In questa pagina trovi 3 esercizi svolti di studio di funzione trigonometrica, con tutti i passaggi passo per passo: dominio, simmetrie, limiti, derivata prima e seconda, grafico. Gli esercizi coprono le funzioni fondamentali $f(x) = \sin(x)$, $f(x) = \tan(x)$ e la funzione composta $f(x) = \sin(x)\cdot e^x$ (livello universitario).
Per ogni funzione seguiamo il metodo standard di studio:
- Dominio
- Simmetrie e periodicità
- Intersezioni con gli assi
- Limiti agli estremi del dominio e asintoti
- Studio della derivata prima (massimi, minimi, monotonia)
- Derivata seconda e flessi
- Grafico qualitativo
Se non conosci ancora il metodo generale, leggi la nostra guida: Studio di funzione: esercizi svolti.
Esercizio 1 — $f(x) = \sin(x)$
Dominio
La funzione $f(x) = \sin(x)$ è definita su tutto $\mathbb{R}$:
$$\mathcal{D} = \mathbb{R}$$
Simmetrie e periodicità
$$f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)$$
La funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all’origine $O$. Il periodo è $T = 2\pi$.
Intersezioni con gli assi
Asse $y$: $f(0) = \sin(0) = 0$ — il grafico passa per l’origine.
Asse $x$: $\sin(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Limiti e asintoti
$\lim_{x\to\pm\infty}\sin(x)$ non esiste (oscillazione indefinita tra $-1$ e $1$). Nessun asintoto.
Derivata prima
$$f'(x) = \cos(x)$$
Il segno di $f'$ dipende da $\cos(x)$:
| Intervallo | $f'(x)$ | $f(x)$ |
|---|---|---|
| $\left(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)$ | $> 0$ | crescente |
| $\left(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right)$ | $< 0$ | decrescente |
- Massimi locali in $x = \tfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, con $f = 1$.
- Minimi locali in $x = -\tfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, con $f = -1$.
Derivata seconda
$$f''(x) = -\sin(x)$$
Flessi in $x = k\pi$ (cambio di concavità). Concava dove $\sin(x) > 0$, convessa dove $\sin(x) < 0$.
Grafico qualitativo
Curva sinusoidale periodica di periodo $T = 2\pi$, oscillante tra $-1$ e $1$, zeri in $x = k\pi$, massimi in $x = \tfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ e minimi in $x = -\tfrac{\pi}{2} + 2k\pi$.
Esercizio 2 — $f(x) = \tan(x)$
Dominio
$\tan(x) = \tfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ non è definita dove $\cos(x) = 0$:
$$\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$$
Simmetrie e periodicità
$$f(-x) = \tan(-x) = -\tan(x) = -f(x)$$
Funzione dispari. Il periodo è $T = \pi$.
Intersezioni con gli assi
Asse $y$: $f(0) = \tan(0) = 0$.
Asse $x$: $\tan(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Limiti e asintoti verticali
$$\lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} \tan(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} \tan(x) = -\infty$$
Asintoti verticali in $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ per ogni $k \in \mathbb{Z}$.
Derivata prima
$$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x) > 0 \quad \forall\, x \in \mathcal{D}$$
La funzione è strettamente crescente su ogni ramo. Non esistono massimi né minimi locali.
Derivata seconda
$$f''(x) = \frac{2\sin(x)}{\cos^3(x)}$$
Flessi in $x = k\pi$ (dove $f(k\pi) = 0$ e $f'' = 0$ con cambio di segno).
Grafico qualitativo
Periodica di periodo $T = \pi$, strettamente crescente su ogni intervallo $\left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$, con asintoti verticali ai bordi e flessi in $(k\pi,\;0)$.
Esercizio 3 — $f(x) = \sin(x) \cdot e^x$ (livello universitario)
Dominio
Entrambi i fattori sono definiti su tutto $\mathbb{R}$:
$$\mathcal{D} = \mathbb{R}$$
Simmetrie
$$f(-x) = \sin(-x) \cdot e^{-x} = -\sin(x) \cdot e^{-x} \neq \pm f(x)$$
Né pari né dispari: nessuna simmetria.
Intersezioni con gli assi
Asse $x$: $\sin(x) \cdot e^x = 0 \;\Rightarrow\; \sin(x) = 0$ (poiché $e^x > 0$ sempre) $\;\Rightarrow\; x = k\pi$.
Asse $y$: $f(0) = \sin(0) \cdot e^0 = 0$.
Limiti e asintoti
- $x \to -\infty$: $e^x \to 0$ domina sull’oscillazione del seno $\;\Rightarrow\; f(x) \to 0$. Asintoto orizzontale $y = 0$.
- $x \to +\infty$: $e^x \to +\infty$, oscillazione di ampiezza divergente → limite non esiste.
Derivata prima
Regola del prodotto:
$$f'(x) = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x = e^x\bigl(\cos x + \sin x\bigr)$$
Poiché $e^x > 0$, il segno di $f'$ dipende da $\cos x + \sin x$:
$$\cos x + \sin x = 0 \;\Leftrightarrow\; \tan x = -1 \;\Leftrightarrow\; x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$$
- Massimi locali in $x = \tfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$, con $f = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\,e^{3\pi/4}$.
- Minimi locali in $x = -\tfrac{\pi}{4} + 2k\pi$, con $f = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-\pi/4}$.
Derivata seconda
$$f''(x) = e^x(\cos x + \sin x) + e^x(-\sin x + \cos x) = 2e^x \cos x$$
Flessi dove $\cos x = 0$: $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$.
Grafico qualitativo
Oscillazione con ampiezza crescente verso $+\infty$ e decrescente verso $0$ per $x \to -\infty$. Le curve inviluppo sono $y = e^x$ e $y = -e^x$. Gli zeri coincidono con quelli di $\sin(x)$: $x = k\pi$.