sistemi di primo grado di n equazioni in n incognite
Sistemi lineari (di 1° grado) di n equazioni in n incognite
Oramai e’ solo una generalizzazione parlare di sistemi lineari (cioe’ di primo grado) di n equazioni in n incognite: ripetiamo in pratica i risultati ottenuti per la soluzione di un sistema di primo grado di 3 equazioni in 3 incognite
Distinguiamo i casi
- Sistema lineare non omogeneo
- Sistema lineare omogeneo
- Sistema lineare con parametro
Se vui vedere un’interessante rappresentazione di un sistema di n equazioni in n incognite vai in fondo a questa pagina
sistema lineare non omogeneo
Sistema lineare non omogeneo Per risolvere un sistema lineare non omogeneo di n equazioni di primo grado in n incognite dobbiamo:
Controllare la matrice completa ed incompleta e vedere se il loro rango vale n: se vale n allora posso usare Cramer per trovare la soluzione Se i ranghi sono diversi il sistema non ammette soluzioni Se i ranghi sono uguali ad un numero s inferiore a n allora devo scegliere le equazioni corrispondenti al determinante il cui valore sia diverso da zero e considerare solo un numero di incognite uguale al numero di equazioni considerate spostando le altre incognite dopo l’uguale trattandole come fossero parametri e risolvere il sistema che ottengo con il metodo di Cramer (o di sostituzione). Otterro’ un numero \(oo^{n-s}\) di soluzioni
\(Nota: fino a 4 incognite useremo le lettere x, y, z, t mentre invece da 5 incognite in avanti useremo x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7,...\)
Vediamo un paio di esercizi:
risolvere il sistema:
y + z – t = 1 x – 2y + t = 1 3x + 2y – z – t = 0 x – z = – 2
risolvere il sistema:
\(x_1 + x_2 = 2 x_2 + x_3 = 3 x_3 + x_4 = 0 x_4 + x_5 = 3 -x_1 + x_5 = 2\)
risolvere il sistema:
\(x + y = 2 y + z = 3 x - z = -1 y + t = 2\)
risolvere il sistema:
y + z – t = 1 x – 2y + t = 1 3x + 2y – z – t = 0 x – z = – 2 Considero le matrici incompleta e completa
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
\(0 1 1 -1 1 1 -2 0 1 1 3 2 -1 -1 0 1 0 -1 0 -2\)
Matrice incompleta Matrice completa
Calcolo il determinante della matrice incompleta e vedo che vale:
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
\(= - 3\)Calcoli
essendo questo determinante anche un minore della matrice completa avro’ che matrice completa ed incompleta hanno lo stesso rango e quindi il sistema ammette una sola soluzione e posso applicare il metodo di Cramer
Calcolo la x
\(1 1 1 -1 1 -2 0 1 0 2 -1 -1 -2 0 -1 0\)
\(x = ----------------------------- =\)
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
Calcoli \(- 3 = ----- = 1- 3\)
Calcolo la y
\(0 1 1 -1 1 1 0 1 3 0 -1 -1 1 -2 -1 0\)
\(y = ----------------------------- =\)
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
Calcoli \(- 6 = ----- = 2- 3\)
Calcolo la z
\(0 1 1 -1 1 -2 1 1 3 2 0 -1 1 0 -2 0\)
\(z = ----------------------------- =\)
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
Calcoli \(- 9 = ----- = 3- 3\)
Calcolo la t
\(0 1 1 1 1 -2 0 1 3 2 -1 0 1 0 -1 -2\)
\(t = ----------------------------- =\)
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
Calcoli \(- 12 = ----- = 4- 3\)
quindi ho le soluzioni
x = 1 y = 2 z = 3 t = 4
Devo calcolare il valore del determinante:
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
Mi conviene sviluppare secondo l’ultima riga perche’ ho solo due termini diversi da zero La evidenzio in blu il primo termine della riga ha posto a\(_{_{4,1}}\) cioe’ quarta riga e prima colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno il terzo termine della riga ha posto a\(_{_{4,3}}\) cioe’ quarta riga e terza colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno Dove c’e’ zero non devo sviluppare perche’ zero per numero uguale zero
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
= -1·
\(1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1\)
– (-1) ·
\(0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1\)
\(=\)
devo calcolare i due determinanti dopo l’uguale:
Calcolo il primo:
\(1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1
1 1 -2 0 2 -1
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
11-1 -2 01 2 -1 -1
1 1 -2 0 2-1 = 1·0·(-1) + 1·1·2 + (-1)·(-2)·(-1) = 2 – 2 = 0
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 1 -1 -2 01 2-1-1
11 -2 0 2 -1 = (-1)·0·2 + 1·1·(-1) + 1·(-2)·(-1) = – 1 + 2 = 1
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del primo determinante
\(1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1\)
\(= 0 - 1 = -1\)
Calcolo il secondo determinante
\(0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1
0 1 1 -2 3 2
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
01-1 1 -21 3 2 -1
0 1 1 -2 32 = 0·(-2)·(-1) + 1·1·3 + (-1)·1·2 = 3 – 2 = 1
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
0 1 -1 1 -21 32-1
01 1 -2 3 2 = (-1)·(-2)·3 + 0·1·2 + 1·1·(-1) = 6 – 1 = 5
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del secondo determinante
\(0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1\)
\(= 1 - 5 = - 4\)
ed ottengo quindi
\(0 1 1 -1 1 -2 0 1 3 2 -1 -1 1 0 -1 0\)
= -1·
\(1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1\)
– (-1) ·
\(0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1\)
\(=\)
= – 1·(-1) – (-1)·(-4) = 1 – 4 = -3
Quello al denominatore l’ho gia’ calcolato e vale -3 Devo calcolare il valore del determinante al numeratore:
\(1 1 1 -1 1 -2 0 1 0 2 -1 -1 -2 0 -1 0\)
Anche qui i conviene sviluppare secondo l’ultima riga perche’ ho solo due termini diversi da zero La evidenzio in blu il primo termine della riga ha posto a\(_{_{4,1}}\) cioe’ quarta riga e prima colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno il terzo termine della riga ha posto a\(_{_{4,3}}\) cioe’ quarta riga e terza colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno Dove c’e’ zero non devo sviluppare perche’ zero per numero uguale zero
\(1 1 1 -1 1 -2 0 1 0 2 -1 -1 -2 0 -1 0\)
= -(-2)·
\(1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1\)
– (-1) ·
\(1 1 -1 1 -2 1 0 2 -1\)
\(=\)
devo calcolare i due determinanti dopo l’uguale:
Calcolo il primo:
\(1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1
1 1 -2 0 2 -1
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
11-1 -2 01 2 -1 -1
1 1 -2 0 2-1 = 1·0·(-1) + 1·1·2 + (-1)·(-2)·(-1) = 2 – 2 = 0
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 1 -1 -2 01 2-1-1
11 -2 0 2 -1 = (-1)·0·2 + 1·1·(-1) + 1·(-2)·(-1) = – 1 + 2 = 1
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del primo determinante
\(1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1\)
\(= 0 - 1 = -1\)
Calcolo il secondo determinante
\(1 1 -1 1 -2 1 0 2 -1\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 1 -1 1 -2 1 0 2 -1
1 -1 1 -2 0 2
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
11-1 1 -21 0 2 -1
1 1 1 -2 02 = 1·(-2)·(-1) + 1·1·0 + (-1)·1·2 = 2 – 2 = 0
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 1 -1 1 -21 02-1
11 1 -2 0 2 = (-1)·(-2)·0 + 1·1·2 + 1·1·(-1) = 2 – 1 = 1
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del secondo determinante
\(1 1 -1 1 -2 1 0 2 -1\)
\(= 0 - 1 = - 1\)
ed ottengo quindi
\(1 1 1 -1 1 -2 0 1 0 2 -1 -1 -2 0 -1 0\)
= -(-2)·
\(1 1 -1 -2 0 1 2 -1 -1\)
– (-1) ·
\(1 1 -1 1 -2 1 0 2 -1\)
\(=\)
= -(-2)·(-1) -(-1)·(-1) = -2 – 1 = – 3
Quello al denominatore l’ho gia’ calcolato e vale -3 Devo calcolare il valore del determinante al numeratore:
\(0 1 1 -1 1 1 0 1 3 0 -1 -1 1 -2 -1 0\)
Qui sviluppiamo secondo la prima riga; la evidenzio in blu Il primo termine e’ nullo il secondo termine della riga ha posto a\(_{_{1,2}}\) cioe’ prima riga e seconda colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno il terzo termine della riga ha posto a\(_{_{1,3}}\) cioe’ prima riga e terza colonna quindi e’ di posto pari e quindi mantiene il suo segno il quarto termine della riga ha posto a\(_{_{1,4}}\) cioe’ prima riga e quarta colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno Dove c’e’ zero non devo sviluppare perche’ zero per numero uguale zero
\(0 1 1 -1 1 1 0 1 3 0 -1 -1 1 -2 -1 0\)
= -1·
\(1 0 1 3 -1 -1 1 -1 0\)
+1 ·
\(1 1 1 3 0 -1 1 -2 0\)
– (-1)·
\(1 1 0 3 0 -1 1 -2 -1\)
\(=\)
devo calcolare i tre determinanti dopo l’uguale:
Calcolo il primo:
\(1 0 1 3 -1 -1 1 -1 0\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 0 1 3 -1 -1 1 -1 0
1 0 3 -1 1 -1
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
101 3 -1-1 1 -1 0
1 0 3 -1 1-1 = 1·(-1)·0 + 0·(-1)·1 + 1·3·(-1) = -3
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 0 1 3 -1-1 1-10
10 3 -1 1 -1 = 1·(-1)·1 + 1·(-1)·(-1) + 0·3·0 = – 1 + 1 = 0
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del primo determinante
\(1 0 1 3 -1 -1 1 -1 0\)
\(= -3 - 0 = -3\)
Calcolo il secondo determinante
\(1 1 1 3 0 -1 1 -2 0\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 1 1 3 0 -1 1 -2 0
1 1 3 0 1 -2
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
111 3 0-1 1 -2 0
1 1 3 0 1-2 = 1·0·0 + 1·(-1)·1 + 1·3·(-2) = -1 – 6 = -7
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 1 1 3 0-1 1-20
11 3 0 1 -2 = 1·0·1 + 1·(-1)·(-2) + 1·3·0 = 2
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del secondo determinante
\(1 1 1 3 0 -1 1 -2 0\)
\(= -7 - 2 = -9\)
Calcolo il terzo determinante
\(1 1 0 3 0 -1 1 -2 -1\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 1 0 3 0 -1 1 -2 -1
1 1 3 0 1 -2
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
110 3 0-1 1 -2 -1
1 1 3 0 1-2 = 1·0·(-1) + 1·(-1)·1 + 0·3·(-2) = – 1
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 1 0 3 0-1 1-2-1
11 3 0 1 -2 = 0·0·1 + 1·(-1)·(-2) + 1·3·(-1) = 2 – 3 = -1
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del terzo determinante
\(1 1 0 3 0 -1 1 -2 -1\)
\(= -1 - (-1) = 0\)
ed ottengo quindi
\(0 1 1 -1 1 1 0 1 3 0 -1 -1 1 -2 -1 0\)
= -1·(-3) + 1·(-9) – (-1)·0 = 3 – 9 = -6
Quello al denominatore l’ho gia’ calcolato e vale -3 Devo calcolare il valore del determinante al numeratore:
\(0 1 1 -1 1 -2 1 1 3 2 0 -1 1 0 -2 0\)
Anche qui i conviene sviluppare secondo l’ultima riga perche’ ho solo due termini diversi da zero La evidenzio in blu il primo termine della riga ha posto a\(_{_{4,1}}\) cioe’ quarta riga e prima colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno il terzo termine della riga ha posto a\(_{_{4,3}}\) cioe’ quarta riga e terza colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno Dove c’e’ zero non devo sviluppare perche’ zero per numero uguale zero
\(0 1 1 -1 1 -2 1 1 3 2 0 -1 1 0 -2 0\)
= -(1)·
\(1 1 -1 -2 1 1 2 0 -1\)
– (-2) ·
\(0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1\)
\(=\)
devo calcolare i due determinanti dopo l’uguale:
Calcolo il primo:
\(1 1 -1 -2 1 1 2 0 -1\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 1 -1 -2 1 1 2 0 -1
1 1 -2 1 2 0
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
11-1 -2 11 2 0 -1
1 1 -2 1 20 = 1·1·(-1) + 1·1·2 + (-1)·(-2)·0 = -1 + 2 = 1
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 1 -1 -2 11 20-1
11 -2 1 2 0 = (-1)·1·2 + 1·1·0 + 1·(-2)·(-1) = -2 + 2 = 0
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del primo determinante
\(1 1 -1 -2 1 1 2 0 -1\)
\(= 1 - 0 = 1\)
Calcolo il secondo determinante
\(0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1
0 -1 1 -2 3 2
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
01-1 1 -21 3 2 -1
0 1 1 -2 32 = 0·(-2)·(-1) + 1·1·3 + (-1)·1·2 = 3 – 2 = 1
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
0 1 -1 1 -21 32-1
01 1 -2 3 2 = (-1)·(-2)·3 + 0·1·2 + 1·1·(-1) = 6 – 1 = 5
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del secondo determinante
\(0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1\)
\(= 1 - 5 = - 4\)
ed ottengo quindi
\(0 1 1 -1 1 -2 1 1 3 2 0 -1 1 0 -1 0\)
= -(1)·
\(1 1 -1 -2 1 1 2 0 -1\)
– (-2) ·
\(0 1 -1 1 -2 1 3 2 -1\)
\(=\)
= -(1)·(1) -(-2)·(-4) = -1 – 8 = – 9
Quello al denominatore l’ho gia’ calcolato e vale -3 Devo calcolare il valore del determinante al numeratore:
\(0 1 1 1 1 -2 0 1 3 2 -1 0 1 0 -1 -2\)
Qui sviluppiamo secondo la prima riga; la evidenzio in blu Il primo termine e’ nullo il secondo termine della riga ha posto a\(_{_{1,2}}\) cioe’ prima riga e seconda colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno il terzo termine della riga ha posto a\(_{_{1,3}}\) cioe’ prima riga e terza colonna quindi e’ di posto pari e quindi mantiene il suo segno il quarto termine della riga ha posto a\(_{_{1,4}}\) cioe’ prima riga e quarta colonna quindi e’ di posto dispari e quindi va cambiato di segno Dove c’e’ zero non devo sviluppare perche’ zero per numero uguale zero
\(0 1 1 1 1 -2 0 1 3 2 -1 0 1 0 -1 -2\)
= -1·
\(1 0 1 3 -1 0 1 -1 -2\)
+1 ·
\(1 -2 1 3 2 0 1 0 -2\)
– 1·
\(1 -2 0 3 2 -1 1 0 -1\)
\(=\)
devo calcolare i tre determinanti dopo l’uguale:
Calcolo il primo:
\(1 0 1 3 -1 0 1 -1 -2\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 0 1 3 -1 0 1 -1 -2
1 0 3 -1 1 -1
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
101 3 -10 1 -1 -2
1 0 3 -1 1-1 = 1·(-1)·(-2) + 0·0·1 + 1·3·(-1) = 2 – 3 = -1
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 0 1 3 -10 1-1-2
10 3 -1 1 -1 = 1·(-1)·1 + 1·0·(-1) + 0·3·(-2) = – 1
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del primo determinante
\(1 0 1 3 -1 0 1 -1 -2\)
\(= -1 - (-1) = 0\)
Calcolo il secondo determinante
\(1 -2 1 3 2 0 1 0 -2\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 -2 1 3 2 0 1 0 -2
1 -2 3 2 1 0
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
1-21 3 20 1 0 -2
1 -2 3 2 10 = 1·2·(-2) + (-2)·0·1 + 1·3·0 = -4
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 -2 1 3 20 10-2
1-2 3 2 1 0 = 1·2·1 + 1·0·0 + (-2)·3·(-2) = 2 + 12 = 14
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del secondo determinante
\(1 -2 1 3 2 -1 1 0 0\)
\(= -4 - 14 = - 18\)
Calcolo il terzo determinante
\(1 -2 0 3 2 -1 1 0 -1\)
Applichiamo la regola di Sarrus riportando la prima e la seconda colonna
1 -2 0 3 2 -1 1 0 -1
1 -2 3 2 1 0
Moltiplico prima gli elementi della diagonale principale e delle due diagonali parallele
1-20 3 2-1 1 0 -1
1 -2 3 2 10 = 1·2·(-1) + (-2)·(-1)·1 + 0·3·0 = – 2 + 2 = 0
Moltiplico poi gli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali parallele
1 -2 0 3 2-1 10-1
1-2 3 2 1 0 = 0·2·1 + 1·(-1)·0 + (-2)·3·(-1) = 6
Adesso faccio la differenza fra i due valori trovati ed ottengo il valore del terzo determinante
\(1 -2 0 3 2 -1 1 0 -1\)
\(= 0 - 6 = -6\)
ed ottengo quindi
\(0 1 1 1 1 -2 0 1 3 2 -1 0 1 0 -1 -2\)
= -1·0 + 1·(-18) – 1·(-6) = -18 + 6 = -12
risolvere il sistema:
\(x_1 + x_2 = 2 x_2 + x_3 = 3 x_3 + x_4 = 0 x_4 + x_5 = 3 -x_1 + x_5 = 2\) Considero le matrici incompleta e completa
\(1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 1\)
1 1 0 0 0 2 0 1 1 0 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 3 -1 0 0 0 1 2
Matrice incompleta Matrice completa
Calcolo il determinante della matrice incompleta e vedo che vale:
\(1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 1\)
\(= 0\)Calcoli
Quindi il rango della matrice incompleta e’ inferiore a 5 Calcolo il rango della matrice completa: posso estrarre 5 determinanti di ordine 5 oltre quello calcolato sopra (che coincide col determinate della matrice incompleta) e devo calcolarli finche’ non ne trovo uno diverso da zero: Se non lo trovo vado a calcolare se i ranghi della matrice completa ed incompleta valgono 4 Se invece ne trovo almeno uno diverso da zero il sistema e’ impossibile Considero il determinante della matrice completa ottenuto eliminando la penultima colonna
\(1 1 0 0 2 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 -1 0 0 0 2\)
\(= - 2\)Calcoli
Sono stato fortunato: non devo calcolare gli altri Il rango della matrice completa e’ 5 Essendo il rango della matrice completa 5 ed il rango della matrice incompleta inferiore a 5 allora il nostro sistema non ammette soluzioni
Devo calcolare il valore del determinante:
\(1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 1\)
Sviluppo secondo la prima riga il primo termine della riga ha posto a\(_{_{1,1}}\) cioe’ prima riga e prima colonna quindi e’ di posto pari(1+1=2) e quindi mantiene il segno il secondo termine della prima riga ha posto a\(_{_{1,2}}\) cioe’ prima riga e seconda colonna quindi e’ di posto dispari(1+2=3) e quindi va cambiato di segno Dove c’e’ zero non devo sviluppare perche’ zero per numero uguale zero
\(1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 1\)
= 1·
\(1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1\)
– (1) ·
\(0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 -1 0 0 1\)
\(=\)
devo calcolare i due determinanti dopo l’uguale:
Calcolo il primo:
\(1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1\)
\(=\)
Sviluppo secondo l’ultima riga perche’ ho solo un termine diverso da zero; il termine ha posto 4,4 cioe’ quarta riga e quarta colonna (4+4=8) posto pari
\(1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1\)
= 1·
\(1 1 0 0 1 1 0 0 1\)
Sviluppo secondo la prima colonna (in un determinante posso sviluppare indifferentemente per righe o per colonne) perche’ c’e’un solo elemento diverso da zero di posto pari (elemento 1,1 ed 1+1=2)
\(1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1\)
= 1·
\(1 1 0 0 1 1 0 0 1\)
= 1·1·
\(1 1 0 1\)
= 1· 1· (1 – 0) = 1
Calcolo il secondo
\(0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 -1 0 0 1\)
\(=\)
Sviluppo secondo la prima colonna, siccome c’e’ un solo termine diverso da zero (quarta riga e prima colonna 4+1=5 posto dispari)
\(0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 -1 0 0 1\)
= -(-1)·
\(1 0 0 1 1 0 0 1 1\)
Sviluppo secondo la prima riga perche’ c’e’un solo elemento diverso da zero di posto pari (elemento 1,1 ed 1+1=2)
\(0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 -1 0 0 1\)
= -(-1)·
\(1 0 0 1 1 0 0 1 1\)
= -(-1)·1·
\(1 0 1 1\)
= 1· 1· (1 – 0) = 1
Quindi il mio determinante vale
\(1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 1\)
= 1·
\(1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1\)
– (1) ·
\(0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 -1 0 0 1\)
\(= 1 - 1 = 0\)
Devo calcolare il valore del determinante:
\(1 1 0 0 2 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 -1 0 0 0 2\)
Sviluppo secondo la prima colonna il primo termine della colonna ha posto a\(_{_{1,1}}\) cioe’ prima riga e prima colonna quindi e’ di posto pari(1+1=2) e quindi mantiene il segno il quinto termine della prima colonnaa ha posto a\(_{_{5,1}}\) cioe’ quinta riga e prima colonna quindi e’ di posto pari(5+1=6) e quindi mantiene il segno Dove c’e’ zero non devo sviluppare perche’ zero per numero uguale zero
\(1 1 0 0 2 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 -1 0 0 0 2\)
= 1·
\(1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 2\)
+ (-1) ·
\(1 0 0 2 1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 3\)
\(=\)
devo calcolare i due determinanti dopo l’uguale:
Calcolo il primo:
\(1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 2\)
\(=\)
Sviluppo secondo la prima colonna perche’ ho solo un termine diverso da zero; il termine ha posto 1,1 cioe’ prima riga e prima colonna (1+1=2) posto pari
\(1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 2\)
= 1·
\(1 1 0 0 1 3 0 0 2\)
Senza applicare Sarrus sviluppo secondo la prima colonna = 1 · 1 ·
\(1 3 0 2\)
= 1 · 1 · 2 = 2
Calcolo il secondo
\(1 0 0 2 1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 3\)
\(=\)
Sviluppo secondo la prima colonna Il primo termine (prima riga prima colonna) ha posto 1+1=2 pari il secondo termine (seconda riga prima colonna) ha posto 2+1=3 dispari
\(1 0 0 2 1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 3\)
= 1·
\(1 0 3 1 1 0 0 1 3\)
+ (-1)·
\(0 0 2 1 1 0 0 1 3\)
\(=\)
Senza usare la regola di Sarrus nel primo determinante sviluppo secondo la prima riga ed anche nel secondo = 1 · [1 ·
\(1 0 1 3\)
+ 3 ·
\(1 1 0 1\)
] + (-1) · 2
\(1 1 0 1\)
\(=\)
= 1·[1·3 + 3·1] – 2·1 = 6 – 2 = 4
Quindi il mio determinante vale
\(1 1 0 0 2 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 -1 0 0 0 2\)
= 1·
\(1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 2\)
+ (-1) ·
\(1 0 0 2 1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 1 3\)
= 1 · 2 – 1 · 4 = – 2
risolvere il sistema:
\(x + y = 2 y + z = 3 x - z = -1 y + t = 2\) Considero le matrici incompleta e completa
\(1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 1\)
\(1 1 0 0 2 0 1 1 0 3 1 0 -1 0 -1 0 1 0 1 2\)
Matrice incompleta Matrice completa
Calcolo il determinante della matrice incompleta e vedo che vale:
\(1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 1\)
\(= 0\)Calcoli
Quindi il rango della matrice incompleta e’ inferiore a 4 Calcolo il rango della matrice completa: posso estrarre 4 determinanti di ordine 4 oltre quello calcolato sopra (che coincide col determinate della matrice incompleta) e devo calcolarli finche’ non ne trovo uno diverso da zero:
Siccome l’esercizio l’ho fatto io (e per avere la terza equazione ho fatto la differenza fra la prima e la seconda) posso osservare che la terza riga e’ differenza fra le prime due e quindi i minori estratti di ordine 4 contenendo la terza riga sono tutti uguali a zero. Pero’ se non faccio queste osservazioni devo passare un pomeriggio a fare conti, allora ti conviene studiare bene le proprieta’ dei determinanti per vedere queste scorciatoie (fare link) e fare molti esercizi per acquisire esperienza (qui e’ fondamentale)
Vado a calcolare se i ranghi della matrice completa ed incompleta valgono 3 Per vederlo prendo un minore che non contenga la terza riga ad esempio il minore segnato in blu
\(1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 1\)
cioe’
1 1 0 0 1 1 0 1 0
= -1 Calcoli
Essendo questo un minore sia della matrice completa che della matrice incompleta avro’ che i ranghi valgono 3. Utilizzo il minore calcolato per evidenziare il nuovo sistema (lascio l’incognita t come parametro)
\(x + y = 2 y + z = 3 y = 2 - t\) converrebbe risolverlo per sostituzione visto che la y e’ gia’ cvalcolata, ma, per esercizio, continuiamo con i determinanti Considero le matrici incompleta e completa
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
\(1 1 0 2 0 1 1 3 0 1 0 2-t\)
Matrice incompleta Matrice completa
Applico la regola di Cramer Calcolo la x
\(2 1 0 3 1 1 2-t 1 0\)
\(x = ----------------------- = t Calcoli\)
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
Calcolo la y
\(1 2 0 0 3 1 0 2-t 0\)
\(y = ----------------------- = 2 - t Calcoli\)
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
Calcolo la z
\(1 1 2 0 1 3 0 1 2-t\)
\(z = ----------------------- = t+1 Calcoli\)
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
Quindi ho il risultato:
\(x = t y = 2 - t z = t + 1\) Ho quindi infinite \(oo^1\) soluzioni al variare di t
Devo calcolare il valore del determinante:
\(1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 1\)
Mi conviene sviluppare secondo la prima riga perche’ ho solo due termini diversi da zero La evidenzio in blu il primo termine della riga ha posto a\(_{_{1,1}}\) cioe’ prima riga e prima colonna 1+1=2 quindi e’ di posto pari e quindi mantiene il segno il secondo termine della prima riga ha posto a\(_{_{1,2}}\) cioe’ prima riga e seconda colonna 1+2=3 quindi e’ di posto dispari e va cambiato di segno Dove c’e’ zero non devo sviluppare perche’ zero per numero uguale zero
\(1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 1\)
= 1·
\(1 1 0 0 -1 0 1 0 1\)
– 1 ·
\(0 1 0 1 -1 0 0 0 1\)
\(=\)
Nel primo determinante dopo l’uguale sviluppo secondo la terza colonna Nel secondo determinante sviluppo secondo la prima riga = 1 · 1 ·
\(1 1 0 -1\)
-1 · (-1)
\(1 0 0 1\)
= 1 · 1 ·(-1) – 1 ·(-1) · 1 = – 1 + 1 = 0
Calcoliamo solo il numeratore perche’ il denominatore e’gia’ calcolato e vale -1
\(2 1 0 3 1 1 2-t 1 0\)
\(=\)
conviene sviluppare secondo la terza colonna (e’ diverso da zero solo l’elemento di posto \(_{_{2,3}}\) dispari)
\(2 1 0 3 1 1 2-t 1 0\)
= -1 ·
\(2 1 2-t 1\)
\(= -2 + (2-t) = -2 + 2 - t = -t\)
quindi
\(2 1 0 3 1 1 2-t 1 0\)
\(-t\)
\(x = ----------------------- = ---- = t\)
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
\(-1\)
Devo calcolare il valore del determinante:
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
Sviluppo secondo la prima riga
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
= 1·
\(1 1 1 0\)
= 1·(-1) = -1
Calcoliamo solo il numeratore perche’ il denominatore e’gia’ calcolato e vale -1
\(1 2 0 0 3 1 0 2-t 0\)
conviene sviluppare secondo la prima colonna
\(1 2 0 0 3 1 0 2-t 0\)
= 1 ·
\(3 1 2-t 0\)
\(= - (2-t) = t - 2\)
quindi
\(1 2 0 0 3 1 0 2-t 0\)
\(t-2\)
\(y = ----------------------- = ------ = 2-t\)
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
\(-1\)
Calcoliamo solo il numeratore perche’ il denominatore e’gia’ calcolato e vale -1
\(1 1 2 0 1 3 0 1 2-t\)
conviene sviluppare secondo la prima colonna
\(1 1 2 0 1 3 0 1 2-t\)
= 1 ·
\(1 3 1 2-t\)
\(= 2 - t - 3 = -t - 1\)
quindi
\(1 1 2 0 1 3 0 1 2-t\)
\(-t-1\)
\(y = ----------------------- = ------ = t+1\)
\(1 1 0 0 1 1 0 1 0\)
\(-1\)
Ecco i minori (faccio scorrere la colonna dei termini noti al posto della prima colonna, della seconda colonna, …..)
\(2 1 0 0 3 1 1 0 -1 0 -1 0 2 1 0 1\)
\(1 2 0 0 0 3 1 0 1 -1 -1 0 0 2 0 1\)
\(1 1 2 0 0 1 3 0 1 0 -1 0 0 1 2 1\)
\(1 1 0 2 0 1 1 3 1 0 -1 -1 0 1 0 2\)
sistema lineare omogeneo
Sistema lineare omogeneo Se il sistema e’ lineare omogeneo di n equazioni in n incognite invece devi
Controllare la matrice incompleta e vedere se il rango vale n: se vale n allora l’unica soluzione e’ la soluzione banale
\(x_1 = 0 x_2 = 0 ......... ......... x_{n-1} = 0 x_n = 0\) Se il rango e’ uguale ad un numero s inferiore a n allora devo scegliere le equazioni corrispondenti al determinante il cui valore sia diverso da zero e considerare solo un numero di incognite uguale al numero di equazioni considerate spostando le altre incognite dopo l’uguale trattandole come fossero parametri e risolvere il sistema che ottengo con il metodo di Cramer (o di sostituzione). Otterro’ un numero \(oo^{n-s}\) di soluzioni, tra cui anche la soluzione banale
\(Ripeto la nota della pagina precedente: fino a 4 incognite useremo le lettere x, y, z, t mentre invece da 5 incognite in avanti useremo x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7,...\)
Vediamo un paio di esercizi: inserire esercizi uno con 4 incognite ed una sola soluzione, ed uno da 5 con oo\(^{^2}\) soluzioni
basta considerare la sola matrice incompleta perche’ la matrice completa ha l’ultima colonna (colonna dei termini noti) tutta nulla e quindi in pratica coincide con la matrice incompleta
sistema lineare con parametro
Sistema lineare con parametro Quando all’interno di un sistema hai un parametro e’ interessante vedere come, al variare del parametro il sistema puo’ ammettere una , nessuna o infinite soluzioni: siccome qui e’ possibile racchiudere un po’ tutta la teoria sin qui sviluppata questi esecizi sono piuttosto comuni, soprattutto negli esami di maturita’ scientifica
Si stabiliscano le relazioni cui debbono soddisfare a e b affinche’ il sistema di equazioni
Vediamo ad esempio questo esercizio, parte di un esercizio di esame Maturita’ scientifica sperimentale 1993 sessione supplettiva (prima parte del secondo esercizio) \(ax + 2y + bz = 1 x + y + az = 1 x + ay + bz = 1\) ammetta un’unica soluzione o infinite soluzioni o nessuna soluzione
\(a 2 b 1 1 a 1 a b\)
\(a 2 b 1 1 1 a 1 1 a b 1\)
Matrice incompleta Matrice completa
Per avere una sola soluzione la matrice completa ed incompleta dovranno avere rango 3, quindi bastera’ che il determinante della matrice incompleta sia diverso da zero Lo calcolo
\(a 2 b 1 1 a 1 a b\)
\(= 2ab - a^3 + 2a - 3b\) Calcoli
Siccome ho due parametri a e b mi conviene esplicitare rispetto ad un solo parametro Se il determinante e’ diverso da zero \(2ab - a^3 + 2a - 3b 0\) allora esplicitando b ottengo (esplicito b perche’ e’ piu’ semplice) \(b(2a- 3) - a^3 + 2a 0\) Anche se c’e’ diverso ci si comporta come in un’equazione \(b(2a- 3) a^3 - 2a\) e quindi b \(a^3 - 2a --------------- (2a-3)\)
in questo caso il sistema ammette una sola soluzione se invece abbiamo \(b =\) \(a^3 - 2a --------------- (2a-3)\)
allora la matrice incompleta ha rango 2 mentre i tre minori di ordine 3 della matrice completa diversi da quello calcolato valgono
\(a 2 1 1 1 1 1 a 1\)
\(= -(a-1)^2\) Calcoli
\(a b 1 1 a 1 1 b 1\)
\(= (a-1)(a-b)\) Calcoli
\(2 b 1 1 a 1 a b 1\)
\(= (a-b)(2-a)\) Calcoli
e se cerco la soluzione comune
\(-(a-1)^2 = 0 (a-1)(a-b) = 0 (a-b)(2-a) = 0\)Calcoli avro’ che le prime due equazioni si annullano se \(a = 1\) Mentre la seconda e la terza si annullano se \(b = a\) e la terza si annulla anche se \(a = 2\)
Quindi raccogliendo potremo dire:
Se \(\neq\) \(a^3 - 2a --------------- (2a-3)\)
Se b = \(a^3 - 2a --------------- (2a-3)\)
allora distinguiamo i casi
- se \(\neq\) 1\(\neq\) 2 od anche \(\neq\) ballora il sistema non ammette soluzioni
- se a = 1 oppure a = 2 od anche a = b il sistema ammette \(oo^1\) soluzioni (approfondire)
- Allora avremo una sola soluzione
In futuro aggiungere altri esercizi
Capisco che, anche se a me sembra interessante, a te puo’ sembrare noioso e poco utile. Tutti i gusti sono gusti e, probabilmente, hai ragione tu, pero’, se hai l’argomento in programma, devi comunque farlo perche’ facilmente lo troverai in un compito in classe oppure all’esame di maturita’ Quindi e’ meglio se te lo fai piacere: lo affronterai meglio
Infatti il determinante della matrice incompleta e’ anche uno dei determinanti di ordine 3 della matrice completa e quindi se il primo e’ diverso da zero anche la matrice completa ha rango 3 come la matrice incompleta
Calcoliamo
\(a 2 b 1 1 a 1 a b\)
\(=\)
sviluppo secondo la prima colonna
\(a 2 b 1 1 a 1 a b\)
= a·
\(1 a a b\)
– 1·
\(2 b a b\)
+ 1·
\(2 b 1 a\)
\(=\)
\(= a (b - a^2) -1(2b - ab) + 1(2a - b) =\) \(= ab - a^3 - 2b + ab + 2a - b =\) \(= 2ab - a^3 + 2a - 3b\)
Calcoliamo
\(a 2 1 1 1 1 1 a 1\)
\(=\)
sviluppo secondo la prima colonna
\(a 2 1 1 1 1 1 a 1\)
= a·
\(1 1 a 1\)
– 1·
\(2 1 a 1\)
+ 1·
\(2 1 1 1\)
\(=\)
\(= a (1 - a) -1(2 - a) + 1(2 - 1) =\) \(= a - a^2 - 2 + a + 2 - 1 =\) \(= - a^2 + 2a - 1 =\) \(= - (a^2 - 2a + 1) =\) \(= - (a - 1)^2\)
Calcoliamo
\(a b 1 1 a 1 1 b 1\)
\(=\)
sviluppo secondo la prima colonna (ormai mi sono abituato ad usare questa, ma si puo’ sviluppare secondo la riga o la colonna che si vuole)
\(a b 1 1 a 1 1 b 1\)
= a·
\(a 1 b 1\)
– 1·
\(b 1 b 1\)
+ 1·
\(b 1 a 1\)
\(=\)
\(= a (a - b) -1(b - b) + 1(b - a) =\) \(= a^2 - ab + b - a =\) Scompongo: e’ un raccoglimento parziale \(= a(a-b) -1(-b+a) =\) siccome (a-b) e (-b+a) sono lo stesso binomio, raccolgo ed ottengo = (a-b)(a-1)
Calcoliamo
\(2 b 1 1 a 1 a b 1\)
\(=\)
continuo a sviluppare secondo la prima colonna
\(2 b 1 1 a 1 a b 1\)
= 2·
\(a 1 b 1\)
– 1·
\(b 1 b 1\)
+ a·
\(b 1 a 1\)
\(=\)
\(= 2 (a - b) -1(b - b) + a(b - a) =\) \(= 2a - 2b + ab - a^2 =\) Scompongo: e’ un raccoglimento parziale \(= 2(a-b) -a(-b+a) =\) siccome (a-b) e (-b+a) sono lo stesso binomio, raccolgo ed ottengo = (a-b)(2-a)
Qui non c’e’ nemmeno bisogno di risolvere il sistema (in caso volessi risolverlo devi considerare solo due equazioni perche’ hai due incognite e la seconda e la terza equazione sono uguali; quindi dovrai prendere la prima ed una delle altre due) posso osservare semplicemente che tutto e’ uguale a zero quando \(a = 1\) e sono nulle la seconda e la terza quando \(a = b\) Quindi: Tutte e tre le equazioni si annullano se \(a = 1\) Mentre si annullano solo la seconda e la terza se \(b = a 1\)
se \(a = 1\) e se a b abbiamo per la matrice completa
\(1 2 b 1 1 1 1 1 1 1 b 1\)
e il rango della matrice vale 2 (ad esempio e’ diverso da zero il minore 2×2 formato dai primi 4 elementi in alto a sinistra)
\(1 2 1 1\)
\(= 1 - 2 0\)
Ma anche se \(a = 1\) ed \(a = b\)
\(1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\)
il minore considerato resta sempre diverso da zero quindi basta che sia \(a = 1\) per avere \(oo^1\) soluzioni
infatti se \(a 1\) il minore
\(a 2 1 1 1 1 1 a 1\)
\(= -(a-1)^2\)
il cui risultato e’ indipendente da b e’ diverso da zero e quindi la matrice completa ha rango 3 diverso dal rango 2 della matrice incompleta
sistema di k equazioni in n incognite
Sistema di k equazioni in n incognite Come argomento teorico raccoglie un po’ tutto quanto fatto sinora senza aggiungere cose significative; facciamone un breve cenno distinguendo i tre casi:
- k > n
- k = n
- k < n
Sistema di k equazioni in n incognite k > n Per semplicita’ facciamo un esempio pratico: supponiamo di avere 8 equazioni in 5 incognite
- se non ho equazioni linearmente dipendenti allora il sistema non ammette soluzioni Ho 8 equazioni in 5 incognite quindi 3 equazioni portano informazioni in contrasto con le altre ed i ranghi delle matrici completa ed incompleta saranno diversi
- Il sistema non amette soluzioni nemmeno se ho solamente una o due equazioni linearmente dipendenti da altre perche’ i ranghi della matrice completa ed incompleta sarebbero diversi. avrei 7 equazioni indipendenti in 5 incognite oppure 6 equazioni indipendenti in 5 incognite, il che significa che qualche informazione e’ in contrasto con altre ed anche qui i ranghi della matrice completa ed incompleta sono diversi.
- Se ho tre equazioni lineamente dipendenti da altre il sistema si riduce a 5 equazioni in 5 incognite e quindi, se le equazioni sono compatibili, ammette una sola soluzione In questo caso le informazioni portate dalle 5 equazioni detrminano le 5 incognite e i ranghi delle matrici completa ed incompleta sono uguali a 5
- Se le equazioni sono compatibili e quelle linearmente dipendenti sono 4,5,6,… allora il mio sistema avra’ oo\(^{^1}\), oo\(^{^2}\), oo\(^{^3}\)….. soluzioni Come gia’ visto avremo che alcune equazioni daranno le stesse informazioni di altre e quindi alcune incognite vanno portate dopo l’uguale per avere tante equazioni linearmente indipendenti quante sono le incognite. in tal caso i ranghi delle matrici completa ed incompleta saranno uguali a 4, 3, 2…
in ogni caso comunque bastera’ che due equazioni portino informazioni in contrasto fra loro (siano incompatibili) per avere un sistema impossibile.
Esempio di equazioni non compatibili x+y+z+t = 1 x+y+z+t = 2 sono incompatibili perche’ la somma degli stessi 4 numeri non puo’ essere contemporaneamente 1 e 2
Sistema di k equazioni in n incognite k = n In questo caso, essendo il numero di equazioni pari a quello delle incognite possiamo rifarci ad un sistema di n equazioni in n incognite
Sistema di k equazioni in n incognite k < n Per semplicita’ facciamo anche qui un esempio pratico: supponiamo di avere 5 equazioni in 7 incognite In tal caso scelgo 5 incognite e porto le altre 2 dopo l’uguale come se fossero dei parametri e poi mi comporto come per un sistema di n equazioni in n incognite. Mi conviene scegliere, se possibile, le incognite da matenere prima dell’uguale in modo tale che il determinante della matrice incompleta risultante sia diverso da zero: mi risparmiero’ parecchi problemi
Continua a leggere