\)
esercizio data l’equazione \((k+1)x^2 -2kx + k - 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’ l’equazione abbia radici inverse due radici sono inverse se sono ad esempio 3 ed 1/3, cioe’ se il loro prodotto vale 1, quindi c
—- = 1
\(a = k+1 b = -2k c = k - 2\) quindi sostituendo c \(k-2\)
—- = \(------- =\) \(1\)
a \(k+1\)
devo risolvere l’equazione \(k-2\)
\(--------\) \(= 1\)
\(k+1\)
Per poterla risolvere dobbiamo porre la condizione di realta’ \(C.R. k+1 0 k -1\) ora posso fare il m.c.m. e togliere il denominatore (e’ piu’ semplice moltiplicare in croce) \(k - 2 = k + 1 k - k = 2 + 1\) 0 = 3 equazione impossibile, quindi non esiste un valore di k che verifichi la condizione richiesta
esercizio data l’equazione \((k+1)x^2 -2kx + k - 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’ la somma degli inversi delle radici valga 3 cioe’ dovremo avere 1 1
—- + —- = 3
\(x_1\) \(x_2\)
dobbiamo avere la somma(-b/a) ed il prodotto (c/a) delle radici quindi facciamo qualche calcolo: eseguo il minimo comune multiplo prima dell’uguale \(x_1 + x_2\)
—————— = 3
\(x_1 x_2\)
sostituisco alla somma -b/a ed al prodotto c/a ed ottengo – b/a
——— = 3
cioe’ moltiplicando il numeratore per l’inverso del denominatore b a
– —- · —- = 3
quindi semplificando – b
—– = 3
abbiamo \(a = k+1 b = -2k c = k - 2\) quindi sostituendo – b \(-(-2k)\)
—– =\(------- =\) \(3\)
c \(k-2\)
devo risolvere l’equazione \(2k\)
\(--------\) \(= 3\)
\(k - 2\)
Per poterla risolvere dobbiamo porre la condizione di realta’ \(C.R. k-2 0 k 2\) ora posso fare il m.c.m. e togliere il denominatore (e’ piu’ semplice moltiplicare in croce) \(2k = 3(k -2) 2k = 3k - 6 2k - 3k = -6 -k = -6\) k = 6 quindi l’equazione che soddisfa alla condizione si ottiene per k=6 cioe’ \((6+1)x^2 -2(6)x + 6 - 2 = 0\) \(7x^2 -12x + 4 = 0\)
esercizio data l’equazione \(kx^2 -(k-2)x + 1 = 0\) trovare il valore di k affinche’ la somma delle radici valga 5 significa b
– —– = 5
abbiamo \(a = k b = -(k-2) c = 1\) quindi sostituendo b \(-(k-2)\)
– —– = \(- ---------- =\) \(5\)
risolvo l’equazione (supponendo k diverso da zero per le condizioni di realta’) \(k-2\)
\(----------\) \(= 5\)
\(k - 2 = 5k\) \(k - 5k = 2-4k = 2 4k = -2\) k = -1/2 Quindi sostituendo a k il valore -1/2 si ottiene la condizione desiderata
esercizio data l’equazione \(kx^2 -(k-2)x + 1 = 0\) trovare il valore di k affinche’ il prodotto delle radici valga 6 significa c
—– = 6
abbiamo \(a = k b = -(k-2) c = 1\) quindi sostituendo c \(1\)
—– \(= ------ =\) \(6\)
risolvo l’equazione (supponendo k diverso da zero per le condizioni di realta’) \(1\)
\(-----\) \(= 6\)
\(1 = 6k\) \(6k = 1\) k = 1/6 quindi per il valore k=1/6 il prodotto delle radici vale 6
esercizio data l’equazione \(kx^2 -(k-2)x + 1 = 0\) trovare il valore di k affinche’ la somma dei quadrati delle radici valga 5 significa \(x_1^2 + x_2^2 = 5\) dobbiamo trasformare in somme e prodotti delle radici, quindi aggiungo e tolgo 2x\(_{_1}\)x\(_{_2}\) \(x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = 5\) cioe’ \((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5\) siccome abbiamo \(a = k b = -(k-2) c = 1\) ricordando che b \(-(k-2)\) \(k-2\)
\(x_1 + x_2 =\) \(- ------- =\) \(- ------------ =\) \(-------\)
a k k
c \(1\)
\(x_1 \cdot x_2 =\) \(-------\) \(= -----\)
sostituendo ho l’equazione \((k-2)^2\) \(1\)
\(-------\) \(- 2\) \(-------\) \(= 5\)
\(k^2\) k
\((k-2)^2\) \(2\)
\(-------\) \(-\) \(-------\) \(= 5\)
\(k^2\) k
m.c.m. = k\(^{^2}\) supponendo che k sia diverso da zero \((k-2)^2 - 2k\) \(5k^2\)
\(-------------------\) \(=\) \(-----\)
\(k^2\) \(k^2\)
ed eliminando i denominatori \((k-2)^2 - 2k = 5k^2\) sviluppo \(k^2 - 4k + 4 - 2k = 5k^2\) \(k^2 - 5k^2 - 6k + 4 = 0\) \(-4k^2 - 6k + 4 = 0\) cambio di segno \(4k^2 + 6k - 4 = 0\) semplifico dividendo per 2 \(2k^2 + 3k - 2 = 0\) equazione di secondo grado: applico la formula risolutiva \(-3 [(3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)]\)
\(k_{1,2} =\) \(--------------------------------\)
\(4\)
\(-3 25\) \(-3 5\)
\(k_{1,2} =\) \(-----------\) \(=\) \(-------\)
\(4\) \(4\)
ho quindi le due soluzioni \(k_1 = -2 k_2 = 1/2\)
esercizio data l’equazione \(kx^2 -(k-2)x + 1 = 0\) trovare il valore di k affinche’ \(x_1 + 3x_2 = 7\) in questo caso non e’ possibile trasformare in modo semplice la relazione in somma e prodotto delle radici, quindi e’ piu’ conveniente risolvere un sistema fra le tre equazioni seguenti:
- la relazione data
- la somma delle radici
- il prodotto delle radici
abbiamo le tre incognite x\(_{_1}\), x\(_{_2}\) e k e quindi risolvendo ne troveremo il valore (e’ sufficiente trovare il solo valore di k)
Nota: questo metodo di utilizzare un sistema di tre equazioni in tre incognite e’ applicabile ad ogni problema e potrebbe essere utilizzato come metodo generale, pero’ se guardi i calcoli vedi che sono piuttosto lunghi e complicati, quindi sara’ usato solamente quando non si potra’ fare diversamente
nel nostro caso abbiamo \(a = k b = -(k-2) c = 1\) quindi la somma b \(-(k-2)\)
– —– = \(x_1 + x_2 =\) \(- ----------\)
mi da’ la relazione \(kx_1 + kx_2 = k-2\) invece il prodotto c \(1\)
—– = \(x_1 \cdot x_2 =\) \(----------\)
mi da’ la relazione \(kx_1 \cdot x_2 = 1\) Ora posso impostare il sistema
[figura: graffa.jpg]
\(x_1 + 3x_2 = 7\) \(kx_1 + kx_2 = k-2\) \(kx_1 \cdot x_2 = 1\) che per k mi da’ le soluzioni calcoli -2 –
[figura: radiceablu.jpg]
2 -2 +
[figura: radiceablu.jpg]
\(k_1 =\) —————– \(k_2 =\) —————–
calcoli
calcoli Risolvo il sistema:
[figura: graffa.jpg]
\(x_1 + 3x_2 = 7\) \(kx_1 + kx_2 = k-2\) \(kx_1 \cdot x_2 = 1\) Ricavo x\(_{_1}\) dalla prima e sostituisco nella seconda e nella terza
[figura: graffa.jpg]
\(x_1 = -3x_2 + 7\) \(k(-3x_2 + 7) + kx_2 = k-2\) \(k(-3x_2 + 7) \cdot x_2 = 1\) Eseguo i calcoli nella seconda e nella terza; al posto della prima metto una linea
[figura: graffa.jpg]
\(----------------------\) \(-3kx_2 + 7k + kx_2 - k + 2 = 0\) \(-3kx_2^2 + 7kx_2 = 1\)
[figura: graffa.jpg]
\(----------------------\) \(-2kx_2 + 6k + 2 = 0\) \(-3kx_2^2 + 7kx_2 = 1\) divido la seconda equazione per -2
[figura: graffa.jpg]
\(----------------------\) \(kx_2 - 3k - 1 = 0\) \(-3kx_2^2 + 7kx_2 = 1\) ricavo x\(_{_2}\) dalla seconda e sostituisco nella terza (conviene lasciare per ultima la k perche’ a noi interessa solo quella e la troviamo subito; non siamo interessati ai valori di x\(_{_1}\) ed x\(_{_2}\))
[figura: graffa.jpg]
\(----------------------\) \(x_2 = (3k + 1)/k\) \(-3k(3k + 1)^2/k^2 + 7k(3k + 1)/k = 1\) essendo interessato solamente ai valori di k considero solamente la terza equazione
in futuro fare link “voglio risolvere tutto il sistema”
\(-3k\) \((3k + 1)^2 -------------- k^2\) \(+ 7k\) \((3k + 1) -------------- k\) \(= 1\)
semplifico i k al numeratore e al denominatore \(-3\) \((3k + 1)^2 -------------- k\) \(+ 7 (3k + 1) = 1\)
supponendo k diverso da zero faccio il minimo comune multiplo poi tolgo i denominatori uguali \(-3(3k + 1)^2 + 7k (3k + 1) ------------------------------------ k\) \(k = ---- k\)
\(-3(3k + 1)^2 + 7k (3k + 1) = k\) eseguo i calcoli \(-3(9k^2 + 6k + 1) + 21k^2 + 7k = k\) \(-27k^2 - 18k - 3 + 21k^2 + 7k - k = 0\) \(-6k^2 - 12k - 3 = 0\) divido tutto per -3 \(2k^2 + 4k + 1 = 0\) risolvo l’equazione: applico la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (b/2)
\(\pm\) \((b/2)^2 - ac\)
\(k_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 2 b = 4 b/2 = 2 c = 1
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (2)
\(\pm\) \(2^2 - (1)(2)\)
\(k_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 4 – 2
\(k_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 2
\(k_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ ed ottengo le soluzioni
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-2 – 2
\(k_1 =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-2 + 2
\(k_2 =\)
esercizio data l’equazione \(kx^2 -kx + k + 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’ il rapporto delle radici valga 1/2 significa che \(x_1\) 1
——– = —–
\(x_2\) 2
cioe’ \(x_2 = 2x_1\) Ripeto l’avvertenza della quarta parte dell’esercizio precedente
in questo caso non e’ possibile trasformare in modo semplice la relazione in somma e prodotto delle radici, quindi e’ piu’ conveniente risolvere un sistema fra le tre equazioni seguenti:
- la relazione data
- la somma delle radici
- il prodotto delle radici
abbiamo le tre incognite x\(_{_1}\), x\(_{_2}\) e k e quindi risolvendo ne troveremo il valore (e’ sufficiente trovare il solo valore di k)
Nota: questo metodo di utilizzare un sistema di tre equazioni in tre incognite e’ applicabile ad ogni problema e potrebbe essere utilizzato come metodo generale, pero’ se guardi i calcoli vedi che sono piuttosto lunghi e complicati, quindi sara’ usato solamente quando non si potra’ fare diversamente
nel nostro caso abbiamo \(a = k b = - k c = k+2\) quindi la somma b \(- k\)
– —– = \(x_1 + x_2 =\) \(- ----------\)
mi da’ la relazione \(x_1 + x_2 = 1\) invece il prodotto c \(k + 2\)
—– = \(x_1 \cdot x_2 =\) \(----------\)
mi da’ la relazione \(kx_1x_2 = k+2\) Ora posso impostare il sistema
[figura: graffa.jpg]
\(x_2 = 2x_1\) \(x_1 + x_2 = 1\) \(kx_1x_2 = k+2\) che per k mi da’ la soluzione calcoli k = -18/7
esercizio data l’equazione \(kx^2 -kx + k + 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’ una radice sia tripla dell’altra significa che \(x_2 = 3x_1\) anche qui convenie risolvere un sistema fra le tre equazioni seguenti:
- la relazione data
- la somma delle radici
- il prodotto delle radici
nel nostro caso abbiamo \(a = k b = - k c = k+2\) quindi la somma b \(- k\)
– —– = \(x_1 + x_2 =\) \(- ----------\)
mi da’ la relazione \(x_1 + x_2 = 1\) invece il prodotto c \(k + 2\)
—– = \(x_1 \cdot x_2 =\) \(----------\)
mi da’ la relazione \(kx_1x_2 = k+2\) Ora posso impostare il sistema
[figura: graffa.jpg]
\(x_2 = 3x_1\) \(x_1 + x_2 = 1\) \(kx_1x_2 = k+2\) che per k mi da’ la soluzione calcoli k = – 32/13
esercizio data l’equazione \(kx^2 -kx + k + 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’ una radice sia uguale al reciproco dell’altra significa che 1
\(x_1 =\) —–
\(x_2\)
cioe’ \(x_1x_2 = 1\) nel nostro caso abbiamo \(a = k b = - k c = k+2\) quindi posso impostare la relazione che il prodotto vale 1 c \(k + 2\)
—– = \(x_1 \cdot x_2 =\) \(----------\) \(= 1\)
ottengo \(k + 2 = k\) \(k - k = 2\) 0 = 2 equazione impossibile quindi non esiste nessun valore di k per cui una soluzione diventa inversa dell’altra
esercizio data l’equazione \(kx^2 -kx + k + 2 = 0\) trovare il valore di k affinche’ la somma dei quadrati degli inversi delle radici valga 4 significa che 1 1
—– + —– = 4
\(x_1^2\) \(x_2^2\)
faccio il m.c.m. prima dell’uguale \(x_2^2 + x_1^2\)
—————- = 4
\(x_1^2x_2^2\)
sopra aggiungo e tolgo il doppio prodotto 2x\(_{_1}\)x\(_{_2}\) per farlo diventare un quadrato, sotto posso considerarlo come quadrato del prodotto \(x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2\)
———————————- = 4
\((x_1 x_2)^2\)
\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)
————————— = 4
\((x_1 x_2)^2\)
abbiamo \(a = k b = - k c = k+2\) quindi la somma b \(- k\)
– —– = \(x_1 + x_2 =\) \(- ----------\)
mi da’ la relazione \(x_1 + x_2 = 1\) il prodotto vale c \(k + 2\)
—– = \(x_1 \cdot x_2 =\) \(----------\)
Sostituendo ottengo \(k+2\)
\((1)^2 -\) \(2 ------------\)
\(---------------------------\) \(= 4\)
\((k+2)^2\)
\(------------\)
\(k^2\)
\(2k + 4\) \((k + 2)^2\)
\(1 -\) \(------------\) \(= 4\) \(-------------\)
k \(k^2\)
\(k -2k - 4\) \(4(k^2 + 4k + 4)\)
\(--------------\) \(=\) \(-------------------------\)
k \(k^2\)
\(-k - 4\) \(4k^2 + 16k + 16\)
\(--------------\) \(=\) \(-------------------------\)
k \(k^2\)
faccio il m.c.m. \(- k^2 - 4k\) \(4k^2 +16k + 16\)
\(------------\) \(=\) \(------------------------\)
\(k^2\) \(k^2\)
elimino i denominatori supponendo k
\(\neq\)0 \(k^2 - 4k = 4k^2 + 16k + 16\) \(-5k^2 - 20k - 16 = 0\) cambio segno \(5k^2 + 20k + 16 = 0\)calcoli ottengo le due soluzioni -10
\(\pm\) 2
[figura: radiceablu.jpg]
k = ———————
esercizi
esercizi Risolviamo l’equazione \(5k^2 + 20k + 16 = 0\) applichiamo la formula risolutiva (ridotta) dell’equazione di secondo grado
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
a = 5
\(\beta\) = b/2 = 10 c = 16 sostituisco
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– 10
\(\pm\) \((10)^2 - (5)(16)\)
\(k_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– 10
\(\pm\) 100 – 80
\(k_{1,2} =\)
ottengo -10
\(\pm\)
[figura: radiceablu.jpg]
k = ———————
siccome 20 = 2\(^{^2}\) · 5 estraggo di radice il 2 -10
\(\pm\) 2
[figura: radiceablu.jpg]
k = ———————
Semplificazione di frazioni
Semplificazione di frazioni In pratica se hai delle frazioni puoi utilizzare le equazioni di secondo grado per scomporre in fattori e poi semplificare numeratore e denominatore
In pratica usi la decomposizione del trinomio; l’unica difficolta’ puo’ venire dal come utilizzare il primo coefficiente per la scomposizione; vediamo alcuni esecizi
Scomporre, fin dove possibile, le seguenti frazioni algebriche
esercizio 1 \(6x^2 - 2x - 8 --------------------- 3x^2 + 8x - 16\) =
esercizio 2 \((6x^2 - 5x + 1)(4x^2 - 9x + 2) ---------------------------------------- (3x^2 - 7x + 2)(8x^2 - 6x + 1)\) =
esercizio 3 \(6x^2 - x3 - 6 ------------------------- 3x^2 + 4x3 - 12\) =
esercizio 4 \(6x^2 - ax - 2a^2 ------------------------ 3x^2 + 4ax - 4a^2\) =
esercizio semplificare la seguente frazione: \(6x^2 - 2x - 8 --------------------- 3x^2 + 8x - 16\) \(=\)
Per scomporre applichiamo la regola della decomposizione del trinomio Nota: quando possibile useremo sempre la formula ridotta
troviamo le radici delle equazioni
associate
ai polinomi della frazione
risolvo la prima equazione \(6x^2 - 2x - 8 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 = -1\) \(x_2 =\) \(4------3\)
quindi posso scomporre come \(6x^2 - 2x - 8 = 6 (x + 1) (x\) 4 – —– ) 3 \(= 2(x + 1) (3x - 4)\)
Da notare che nell’ultimo passaggio dal 6 iniziale ho tolto il 3 per moltiplicarlo per il secondo fattore in modo da non avere frazioni
risolvo la seconda equazione \(3x^2 + 8x - 16 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 = -4\) \(x_2 =\) \(4------3\)
quindi posso scomporre come \(3x^2 + 8x - 16 = 3 (x + 4) (x\) 4 – —– ) 3 \(= (x + 4) (3x - 4)\)
- Da notare che nell’ultimo passaggio ho moltiplicato il 3 iniziale per il secondo fattore in modo da non avere frazioni
quindi ho \(6x^2 - 2x - 8 --------------------- 3x^2 + 8x - 16\) \(2(x + 1)(3x - 4) = ------------------ = (x + 4)(3x - 4)\) 2(x + 1) ————– (x + 4)
Dato un polinomio tipo \(ax^2 + bx + c\) chiameremo equazione associata al polinomio l’espressione \(ax^2 + bx + c = 0\)
Viceversa diremo che presa l’equazione \(ax^2 + bx + c = 0\) il polinomio associato a tale equazione sara’ \(ax^2 + bx + c\)
risolvo la prima equazione \(6x^2 - 2x - 8 = 0\) applico la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 6 b = -2
\(\beta\) = – 1 c = – 8 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-1)
\(\pm\) \((-1)^2 - 6(-8)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli 1
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)49 = —————— = 6
\(\pm\) 7 = ———– = 6
adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ \(1 - 7 x_1 = ------------ = - 6\) 1
\(1+7 x_2 = ----------- = 6\) 4 ——- 3
esercizio risolvo la seconda equazione \(3x^2 + 8x - 16 = 0\) applico anche qui la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 3 b = 8
\(\beta\) = 4 c = – 16 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((4)^2 - 3(-16)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli -4
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)64 = —————— = 3
\(\pm\) 8 = ———– = 3
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(-4 + 8 x_1 ----------- = 3\) 4 ——- 3
\(-4 - 8 x_2 = ------------ = - 3\) 4
esercizio semplificare la seguente frazione: \((6x^2 - 5x + 1)(4x^2 - 9x + 2) ---------------------------------------- (3x^2 - 7x + 2)(8x^2 - 6x + 1)\)
Per scomporre applichiamo la regola della decomposizione del trinomio Nota: quando possibile useremo sempre la formula ridotta
troviamo le radici delle equazioni
associate
ai polinomi componenti
risolvo la prima equazione associata al primo polinomio al numeratore \(6x^2 - 5x + 1 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 =\) \(1------2\) \(x_2 =\) \(1------3\)
quindi posso scomporre come \(6x^2 - 5x + 1 = 6 (x -\) 1 — 2 ) (x – 1 — 3 \() = (2x - 1) (3x - 1)\)
Da notare che nell’ultimo passaggio ho diviso il 6 iniziale in 2·3 in modo da moltiplicare 2 per il primo fattore e 3 per il secondo fattore cosi’ da non avere frazioni
risolvo la seconda equazione associata al secondo polinomio al numeratore \(4x^2 - 9x + 2 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 =\) \(2\) \(x_2 =\) \(1------4\)
quindi posso scomporre come \(4x^2 - 9x + 2 = 4 (x - 2) (x -\) 1 — 4 \() = (x - 2) (4x - 1)\)
Da notare che nell’ultimo passaggio ho moltiplicato il 4 per il secondo fattore cosi’ da non avere frazioni
risolvo la terza equazione associata al primo polinomio al denominatore \(3x^2 - 7x + 2 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 =\) \(2\) \(x_2 =\) \(1------3\)
quindi posso scomporre come \(6x^2 - 5x + 1 = 6 (x - 2) (x -\) 1 — 3 \() = (x - 2) (3x - 1)\)
Da notare che nell’ultimo passaggio ho moltiplicato il 3 per il secondo fattore cosi’ da non avere frazioni
risolvo la quarta equazione associata al secondo polinomio al denominatore \(8x^2 - 6x + 1 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 =\) \(1------2\) \(x_2 =\) \(1------4\)
quindi posso scomporre come \(8x^2 - 6x + 1 = 8 (x -\) 1 — 2 ) (x – 1 — 4 \() = (2x - 1) (4x - 1)\)
Da notare che nell’ultimo passaggio ho diviso l’8 iniziale in 2·4 in modo da moltiplicare 2 per il primo fattore e 4 per il secondo fattore cosi’ da non avere frazioni
quindi ho \((6x^2 - 5x + 1)(4x^2 - 9x + 2) ---------------------------------------- (3x^2 - 7x + 2)(8x^2 - 6x + 1)\) (2x-1)(3x-1)(x-2)(4x-1) = ————————————– = (x-2)(3x-1)(2x-1)(4x-1) 1
risolvo la prima equazione \(6x^2 - 5x + 1 = 0\) applico la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 6 b = -5 c = 1 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-5)
\(\pm\) \((-5)^2 - 4(6)(1)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 -24
\(x_{1,2} =\) =
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)1 = ————- = 12
\(\pm\) 1 = ———– = 12
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(5 + 1 x_1 = ------------ = 12\) 1 —- 2
\(5 - 1 x_2 = ----------- = 12\) 1 ——- 3
risolvo la seconda equazione \(4x^2 - 9x + 2 = 0\) applico la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 4 b = -9 c = 2 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-9)
\(\pm\) \((-9)^2 - 4(4)(2)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 81 – 32
\(x_{1,2} =\) =
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)49 = ————- = 8
\(\pm\) 7 = ———– = 8
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(9 + 7 x_1 = ------------ = 8\) 2
\(9 - 7 x_2 = ----------- = 8\) 1 ——- 4
risolvo la seconda equazione \(3x^2 - 7x + 2 = 0\) applico la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 3 b = -7 c = 2 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-7)
\(\pm\) \((-7)^2 - 4(3)(2)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 49 – 24
\(x_{1,2} =\) =
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)25 = ————- = 6
\(\pm\) 5 = ———– = 6
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(7 + 5 x_1 = ------------ = 6\) 2
\(7 - 5 x_2 = ----------- = 6\) 1 ——- 3
risolvo la prima equazione \(8x^2 - 6x + 1 = 0\) applico la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 8 b = -6
\(\beta\) = – 3 c = 1 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-3)
\(\pm\) \((-3)^2 - 8(1)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9-8
\(x_{1,2} =\) =
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)1 = —————— = 8
\(\pm\) 1 = ———– = 8
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(3 + 1 x_1 = ------------ = 8\) 1 — 2
\(3 - 1 x_2 = ----------- = 8\) 1 ——- 4
esercizio semplificare la seguente frazione: \(6x^2 - x3 - 6 ------------------------- 3x^2 + 4x3 - 12\)
Per scomporre applichiamo la regola della decomposizione del trinomio Nota: quando possibile useremo sempre la formula ridotta
troviamo le radici delle equazioni
associate
ai polinomi della frazione
risolvo la prima equazione \(6x^2 - x3 - 6 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 =\) \(23 -------- 3\) \(x_2 = -\) \(3------2\)
quindi posso scomporre come \(6x^2 - x3 - 6 = 6 (x -\) 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 ——- 3 )(x +
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 —— ) 2 \(= (3x - 23) (2x + 3)\)
Da notare che nell’ultimo passaggio ho scomposto il 6 iniziale in 3·2 ed ho moltiplicato il 3 per il primo fattore ed il 2 per il secondo in modo da non avere frazioni
risolvo la seconda equazione \(3x^2 + 4x3 - 12 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 = -\) \(23 ------- 3\) \(x_2 =\) \(23\)
quindi posso scomporre come \(3x^2 + 4x3 - 12 = 3 (x -\) 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 —— ) 3 (x + 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3) \(= (3x - 23) (x + 23)\)
- Da notare che nell’ultimo passaggio ho moltiplicato il 3 iniziale per il primo fattore in modo da non avere frazioni
quindi ho \(6x^2 - x3 - 6 ------------------------------ 3x^2 + 4x3 - 12\) (3x – 23) (2x + 3) = —————————— = (3x – 23) (x + 23) 2x +
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 —————- x + 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
risolvo la prima equazione \(6x^2 - x3 - 6 = 0\) applico la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 6 b = –
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 c = – 6 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3)
\(\pm\) \((-3)^2 - 4(6)(-6)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) 3 + 144
\(x_{1,2} =\) =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)147 = ————- = 12
scompongo in fattori e poi estraggo di radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) 7
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 = ———– = 12
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(3 + 73 x_1 = ------------ = 12\) 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 —- 3
\(3 - 73 x_2 = ----------- = 12\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – ——- 2
147
49
7
1
scompongo 147 in fattori \(147 49 7 1\) \(3 7 7 1\)
\(147 = 3 \cdot 7^2\) quindi 7\(^{^2}\)puo’ uscire di radice ed abbiamo che \(147 = (3 \cdot 7^2) = 73\)
mettere link a scomposizione in fattori primi
risolvo la prima equazione \(3x^2 + 4x3 - 12 = 0\) applico la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: a = 3 b = -4
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\beta\) = – 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 c = -12 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3)
\(\pm\) \((-23)^2 - 3(-12)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) 12+36
\(x_{1,2} =\) =
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)48 = —————— = 3
scompongo in fattori e poi estraggo di radice 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
\(\pm\) 4
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 = —————– = 3
adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ \(23 - 43 x_2 = ------------------ = 3\) 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3 – ——— 3
\(23 + 43 x_1 = -------------------- = 3\) 2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)3
48
24
12
6
3
1
scompongo 48 in fattori \(48 24 12 6 3 1\) \(2 2 2 2 3 1\)
\(48 = 2^4 \cdot 3\) quindi2\(^{^4}\)puo’ uscire di radice ed abbiamo che \(48 = (2^4 \cdot 3) = 2^23 = 43\)
esercizio semplificare la seguente frazione: \(6x^2 - ax - 2a^2 ------------------------ = 3x^2 + 4ax - 4a^2\)
Per scomporre applichiamo la regola della decomposizione del trinomio Nota: quando possibile useremo sempre la formula ridotta
troviamo le radici delle equazioni
associate
ai polinomi della frazione
risolvo la prima equazione \(6x^2 - ax - 2^2 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 =\) \(2a-------3\) \(x_2 =\) \(1- ---- a2\)
quindi posso scomporre come \(6x^2 - ax - 2a^2 = 6 (x\) 2a – —– ) 3 (x + a —– ) 2 \(= (3x - 2a) (2x + a)\)
risolvo la seconda equazione \(3x^2 + 4ax - 4a^2 = 0\)calcoli ho le soluzioni \(x_1 =\) \(2a------3\) \(x_2 = - 2a\)
quindi posso scomporre come \(3x^2 + 4a^2 = 3 (x\) 2a – —– ) 3 \((x + 2a) = (3x - 2a) (x + 2a)\)
quindi ho \(6x^2 - ax - 2a^2 --------------------- 3x^2 + 4ax - 4a^2\) (3x – 2a) (2x + a) = —————— = (3x – 2a) (x + 2a) (2x + a) ————– (x + 2a)
risolvo la prima equazione \(6x^2 - ax + 2a^2 = 0\) applico la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: \(a = 6 b = -a c = -2a^2\)Attenzione a non confondere i simboli prima dell’uguale con quelli dopo l’uguale sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
–(-a)
\(\pm\) \((-a)^2 - 4(6)(-2a^2)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(a^2 + 48a^2\)
\(x_{1,2} =\) =
\(a 49a^2 = ------------- = 12\)
\(\pm\) 7a = ———– = 12
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(a + 7a x_1 = ------------ = 12\) 8a ———- 12 2 = — a 3
\(a - 7a x_2 = ----------- = 12\) – 6a —– = 12 1 – —- a 2
risolvo la seconda equazione \(3x^2 + 4ax - 4a^2 = 0\) applico la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\beta\)
\(\pm\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
abbiamo: \(a = b = 4a = 2a c = - 4a^2\)Anche qui attenzione a non confondere i simboli prima dell’uguale con quelli dopo l’uguale sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– 2a
\(\pm\) \((2a)^2 - 3(-4a^2)\)
\(x_{1,2} =\) =
eseguo i calcoli
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– 2a
\(\pm\) \(4a^2 + 12a^2\)
\(x_{1,2} =\) =
\(- 2a 4^2 = ------------------ = 3\)
– 2a
\(\pm\) 4a = ———– = 6
adesso devo prendere una volta il piu’ ed una volta il meno \(- 2a + 4a x_1 = ------------ = 3\) 2 —– a 3
\(- 2a - 4a x_2 = ----------- = 3\) – 2a
discussione di equazioni con parametro
Discussione di equazioni con parametro Se cerchi le equazioni con parametro senza discussione guarda la pagina precedente
Questo argomento era essenziale quando ero alunno io: in tutti i compiti d’esame del liceo scientifico in quel periodo c’era sempre una discussione; oggi questa parte della matematica, forse perche’ troppo tecnica, e’ ormai trascurata
- Introduzione
- Discussione di equazioni di primo grado
- Discussione di equazioni di secondo grado
- Problemi con discussionefare link a geometria cartesiana
introduzione alla discussione di equazioni con parametro
Introduzione
Come argomento e’ “trasversale”; cioe’, partendo dalle equazioni di secondo grado, puo’ essere applicato a vari problemi di diversi rami della matematica e quindi richiede conoscenze di geometria analitica, di algebra, di trigonometria. Sviluppo qui le varie applicazioni senza frammentarle nelle varie discipline; naturalmente, per alcuni argomenti, dovrai prima aver studiato la parte di teoria relativa: in cima ad ogni parte indichero’ quali sono gli argomenti da sapere (con una parolona: prerequisiti) per seguire il ragionamento
Un’ equazione con parametro e’ un’equazione in cui compare una lettera: al variare della lettera variera’ il valore delle soluzioni. La discussione di un’equazione con parametro e’ il confrontare le possibili soluzioni con uno o piu’ valori assegnati in modo da controllare per quali valori del parametro tali soluzioni sono comprese in prefissati intervalli; Questo serve quando fai un problema e le soluzioni che cerchi debbono rispettare certi limiti come ad esempio essere maggiori di un dato numero altrimenti un radicale non ti da’ soluzioni, oppure comprese in un intervallo in modo che un punto di una figura geometrica non esca dalla figura stessa, eccetera ne vedrai esempi nella discussione di un problema
discussione di equazioni di primo grado
Solitamente e’ un argomento che viene saltato: in molte scuole si passa subito alla discussione di equazioni di secondo grado Pero’ la discussione di equazioni di primo grado puo’ servire a capire meglio quella delle equazioni di secondo grado se vuoi passare subito alla discussione di equazioni di secondo grado
Ci limiteremo a confrontare la soluzione dell’equazione con un valore dato
- Metodo diretto
- Metodo grafico
discussione di equazioni di primo grado metodo diretto
Basta semplicemente confrontare la radice dell’equazione con il numero od i numeri dati Vediamolo su un semplice esempio
Discutere l’equazione \(2x + k - 1 = 0\) rispetto alla condizione x > 2 In pratica devo vedere quali valori assegnare a k affinche’ la soluzione sia maggiore di 2 trovo la soluzione 2x + k – 1 = 0 2x = 1 – k x = 1 – k ——– 2
ora pongo la soluzione maggiore di 2 1 – k ——– 2 > 2
1 – k > 4 – k > 4 – 1 – k > 3 cambio di segno e verso k < -3 quindi se prendiamo k minore di -3 avremo che la soluzione x sara’ maggiore di 2
discussione di equazioni di primo grado metodo grafico
Consideriamo la corrispondenza (fare link a significato geometrico di un sistema) fra l’equazione di primo grado \(ax+b=0\) ed il sistema
[figura: graffa.jpg]
\(y = ax + b y = 0\) questo si puo’ rappresentare graficamente come una retta che taglia l’asse delle x nel punto che corrisponde alla soluzione dell’equazione Essendo la nostra equazione con un parametro avremo che potremo rappresentare il sistema come un fascio di rette. La discussione si ridurra’ a vedere quali rette del fascio risolvono la condizione richiesta, cioe’ quali rette hanno l’intersezione con l’asse delle x a destra od a sinistra del valore dato Vediamo lo stesso esempio gia’ fatto
Discutere l’equazione \(2x + k - 1 = 0\) rispetto alla condizione x > 2 Considero la funzione y = 2x + k – 1 Questa rappresenta un fascio di rette parallele perche’ al variare di k varia il termine noto mentre il coefficiente angolare e’ fisso e vale 2 nel sistema
[figura: graffablu.jpg]
y = 2x + k – 1 y=0 sostituisco a x il valore 2 e trovo il corrispondente valore di k k = -3
[figura: retta03.jpg]
Faccio il grafico riportando le rette del fascio; disegno prima la retta passante per l’origine y=2x (basta togliere il termine noto) calcolo il suo valore di k (termine noto k-1=0 cioe’ k=1) disegno ora quella con k=-3 cioe’ la parallela passante per x=2, avra’ equazione y=2x-4 ora siccome devo prendere i valori per x > 2 cioe’ le rette che intersecano l’asse delle x a destra del punto 2 allora avro’ la soluzione k < -3 perche’ essendo k=1 per la retta passante per l’origine e k=-3 per la retta di base avro’ che procedendo verso destra il valore di k diventera’ sempre piu’ piccolo (nel senso che raggiungera’ valori negativi sempre piu’ alti)
Come vedi non e’che la discussione di un’equazione di primo grado sia troppo gratificante, anzi direi proprio il contrario potremmo far vedere cosa succede se il fascio di rette e’ proprio, cioe’ se k e’ moltiplicato per la x nell’equazione, ma in pratica non cambia granche’; lo faro’ nella seconda stesura del sito
discussione di equazioni di secondo grado
- Metodo di Tartinville
- Metodo grafico
metodo di Tartinville
Per utilizzare questo metodo e’ necessario conoscere bene gli argomenti relativi alle equazioni di secondo grado ed anche le disequazioni di secondo grado, soprattutto ripassa gli schemi sui valori interni ed esterni all’intervallo delle radici
faremo uno schema con le seguenti disequazioni relative al parametro
- imponiamo,come prima cosa, che, al variare del parametro, il discriminante dell’equazione sia maggiore di zero per la realta’ delle radici
- poniamo poi il primo coefficiente maggiore di zero, per sapere, al variare del parametro, se i valori positivi sono interni od esterni alle radici seguendo gli schemi delle disequazioni di secondo grado
- sostituiamo i valori limite x\(_{_1}\) x\(_{_2}\) x\(_{_3}\) alla x e calcolare per quali valori del parametro si ha f(x\(_{_1}\)) > 0 ; f(x\(_{_2}\)) > 0 ; f(x\(_{_3}\)) > 0 ; questo ci permettera’ di vedere se il valore limite e’ interno oppure esterno all’intervallo delle radici di solito la discussione e’ fatta rispetto a due valori assegnati x\(_{_1}\) x\(_{_2}\), ma nei problemi talvolta si potranno anche avere tre valori; il terzo valore x\(_{_3}\) verra’ chiamato limite aggiunto
calcoliamo infine al variare del parametro la semisomma
[figura: ssmnera.jpg]
delle radici, per sapere da che parte sono esterni i valori limiti x\(_{_1}\), x\(_{_2}\), x\(_{_3}\), calcoleremo
[figura: ssmnera.jpg]
– x\(_{_1}\)
[figura: ssmnera.jpg]
– x\(_{_2}\)
[figura: ssmnera.jpg]
– x\(_{_3}\)riportiamo tutti i dati (caposaldi) trovati per il parametro nei primi tre punti sulla prima linea di un grafico e sulle altre linee riportiamo tutte le disequazioni precedenti; i dati sulla semisomma sono da considerare solo se utili e non vanno riportati fra i caposaldidiscutiamo il grafico in ogni intervallo ed in ogni punto trovato: Vediamo l’applicazione del metodo su un esercizio da notare che, purtroppo, eserizi di questo genere sono sempre piuttosto lunghi
discutere al variare del parametro k l’equazione \((k-1)x^2 + 4kx + 3k = 0\) con i limiti -2 < x 4 abbiamo a = k-1 b = 4k c = 3k seguiamo lo schema
sostituiamo i valori limite alla x e poniamo maggiore di zero l’espressione che otteniamo
sostituisco 4 \(f(4) = (k-1)(4)^2 + 4k(4) + 3k > 0 (k-1)16 + 16k + 3k > 0 16k - 16 + 16k + 3k > 0 35k > 16\)k > \(16-----35\)
- sostituisco 2 \(f(-2) = (k-1)(-2)^2 + 4k(-2) + 3k > 0 (k-1)4 - 8k + 3k > 0 4k - 4 - 8k + 3k > 0 -k > 4\)k < – 4
adesso calcoliamo la semisomma delle radici
[figura: ssmnera.jpg]
[figura: ssmblu.jpg]
= -b —– 2a -4k = ——- = 2(k-1) -2k —– k-1
calcoliamo
[figura: ssmnera.jpg]
– (-2)
[figura: ssmblu.jpg]
– (-2) = -2k —– k-1 + 2 > 0
-2k + 2k – 2 ————- k-1 > 0
[figura: disequazione55.jpg]
– 2 ————- k-1 > 0
quindi
[figura: ssmrossa.jpg]
calcoliamo
[figura: ssmnera.jpg]
[figura: ssmblu.jpg]
– 4 = -2k ——- k-1 – 4 > 0
-2k – 4k + 4 —————— k-1 > 0
[figura: disequazione56.jpg]
-6k + 4 ————- k-1 > 0
Calcoli: -6k+4 > 0 6k-4 < 0 6k < 4 k < 4/6 k <2/3 quindi
[figura: ssmrossa.jpg]
- +2 > 0 per k < 1
- – 4 > 0 per 2/3 < k < 1
Ora ordino i caposaldi e faccio il grafico
Fai attenzione ad ordinare esattamente i caposaldi, io sbagliavo sempre e poi non mi tornavano i conti; basta che siano ordinati, non c’e’ bisogno di rispettare la lunghezza degli intervalli
[figura: disequazione57.jpg]
facciamo la discussione procedendo da sinistra verso destra
Se k < -4abbiamo il discriminante maggiore di zero quindi abbiamo due radici reali e distinte x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\)
[figura: disequazione60.jpg]
Il primo coefficiente e’ negativo, pertanto i valori interni fra x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) sono positivi f(-2) e’ positivo quindi -2 e’ interno alle radici f(4) e’ negativo quindi 4 e’ esterno alle radici
[figura: disequazione64.jpg]
quindi abbiamo che in mezzo ai limiti c’e’ una radice x\(_{_2}\)accettabile Se k < -4 una radice accettabile
\(Se k = -4\)abbiamo il discriminante maggiore di zero quindi abbiamo due radici reali e distinte x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\)
[figura: disequazione60.jpg]
Il primo coefficiente e’ negativo, pertanto i valori interni fra x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) sono positivi f(-2) e’ nullo quindi -2 coincide con una delle radici; essendo la semisomma positiva coincidera’ con la radice minore x\(_{_1}\) \(la semisomma e' sempre a meta' tra x_1 ed x_2, quindi se semisomma-valore e' positivo allora il valore si trova a sinistra, mentre se e' negativa allora il valore sara' a destra\) f(4) e’ negativo quindi 4 e’ esterno alle radici
[figura: disequazione58.jpg]
quindi abbiamo una radice coincidente col valore limite; \(questa soluzione sarebbe accettabile se avessimo la condizione maggiore od uguale , mentre avendo solo maggiore la soluzione x_1 non e' accettabile\) La soluzione x\(_{_2}\)e’ invece accettabile perche’ compresa fra -2 e 4 Se k = -4 una radice accettabile
Se -4 < k < -3abbiamo il discriminante maggiore di zero quindi abbiamo due radici reali e distinte x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\)
[figura: disequazione60.jpg]
Il primo coefficiente e’ negativo, pertanto i valori interni fra x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) sono positivi f(-2) e’ negativo quindi -2 e’ esterno alle radici ed essendo la semisomma positiva sara’ esterno a sinistra f(4) e’ negativo quindi 4 e’ esterno alle radici ed essendo la semisomma negativa sara’ esterno a destra
[figura: disequazione59.jpg]
quindi abbiamo che in mezzo ai limiti ci sono entrabe le radici e sono accettabili Se -4 < k < -3 due radici accettabili
\(Se k = -3\)abbiamo il discriminante e’ uguale a zero quindi abbiamo due radici reali e coincidenti x\(_{_1}\) = x\(_{_2}\)
[figura: disequazione61.jpg]
Il primo coefficiente e’ negativo, pertanto i valori esterni alle radici sono negativi f(-2) e’ negativo quindi -2 e’ esterno alle radici e, essendo la semisomma meno il limite positiva, sara’ esterno a sinistra f(4) e’ negativo quindi 4 e’ esterno alle radici ed, essendo la semisomma meno il limite negativa, sara’ esterno a destra
[figura: disequazione62.jpg]
quindi abbiamo che in mezzo ai limiti ci sono entrambe le radici che sono coincidenti ed accettabili Se k = -3 due radici coincidenti accettabili
Se -3 < k < 0abbiamo il discriminante minore di zero quindi nessuna soluzione reale Se -3 < k < 0 nessuna soluzione
\(Se k = 0\)abbiamo il discriminante e’ uguale a zeroquindi abbiamo due radici reali e coincidenti x\(_{_1}\) = x\(_{_2}\)
[figura: disequazione61.jpg]
Il primo coefficiente e’ negativo, pertanto i valori esterni alle radici sono negativi f(-2) e’ negativo quindi -2 e’ esterno alle radici e, essendo la semisomma meno il limite positiva, sara’ esterno a sinistra f(4) e’ negativo quindi 4 e’ esterno alle radici ed essendo la semisomma negativa sara’ esterno a destra
[figura: disequazione62.jpg]
quindi abbiamo che in mezzo ai limiti ci sono entrambe le radici che sono coincidenti ed accettabili Se k = 0 due radici coincidenti accettabili
Se 0 < k < 16/35abbiamo il discriminante maggiore di zero quindi abbiamo due radici reali e distinte x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\)
[figura: disequazione60.jpg]
Il primo coefficiente e’ negativo, pertanto i valori interni fra x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) sono positivi f(-2) e’ negativo quindi -2 e’ esterno alle radici ed essendo la semisomma meno il limite positiva sara’ esterno a sinistra f(4) e’ negativo quindi 4 e’ esterno alle radici ed essendo la semisomma meno il limite negativa sara’ esterno a destra
[figura: disequazione59.jpg]
quindi abbiamo che in mezzo ai limiti ci sono entrambe le radici e sono accettabili Se 0 < k < 16/35 due radici accettabili
\(Se k = 16/35\)abbiamo il discriminante maggiore di zero quindi abbiamo due radici reali e distinte x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\)
[figura: disequazione60.jpg]
Il primo coefficiente e’ negativo, pertanto i valori interni fra x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) sono positivi f(-2) e’ negativo quindi -2 e’ esterno all’intervallo delle radici f(4) e’ nullo quindi 4 coincide con una delle radici; essendo la semisomma negativa coincidera’ con la radice maggiore x\(_{_2}\)
[figura: disequazione63.jpg]
quindi abbiamo una radice coincidente col valore limite; questa soluzione e’ accettabile perche’ abbaimo la condizione minore od uguale a 4 La soluzione x\(_{_1}\)e’ anch’essa accettabile perche’ compresa fra -2 e 4 Se k = 16/35 due soluzioni accettabili di cui una limite
Se 16/35 < k < 1abbiamo il discriminante maggiore di zero quindi abbiamo due radici reali e distinte x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\)
[figura: disequazione60.jpg]
Il primo coefficiente e’ negativo, pertanto i valori interni fra x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) sono positivi f(-2) e’ negativo quindi -2 e’ esterno alle radici f(4) e’ positivo quindi 4 e’ interno alle radici
[figura: disequazione65.jpg]
quindi abbiamo che in mezzo ai limiti c’e’ solamente la radice x\(_{_1}\) Se 16/35 < k < 1 una radice accettabile
\(Se k = 1\) abbiamo l’equazione, annullandosi il primo coefficiente diventa di primo grado in tal caso andiamo a calcolare direttamente: sostituiamo a k il valore 1 nell’equazione di partenza ed otteniamo \((k-1)x^2 + 4kx + 3k = 0 (1-1)^2 + 4(1)x +3(1) = 0 4x + 3 = 0 x = -3/4\) essendo il valore -3/4 compreso fra -2 e 4 la soluzione e’ acettabile Se k = 1 esiste una sola radice ed e'accettabile
Se k > 1abbiamo il discriminante maggiore di zero quindi abbiamo due radici reali e distinte x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\)
[figura: disequazione60.jpg]
Il primo coefficiente e’ positivo, pertanto i valori interni fra x\(_{_1}\) e x\(_{_2}\) sono negativi f(-2) e’ negativo quindi -2 e’ interno alle radici f(4) e’ positivo quindi 4 e’ esterno alle radici
[figura: disequazione64.jpg]
quindi abbiamo che in mezzo ai limiti c’e’ solamente la radice x\(_{_2}\) Se k > 1 una radice accettabile
- poniamo il discriminante dell’equazione maggiore di zero per la realta’ delle radici \(b^2 - 4ac > 0 (4k)^2 - 4(k-1)(3k) > 0 nota 16k^2 - 12k^2 + 12k > 0 4k^2 + 12k > 0 k^2 + 3k > 0\) l’equazione associata k\(^{^2}\) +3k = 0 ha soluzioni k = 0 k = -3 quindi la disequazione e’ verificata per valori esterni cioe’ k < -3 U k > 0
- poniamo il primo coefficiente maggiore di zero k-1 > 0 se k >1
- Ho indicato con una linea gli intervalli in cui le disequazioni sono verificate.
Non e’ finita: adesso devo raccogliere i risultati Due soluzioni per – 4 < k -3 U 0 k 16/35 Una soluzione per k – 4 U k > 16/35 U sta per unione, cioe’ e’ valido sia il primo intervallo che il secondo
E’ possibile usare per il discriminante la formula ridotta \((b/2)^2 - ac > 0\) In questo modo i calcoli risultano facilitati \((2k)^2 - (k-1)(3k) > 0 4k^2 - 3k^2 +3k > 0 k^2 +3k > 0\) l’equazione associata k\(^{^2}\) +3k = 0 ha soluzioni k = 0 k = -3 quindi la disequazione e’ verificata per valori esterni cioe’ k < -3 U k > 0
nel raccogliere i risultati e’ facile sbagliarsi: procedi in questo modo scrivi tutti i risultati che ti danno 2 soluzioni 2 soluzioni -4 < k < -3 k = -3 k = 0 0 < k < 16/35 k = 16/35
adesso “attacca” fra loro le soluzioni possibili: cioe’ – 4 < k -3 U 0 k 16/35 Adesso scrivi i risultati che ti danno una sola soluzione 1 soluzione k < -4 k = -4 16/35 < k < 1 k = 1 k > 1
adesso “appiccica” fra loro le soluzioni possibili: cioe’ k – 4 U k > 16/35
discussione con metodo grafico
discussione con metodo grafico Qui devi essere abbastanza “esperto” di geometria cartesiana: il problema si puo’ scomporre di solito nell’intersezione o fra una retta ed una parabola, oppure fra due parabole, od anche, soprattutto nei problemi trigonometrici nell’intersezione fra una retta ed una circonferenza: una delle due, possibilmente la retta, variera’ al variare del parametro k, intersecando l’altra curva in uno, nessuno o due punti.Queste intersezioni nelle parti di figura comprese nei limiti, forniranno le soluzioni Per ora ci limiteremo ad un semplice esempio, rimandando alla seconda stesura del sito lo studio dei vari casi possibili
discutere al variare del parametro k l’equazione \(x^2 - 3x + 2k - 1 = 0\) con i limiti -2 < x 4 qui siamo abbastanza liberi: dobbiamo trasportare dopo l’uguale una parte dell’equazione in modo da avere l’uguaglianza fra due curve note di cui una fissa (cioe’ una senza il parametro) i punti comuni alle due curve nei limiti richiesti saranno le soluzioni cercate
potrei prendere \(x^2 - 3x - 1 = - 2k\) la parabola fissa y = x\(^{^2}\) -3x -1 con la retta variabile y= – 2k \(x^2 - 3x = 1 - 2k\) la parabola fissa y = x\(^{^2}\) – 3x con la retta variabile y= 1 – 2k \(x^2 = 3x + 1 - 2k\) la parabola fissa y = x\(^{^2}\) con la retta variabile y = 3x + 1 – 2k \(x^2 + 2k = 3x + 1\) la parabola variabile y = x\(^{^2}\) + 2k con la retta fissa y = 3x + 1 \(x^2 + 2k -1 = 3x\) la parabola variabile y = x\(^{^2}\) + 2k – 1 con la retta fissa y = 3x \(x^2 - 3x + 2k = 1\) la parabola variabile y = x\(^{^2}\) – 3x + 2k con la retta fissa y = 1
Prendiamo quella che ci sembra piu’ semplice
[figura: problema08.jpg]
\(x^2 = 3x + 1 - 2k\) la parabola fissa y = x\(^{^2}\) con la retta variabile y = 3x + 1 – 2k
[figura: graffablu.jpg]
\(y = x^2 y = 3x + 1 - 2k\) Disegniamo la curva \(y = x^2\): e’ una parabola con il vertice nell’origine e prendiamone solo la parte che ci interessa, cioe’ per -2 < x
\(\leq\) 4 Troviamo i valori al limite sostituendo nella x della parabola i valori limite: otteniamo i punti A(-2,4) B(4,16)
[figura: problema09.jpg]
adesso prendiamo la retta y = 3x + 1 – 2k; notiamo che varia solamente il termine noto; quindi l’equazione rappresenta un fascio di rette parallele. Cominciamo col disegnare la retta del fascio che passa per l’origine y = 3x e mettiamola nel grafico; ad essa corrisponde il valore di k : (termine noto = 0) 1 – 2k = 0 k = 1/2 non sarebbe necessario fare il passaggio per l’origine ma ti puo’ aiutare a capire meglio il problema: adesso devi pensare di spostare la retta parallelamente a se’ stessa in modo che passi per il punto A, per il punto B e per il punto di tangenza e contare quante sono le intersezioni con l’arco di parabola nella prossima figura prendo solo le rette necessarie Facciamo il passaggio per il punto A(-2,4) e troviamo il valore di k: basta sostituire nella retta ad x il valore -2 e ad y il valore 4 4 = 3(-2) + 1 – 2k 4 = -5 – 2k 2k = – 9 k= – 9/2 Facciamo il passaggio per il punto B(4,16) e troviamo il valore di k: basta sostituire nella retta ad x il valore 4 e ad y il valore 16 16 = 3(4) + 1 – 2k 16 = 13 – 2k 2k = -3 k= – 3/2
[figura: problema10.jpg]
Troviamo ora il valore di k quando la retta e’ tangente: bastera’ risolvere il sistema tra la retta e la parabola (cioe’ prendere l’equazione iniziale) e porre il discriminante uguale a zero \(x^2 - 3x + 2k - 1 = 0 a = 1 b = -3 c = 2k -1 b^2 - 4ac = 0 (-3)^2 - 4(1)(2k-1) = 0 9 - 8k + 4 = 0 -8k = -13 k = 13/8\) quindi abbiamo Una soluzione per – 9/2 < k < – 3/2 Due soluzioni per \(-3/2 k 13/8\)Per i segni di minore e di minore uguale, siccome abbiamo -2 < x
\(\leq\) 4 il punto B e’ da considerare valido per la soluzione, mentre il punto A non da’ soluzioni
Significa che devo prendere l’equazione della parabola \(y = x^2\) e mettere al posto di x i valori limite e quindi trovare la y Sostituisco x = -2 \(y = (-2)^2 y = 4\) ottengo il punto \(A(-2,4)\) Sostituisco x = 4 \(y = (4)^2 y = 16\) ottengo il punto \(B(4,16)\) Considero solo l’arco di parabola compreso fra A e B