Sistemi di grado superiore al primo Sono sistemi che dipendono, per la loro soluzione, dal risolvere un’equazione di grado maggiore di uno
- Grado di un sistema
- Sistemi di secondo grado in due incognite
- Sistemi di secondo grado a piu’ incognite
- Sistemi di grado superiore
- Sistemi simmetrici
- Sistemi omogenei
- Sistemi che si risolvono con artifici
grado di un sistema
Grado di un sistema Il grado di un sistema si calcola moltiplicando i gradi delle equazioni componenti; ad esempio
\(x^3 + y^4 = 9 x^2 - y = 1\) e’ di ottavo grado (la prima equazione e’ di quarto grado e la seconda di grado 2 e 4·2=8) La sua soluzione dipende dalla soluzione di un’equazione di grado 8 ed avra’ 8 soluzioni (reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate) Per soluzione si intende una coppia di valori in x ed y come
\(x = 2 y = 3\)
sistemi di secondo grado a due incognite
Sistemi di secondo grado a due incognite E’ il sistema fra un’equazione di primo grado ed un’equazione di secondo grado: Il metodo utilizzato per la soluzione sara’ la sostituzione; allora la soluzione del sistema dipendera’ dalla soluzione di un’equazione di secondo grado Otterremo quindi 2 coppie in x ed y come soluzioni per il nostro sistema Vediamo un paio di esercizi per
- Sistema numerico
- Sistema letterale
Vediamo un paio di esercizi
1) Risolvere il seguente sistema:
\(x^2 + y^2 = 5 x - y = 1\) Il sistema e’ di secondo grado perche’ la prima equazione e’ di grado 2 e la seconda di grado 1 ricavo la x dalla seconda equazione e sostituisco il valore trovato nella prima equazione
\((y+1)^2 + y^2 = 5 x = y + 1\) eseguo i calcoli (al posto della seconda equazione metto una linea per indicare che non la uso)
\(y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5 ---------------\)
\(2y^2 + 2y - 4 = 0 ---------------\)
\(y^2 + y - 2 = 0 ---------------\) Risolvo l’equazione ed ottengo calcoli \(y_1 = 1 y_2 = -2\) Ora devo sostituire i valori trovati uno alla volta al posto dell’equazione mancante e calcolare le x corrispondenti
Primo valore y = -2
\(y = -2 x = y + 1\)
\(y = -2 x = -2 + 1\)
Secondo valore y = 1
\(y = 1 x = y + 1\)
\(y = 1 x = 1 + 1\)
- \(y = -2 x = -1\)
- \(y = 1 x = 2\)
Ottengo quindi le soluzioni prima soluzione
x = -1 y = -2 seconda soluzione
x = 2 y = 1
Di solito prima di avere il sistema ridotto a forma normale bisogna eseguire calcoli piu’ o meno difficili. Vediamo un esempio con calcoli semplici 2) Risolvere il seguente sistema:
\(2(x + y)^2 - (x-1)(3x+y) = x - 1 x + 2y + 4 = 0\) eseguo i calcoli
\(2(x^2 + 2xy + y^2) - (3x^2 + xy -3x -y) = x - 1 x + 2y + 4 =0\)
\(2x^2 + 4xy + 2y^2 - 3x^2 - xy + 3x + y - x + 1 = 0 x + 2y + 4 = 0\)
\(-x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + y + 1 = 0 x + 2y + 4 = 0\) Ora il sistema e’ ridotto a forma normale: ricavo la x dalla seconda equazione e sostituisco il valore trovato nella prima equazione
\(-(-2y-4)^2 + 3y(-2y-4) + 2y^2 + 2(-2y-4) + y + 1 = 0 x = -2y - 4\) eseguo i calcoli (al posto della seconda equazione metto una linea per indicare che non la uso)
\(-(4y^2 + 16y + 16) - 6y^2 - 12y + 2y^2 - 4y - 8 + y +1 = 0 ---------------\)
\(-4y^2 - 16y - 16 - 6y^2 - 12y + 2y^2 - 4y - 8 + y +1 = 0 ---------------\)
\(-8y^2 - 31y - 23 = 0 ---------------\) cambio di segno
\(8y^2 + 31y + 23 = 0 ---------------\) Risolvo l’equazione ed ottengo calcoli \(y_1 =\) \(23 - -------- 8\) \(y_2 = -1\)
Ora devo sostituire i valori trovati uno alla volta al posto dell’equazione mancante e calcolare le x corrispondenti
Primo valore y = -23/8
\(y = - 23/8 x = -2y - 4\)
\(y = -23/8 x = -2(-23/8) - 4 = 23/4 - 4\)
Secondo valore y = -1
\(y = -1 x = -2y - 4\)
\(y = -1 x = -2(-1) - 4 = 2 - 4\)
- \(y = -23/8 x = 7/4\)
- \(y = -1 x = -2\)
Ottengo quindi le soluzioni prima soluzione
x = -2 y = -1 seconda soluzione
x = 7/4 y = -23/8
Ho ordinato le soluzioni secondo i valori della x: dal piu’ piccolo al piu’ grande, intendendo per piu’ piccolo quello piu’ spostato a sinistra verso i valori negativi
Risolviamo l’equazione \(y^2 + y - 2 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(y_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = 1 c = -2
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(1^2 - 4(1)(-2)\)
\(y_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1 + 8
\(y_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9
\(y_{1,2} =\)
\(\pm\) 3
\(y_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(y_1 =\) -1 – 3 ——- 2
\(y_1 =\) -2
\(y_2 =\) -1 + 3 ——- 2
\(y_2 =\) 1
Ho quindi le soluzioni \(y_1 = -2 y_2 = 1\)
Risolviamo l’equazione \(8y^2 + 31y + 23 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(y_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 8 b = 31 c = 23
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– 31
\(\pm\) \(31^2 - 4(8)(23)\)
\(y_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– 31
\(\pm\) 961 – 736
\(y_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– 31
\(\pm\) 225
\(y_{1,2} =\)
– 31
\(\pm\) 15
\(y_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(y_1 =\) -31 – 15 ———— 16
\(y_1 =\) 23 – —— 8
\(y_2 =\) -31 + 15 ————- 16
\(y_2 =\) -1
Ho quindi le soluzioni \(y_1 = -23/8 y_2 = -1\)
Vediamo un esercizio con un sistema di secondo grado letterale
qui devi sapere bene tutto il calcolo letterale: questi esercizi possono essere resi anche molto difficili come calcoli; noi vediamone uno semplice
Risolvere il seguente sistema:
\(3x^2 - y^2 + 4a = 2(a-1)^2 x + y = 2a\) Prima di tutto dovremo risolvere le operazioni in modo da ridurre il sistema ad una forma normale
\(3x^2 - y^2 + 4a = 2(a^2 - 2a + 1) x + y = 2a\)
\(3x^2 - y^2 + 4a = 2a^2 - 4a + 2 x + y = 2a\)
\(3x^2 - y^2 + 4a - 2a^2 + 4a - 2 = 0 x + y = 2a\)
\(3x^2 - y^2 - 2a^2 + 8a - 2 = 0 x + y = 2a\) Il sistema e’ di secondo grado perche’ la prima equazione e’ di grado 2 e la seconda di grado 1 ricavo la y dalla seconda equazione e sostituisco il valore trovato nella prima equazione (conviene ricavare la y altrimenti se ricavo la x devo anche moltiplicare per 3)
\(3x^2 - (2a-x)^2 - 2a^2 + 8a - 2 = 0 y = 2a - x\) eseguo i calcoli (al posto della seconda equazione metto una linea per indicare che non la uso)
\(3x^2 - (4a^2 - 4ax + x^2) - 2a^2 + 8a - 2 = 0 ---------------\)
\(3x^2 - 4a^2 + 4ax - x^2 - 2a^2 + 8a - 2 = 0 ---------------\)
\(2x^2 + 4ax - 6a^2 + 8a - 2 = 0 ---------------\) divido per 2 tutti i termini della prima equazione
\(x^2 + 2ax - 3a^2 + 4a - 1 = 0 ---------------\) Risolvo l’equazione ed ottengo calcoli \(x_1 = -3a +1 x_2 = a -1\) Ora devo sostituire i valori trovati uno alla volta al posto dell’equazione mancante e calcolare le x corrispondenti
Primo valore x = -3a+1
\(x = -3a +1 y = 2a - x\)
\(x = -3a +1 y = 2a + 3a - 1\)
Secondo valore x = a-1
\(x = a - 1 y = 2a - x\)
\(yx = a - 1 y = 2a - a + 1\)
- \(x = -3a +1 y = 5a - 1\)
- \(x = a - 1 y = a + 1\)
Ottengo quindi le soluzioni prima soluzione
x = -3a + 1 y = 5a – 1 seconda soluzione
x = a – 1 y = a + 1
Risolviamo l’equazione \(x^2 + 2ax - 3a^2 + 4a - 1 = 0\) nelle equazioni letterali, quando possibile, conviene applicare la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(-\) \(^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
facciamo attenzione a non confondere la a della formula con la a lettera dell’esercizio Abbiamo: a = 1
\(\beta\) = a c = \(-3a^2 + 4a - 1\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(a^2 - (1)(-3a^2 + 4a - 1)\)
\(x_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(x_{1,2} =\) – a
\(\pm\) \(a^2 + 3a^2 - 4a + 1\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(x_{1,2} =\) – a
\(\pm\) \(4a^2 - 4a + 1\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(x_{1,2} =\) – a
\(\pm\) \((2a - 1)^2\)
Posso eliminare tra loro quadrato e radice
\(x_{1,2} =\) – a
\(\pm\) (2a – 1)
la parentesi e’ essenziale, perche’ davanti all’espressione ho anche il segno meno Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(x_1 = -a - 2a + 1 x_1 = -3a + 1\) \(x_2 = - a + 2a - 1 x_2 = a - 1\) Ho quindi le soluzioni \(x_1 = -3a + 1 x_2 = a - 1\)
sistemi di secondo grado a piu' incognite
Sistemi di secondo grado a piu' incognite Per risolverli devi sostituire le incognite una alla volta sino ad avere un’equazione in una sola incognita e quindi risolvere l’equazione Vediamo un esercizio con 3 incognite
\(x^2 + y^2 - z^2 = 6 x - 2y - z = -1 x + y + z = 6\) Ricavo la z dall’ultima equazione e la sostituisco nelle altre due
\(x^2 + y^2 - (6 - x - y)^2 = 6 x - 2y - (6 - x - y) = -1 z = 6 - x - y\) eseguo i calcoli; al posto della terza equazione (ormai usata) metto una linea
\(x^2 + y^2 - (36 + x^2 + y^2 - 12x - 12y + 2xy) = 6 x - 2y - 6 + x + y = -1 -------------------\)
\(x^2 + y^2 - 36 - x^2 - y^2 + 12x + 12y - 2xy = 6 2x - y = 5 -------------------\)
\(- 2xy + 12x + 12y = 42 2x - y = 5 -------------------\) nella prima equazione divido tutto per -2
\(xy - 6x - 6y = -21 2x - y = 5 -------------------\) Da notare che d’ora in avanti e’ come risolvere un sistema di secondo grado in due incognite ora ricavo y dalla seconda equazione e la sostituisco nella prima
\(xy - 6x - 6y = -21 - y = - 2x +5 -------------------\)
\(xy - 6x - 6y = -21 y = 2x - 5 -------------------\) anche al posto della seconda equazione metto una linea
x(2x – 5) – 6x – 6(2x – 5) = -21 ——————- ——————- eseguo i calcoli
\(2x^2 - 5x - 6x - 12x + 30 = -21 ------------------- -------------------\)
\(2x^2 - 23x + 51 = 0 ------------------- -------------------\) Risolvo l’equazione ed ottengo calcoli \(x_1 = 3 x_2 = 17/2\) Ora devo sostituire i valori trovati uno alla volta nelle equazione mancanti e calcolare le incognite corrispondenti
Primo valore x = 3
\(x = 3 y = 2x - 5 z = 6 - x -y\)
\(x = 3 y = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 z = 6 - x -y\)
\(x = 3 y = 1 z = 6 - 3 - 1 = 2\)
Secondo valore y = 17/2
\(x = 17/2 y = 2x - 5 z = 6 - x -y\)
\(x = 17/2 y = 2(17/2) - 5 = 17 - 5 = 12 z = 6 - x -y\)
\(x = 17/2 y = 12 z = 6 - 17/2 - 12 = - 29/2\)
- \(x = 3 y = 1 z = 2\)
- \(x = 17/2 y = 12 z = -29/2\)
Ottengo quindi le soluzioni prima soluzione
x = 3 y = 1 z = 2 seconda soluzione
x = 17/2 y = 12 z= – 29/2
sistemi di grado superiore
Sistemi di grado superiore Per risolvere un sistema di grado superiore occorre risolvere un’equazione di grado superiore al secondo Vediamo un esercizio: Risolvere il sistema
\(x^2 + y^2 = 37 xy = 6\) e’ un sistema di quarto grado perche’ le due equazioni che lo compongono sono di secondo grado, quindi ci aspettiamo una equazione di quarto grado e quindi con 4 soluzioni ricavo y dalla seconda equazione
\(x^2 + y^2 = 37 y = 6/x\) devo pero’ porre la condizione \(x 0\) ora vado a sostituire il valore della y trovato al posto della y nella prima equazione
\(x^2 + (6/x)^2 = 37 ------------\) sviluppo il quadrato sia al numeratore che al denominatore
\(x^2 + 36/x^2 = 37 -------------\) ora faccio il minimo comune multiplo x\(^{^2}\)
\(x^4 + 36 37x^2 ----------- = ------- x^2^2 -------------\) avendo supposto x diverso da zero posso eliminare il denominatore
\(x^4 + 36 = 37x^2 -------------\)
\(x^4 - 37x^2 + 36 = 0 -------------\) ora devo risolvere l’equazione biquadratica \(x^4 - 37x^2 + 36 = 0\)calcoli ottengo le 4 soluzioni \(x_1 = -6\) \(x_2 = -1\) \(x_3 = 1\) \(x_4 = 6\)
Ora devo sostituire i valori trovati uno alla volta alla x nella seconda equazione per trovare il valore della y
Primo valore x\(_{_1}\) = -6
\(x = -6 y = 6/(-6)\)
Secondo valore x\(_{_2}\) = -1
\(x = -1 y = 6/(-1)\)
Terzo valore x\(_{_3}\) = 1
\(x = 1 y = 6/1\)
Quarto valore x\(_{_4}\) = 6
\(x = 6 y = 6/6\)
- \(x_1 = -6 y_1 = -1\)
- \(x_2 = -1 y_2 = -6\)
- \(x_3 = 1 y_3 = 6\)
- \(x_4 = 6 y_4 = 1\)
Ottengo quindi le soluzioni (4 come avevamo previsto)
\(x_1 = -6 y_1 = -1\)
\(x_2 = -1 y_2 = -6\)
\(x_3 = 1 y_3 = 6\)
\(x_4 = 6 y_4 = 1\)
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(b\(^2\) – 4ac) z\(_{1,2}\) = ———————- 2a 37
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(37\(^{^2}\) – 4·36) z\(_{1,2}\) = ————————– 2 37
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
(1369 – 144) z\(_{1,2}\) = ——————————— 2 37
\(\pm\)
[figura: radicearossa.jpg]
1225 z\(_{1,2}\) = ——————- 2 5
\(\pm\) 35 z\(_{1,2}\) = ——– 2
- z\(_1\) = (37 + 35)/2 = 72/2 = 36
- z\(_2\) = (37 – 35)/2 = 2/2 = 1
- x\(^2\) = 36
- x\(^2\) = 1
Risolviamo l’equazione \(x^4 - 37x^2 + 36 = 0\) pongo \(x^2 = z\) e quindi \(x^4 = z^2\) ed ottengo \(z^4 - 37z^2 + 36 = 0\) risolvo rispetto a z Ora, essendo z = x\(^2\) devo risolvere le due equazioni:
- risolvo la prima x\(_1\) = -6 x\(_2\) = +6
- risolvo la seconda x\(_3\) = -1 x\(_4\) = +1
quindi le 4 soluzioni (messe in fila) sono: \(x_1 = -6\) \(x_2 = -1\) \(x_3 = 1\) \(x_4 = 6\)
sistemi simmetrici
Sistemi simmetrici Diremo che un sistema e’ simmetrico se quando scambiamo fra loro le x e le y il sistema non cambia Sono ad esempio simmetrici i sistemi
\(x^2 + y^2 = 10 xy = 9\)
\(x^3 + y^3 = -19 x + y = -1\)
\(x^2 + y^2 - 2x - 2y = 15 x^2 + y^2 + x + y = 36\)
- Soluzione di un sistema simmetrico elementare
- Formule di Waring
- Soluzione di sistemi simmetrici generali
- Sistemi riconducibili a simmetrici
Per poterli risolvere useremo le regole della somma e prodotto delle radici nelle equazioni di secondo grado, ma per poter utilizzare tali regole dovremo saper utilizzare le formule di Waring
sistema simmetricoelementare
Sistema simmetrico elementare Chiameremo sistema simmetrico elementare un sistema in cui abbiamo un’equazione con la somma delle incognite e l’altra equazione con il loro prodotto:
\(x + y = 5 xy = 6\) in pratica equivale a risolvere il problema gia’ visto di trovare due numeri di cui conosciamo la somma ed il prodotto; cioe’ bastera’ risolvere un’equazione di secondo grado in z del tipo \(z^2 - sz + p = 0\) con s somma delle incognite e p prodotto delle incognite
Vediamo un esempio; risolvere il sistema:
\(x + y = 5 x y = 6\) considero l’equazione \(z^2 - sz + p = 0\) con s = x + y = 5 p = x · y = 6 Otteniamo l’equazione \(z^2 - 5z + 6 = 0\) per trovare x ed y risolviamo l’equazione applico la formula risolutiva
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(b^2 - 4ac\)
\(z_{1,2} =\)
abbiamo: a = 1 b = -5 c = 6 sostituiamo nella formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-(-5)
\(\pm\) \((-5)^2 - 4(1)(6)\)
\(z_{1,2} =\) =
2(1)
facciamo i calcoli dentro radice
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 – 24
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1
\(\pm\) 1 = ———– 2
adesso devo prendere una volta il meno ed una volta il piu’ \(z_1\) 5 – 1 = ——— = 2 2
\(z_2\) 5 + 1 = ——— = 2 3
ogni soluzione trovata e’una volta x ed una volta y infatti il sistema simmetrico implica che le soluzioni siano simmetriche quindi le due soluzioni saranno
\(x_1 = 2 y_1 = 3\)
\(x_2 = 3 y_2 = 2\)
puoi verificare che hai fatto giusto facendone semplicemente la somma ed il prodotto
formule di Waring
Formule di Waring Ogni sistema simmetrico si puo’ trasformare nell’insieme di uno o piu’ sistemi simmetrici elementari Le formule di Waring ci permettono di eseguire tali trasformazioni; vediamole:
x2 + y2 = (x+y)2 – 2xy dimostrazione x2 + y2 = (x-y)2 + 2xy dimostrazione x3 + y3 = (x+y)3 – 3xy(x+y) dimostrazione x3 – y3 = (x-y)3 + 3xy(x-y) dimostrazione x4 + y4 = (x+y)4 – 4xy(x+y)2 + 2x2y2 dimostrazione
dimostriamo la formula \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy\) Partiamo dall’uguaglianza (quadrato del binomio) \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) leggiamo a rovescio \(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\) porto il 2xy dopol’uguale \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy\)
dimostriamo la formula \(x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy\) Partiamo dall’uguaglianza (quadrato del binomio) \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\) leggiamo a rovescio \(x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\) porto il -2xy dopol’uguale \(x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy\)
dimostriamo la formula \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x+y)\) Partiamo dall’uguaglianza (cubo del binomio) \((x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\) leggiamo a rovescio \(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3\) raccolgo 3xy fra il secondo ed il terzo termine al primo membro \(x^3 + 3xy(x+y) + y^3 = (x + y)^3\) porto il 3xy(x+y) dopol’uguale \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x+y)\)
dimostriamo la formula \(x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x-y)\) Partiamo dall’uguaglianza (cubo del binomio) \((x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\) leggiamo a rovescio \(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3\) raccolgo -3xy fra il secondo ed il terzo termine al primo membro \(x^3 - 3xy(x-y) - y^3 = (x - y)^3\) porto il -3xy(x-y) dopol’uguale \(x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x-y)\)
dimostriamo la formula \(x^4 + y^4 = (x + y)^4 - 4xy(x+y)^2 + 2x^2y^2\) Partiamo dall’uguaglianza (Potenza quarta del binomio) \((x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\) leggiamo a rovescio \(x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 = (x + y)^4\) considero il termine centrale nel primo membro come differenza: \(6x^2y^2 = 8x^2y^2 - 2x^2y^2\) in questo modo posso pensare 8x\(^{^2}\)y\(^{^2}\) come un doppio prodotto di un quadrato (dopo aver raccolto) \(x^4 + 4x^3y + 8x^2y^2 - 2x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 = (x + y)^4\) Adesso raggruppo entro parentesi i termini che mi interessano \(x^4 + (4x^3y + 8x^2y^2 + 4xy^3) - 2x^2y^2 + y^4 = (x + y)^4\) Tra i termine entro parentesi raccolgo 4xy \(x^4 + 4xy(x^2 + 2xy + y^2) - 2x^2y^2 + y^4 = (x + y)^4\) Adesso il termine entro parentesi e’ il quadrato di un binomio \(x^4 + 4xy(x + y)^2 - 2x^2y^2 + y^4 = (x + y)^4\) e adesso lasciando a destra solamente x\(^{^4}\) + y\(^{^4}\) e trasportando gli altri temrini dopo l’uguale ottengo \(x^4 + y^4 = (x + y)^4 - 4xy(x+y)^2 + 2x^2y^2\)
Sistemi simmetrici Ogni sistema simmetrico si puo’ trasformare nell’insieme di uno o piu’ sistemi simmetrici elementari
A me sono sempre piaciute: e’ come risolvere un cruciverba od un Sudoku; volta per volta devi cercare il metodo migliore
Vediamo il metodo su alcuni esercizi
\(xy = 15 x^2 + y^2 = 34\) Svolgimento
\(x + y = 1 x^2 + y^2 = 13\) Svolgimento
\(x + y = 1 x^3 + y^3 -x - y = 60\) Svolgimento
\(x^3y + xy^3 = 290 x^2 + y^2 = 29\) Svolgimento
\(x^2 + y^2 + 2x + 2y = 23 x^2 + y^2 + xy = 19\) Svolgimento
\(x^2 + 2xy + y^2 + 3x + 3y = 70 xy = 12\) Svolgimento
\(x^4 + y^4 = 17 xy = 2\) Svolgimento
Se vuoi ti posso indicare un metodo che puoi sempre applicare per risolvere in modo automatico i sistemi simmetrici; pero’ cosi’ non e’ divertente risolverli. Te lo faccio vedere su un esercizio
\(x^2 + y^2 + x + y = 22 x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 85\) Svolgimento
esercizio sui sistemi simmetrici
Risolvere il sistema:
\(xy = 15 x^2 + y^2 = 34\) E’ un sistema di quarto grado perche’ entrambe le equazioni componenti sono di secondo grado Applico la prima formula di Waring alla seconda equazione
\(xy = 15 (x+y)^2 - 2xy = 34\) Sostituisco il valore di xy dalla prima equazione nella seconda
\(xy = 15 (x+y)^2 - 2(15) = 34\) faccio i calcoli
\(xy = 15 (x+y)^2 - 30 = 34\)
\(xy = 15 (x+y)^2 = 34 + 30\)
\(xy = 15 (x+y)^2 = 64\) adesso siccome ho (x+y)\(^{^2}\)posso fare la radice per trovare (x+y) ed, siccome le radici di 64 sono -8 e +8 ottengo i due sistemi equivalenti al sistema di partenza
\(xy = 15 x + y = -8\)
\(xy = 15 x + y = 8\)
Risolvo la prima:
\(xy = 15 x + y = -8\) considero l’equazione associata \(z^2 + 8z + 15 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = -3\) \(z_2 = -5\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = -3 y_1 = -5\)
\(x_2 = -5 y_2 = -3\)
Risolvo la seconda:
\(xy = 15 x + y = 8\) considero l’equazione associata \(z^2 - 8z + 15 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 3\) \(z_2 = 5\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = 3 y_1 = 5\)
\(x_2 = 5 y_2 = 3\)
Raccogliendo ho le 4 soluzioni
\(x_1 = -3 y_1 = -5\)
\(x_2 = - 5 y_2 = -3\)
\(x_3 = 3 y_3 = 5\)
\(x_4 = 5 y_4 = 3\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 + 8z + 15 = 0\) applichiamo la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (b/2)
\(\pm\) \((b/2)^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = 8 b/2 = 4 c = 15
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(4^2 - (1)(15)\)
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(z_{1,2} =\) – 4
\(\pm\) 16 – 15
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(z_{1,2} =\) – 4
\(\pm\) 1
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ ed ottengo \(z_1 = -4 + 1 = -3\) \(z_2 = -4 - 1 = -5\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 - 8z + 15 = 0\) applichiamo la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (b/2)
\(\pm\) \((b/2)^2 - ac\)
\(x_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -8 b/2 = -4 c = 15
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(4^2 - (1)(15)\)
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(z_{1,2} =\) 4
\(\pm\) 16 – 15
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(z_{1,2} =\) 4
\(\pm\) 1
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ ed ottengo \(z_1 = 4 - 1 = 3\) \(z_2 = 4 + 1 = 5\)
Risolvere il sistema:
\(x + y = 1 x^2 + y^2 = 13\) E’ un sistema di secondo grado perche’ la prima equazione e’ di primo grado e la seconda di secondo grado Applico la prima formula di Waring alla seconda equazione
\(x + y = 1 (x+y)^2 - 2xy = 13\) Sostituisco il valore di (x+y) dalla prima equazione nella seconda
\(x + y = 1 (1)^2 - 2xy = 13\) faccio i calcoli
x + y = 1 1 – 2xy = 13
x + y = 1 -2xy = -1 + 13
x + y = 1 -2xy = 12
x + y = 1 2xy = -12
x + y = 1 xy = -6 considero l’equazione associata \(z^2 - z - 6 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 3\) \(z_2 = -2\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = 3 y_1 = -2\)
\(x_2 = -2 y_2 = 3\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 - z - 6 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(z_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -1 c = -6
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-(-1)
\(\pm\) \((-1)^2 - 4(1)(-6)\)
\(z_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1 + 24
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25
\(z_{1,2} =\)
\(\pm\) 5
\(z_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il piu’ ed una volta il meno \(z_1 =\) 1 + 5 ———- 2 6 = —- = 2 3
\(z_2 =\) 1 – 5 ———- 2 – 4 = ——- = 2 – 2
Ho quindi le soluzioni \(z_1 = 3 z_2 = -2\)
Risolvere il sistema:
\(x + y = 1 x^3 + y^3 - x - y = 60\)
Sembra un sistema di terzo grado, ma, essendo simmetrico, troveremo solamente due soluzioni: infatti e’ di secondo grado come puoi vedere usando il metodo di sostituzione
Applico la terza formula di Waring alla seconda equazione; metto anche in evidenza il meno davanti alla x ed alla y
\(x + y = 1 (x+y)^3 - 3xy(x+y) - (x+y) = 60\) Sostituisco il valore di (x+y) dalla prima equazione nella seconda
\(x + y = 1 (1)^3 - 3xy(1) -1 = 60\) faccio i calcoli
x + y = 1 1 – 3xy – 1 = 60
x + y = 1 -3xy = 60
x + y = 1 3xy = -60
x + y = 1 xy = -20 considero l’equazione associata \(z^2 - z - 20 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 5\) \(z_2 = -4\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = 5 y_1 = -4\)
\(x_2 = -4 y_2 = 5\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 - z - 20 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(s_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -1 c = -20
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-(-1)
\(\pm\) \((-1)^2 - 4(1)(-20)\)
\(z_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1 + 80
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 81
\(z_{1,2} =\)
\(\pm\) 9
\(z_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il piu’ ed una volta il meno \(z_1 =\) 1 + 9 ———- 2 10 = ——- = 2 5
\(z_2 =\) 1 – 9 ———- 2 -8 = —- = 2 -4
Ho quindi le soluzioni \(z_1 = 5 z_2 = -4\)
Risolvere il sistema:
\(x^3y + xy^3 = 290 x^2 + y^2 = 29\) nella prima equazione metto in evidenza xy
\(xy(x^2 + y^2) = 290 x^2 + y^2 = 29\) Sostituisco il valore di (x\(^{^2}\)+y\(^{^2}\)) dalla seconda equazione nella prima
\(xy(29) = 290 x^2 + y^2 = 29\)
\(29xy = 290 x^2 + y^2 = 29\) divido per 29 nella prima equazione
\(xy = 10 x^2 + y^2 = 29\) adesso applico la prima formula di Waring alla seconda equazione
\(xy = 10 (x + y)^2 - 2xy = 29\) sostituisco il valore di xy della prima equazione nella seconda
\(xy = 10 (x + y)^2 - 2(10) = 29\) faccio i calcoli
\(xy = 10 (x + y)^2 - 20 = 29\)
\(xy = 10 (x + y)^2 = 29 + 20\)
\(xy = 10 (x + y)^2 = 49\) adesso siccome ho (x+y)\(^{^2}\)posso fare la radice per trovare (x+y) ed, siccome le radici di 49 sono -7 e +7 ottengo i due sistemi equivalenti al sistema di partenza
\(xy = 10 x + y = -7\)
\(xy = 10 x + y = 7\)
Risolvo la prima:
\(xy = 10 x + y = -7\) considero l’equazione associata \(z^2 + 7z + 10 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = -2\) \(z_2 = -5\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = -2 y_1 = -5\)
\(x_2 = -5 y_2 = -2\)
Risolvo la seconda:
\(xy = 10 x + y = 7\) considero l’equazione associata \(z^2 - 7z + 10 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = +2\) \(z_2 = +5\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = +2 y_1 = +5\)
\(x_2 = +5 y_2 = +2\)
Raccogliendo ho le 4 soluzioni
\(x_1 = -5 y_1 = -2\)
\(x_2 = -2 y_2 = -5\)
\(x_3 = 2 y_3 = 5\)
\(x_4 = 5 y_4 = 2\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 + 7z + 10 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(z_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = 7 c = 10
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(7^2 - 4(1)(10)\)
\(z_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 49 – 40
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9
\(z_{1,2} =\)
\(\pm\) 3
\(z_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il piu’ ed una volta il meno \(z_1 =\) – 7 + 3 ———- 2 -4 = ——- = 2 – 2
\(z_2 =\) – 7 – 3 ———- 2 – 10 = —- = 2 – 5
Ho quindi le soluzioni \(z_1 = - 2 z_2 = - 5\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 - 7z + 10 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(s_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -7 c = 10
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-(-7)
\(\pm\) \((-7)^2 - 4(1)(10)\)
\(z_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 49 – 40
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9
\(z_{1,2} =\)
\(\pm\) 3
\(z_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(z_1 =\) 7 – 3 ———- 2 4 = ——- = 2 2
\(z_2 =\) 7 + 3 ———- 2 10 = —- = 2 5
Ho quindi le soluzioni \(z_1 = 2 z_2 = 5\)
Risolvere il sistema:
\(x^2 + y^2 + 2x + 2y = 23 x^2 + y^2 + xy = 19\) Facciamo qualche passaggio per semplificare un po’ qui mi conviene ricavare (x\(^{^2}\)+y\(^{^2}\)) dalla seconda equazione e sostituire nella prima
\(x^2 + y^2 + 2x + 2y = 23 x^2 + y^2 = 19 - xy\)
\(19 - xy + 2x + 2y = 23 x^2 + y^2 = 19 - xy\)
\(2x + 2y - xy = 23 - 19 x^2 + y^2 = 19 - xy\)
\(2(x + y) - xy = 4 x^2 + y^2 + xy = 19\) adesso applico la prima formula di Waring alla seconda equazione
\(2(x + y) - xy = 4 (x+y)^2 - 2xy + xy = 19\)
\(2(x + y) - xy = 4 (x+y)^2 - xy = 19\) Sottraggo fra loro la prima equazione dalla seconda e la metto a sistema con una delle due equazioni, ad esempio la prima (e’ la piu’ semplice)
\((x+y)^2 - 2(x + y) = 15 2(x + y) - xy = 4\) Considero ora la prima equazione: si puo’ considerare un’equazione di secondo grado nell’incognita (x+y)=t \(t^2 - 2t - 15 = 0\) che ha soluzioni calcoli \(t_1 = -3\) \(t_2 = 5\) ottengo i due sistemi equivalenti al sistema di partenza
\(x + y = -3 2(x + y) - xy = 4\)
\(x + y = 5 2(x + y) - xy = 4\)
Risolvo il primo:
\(x + y = -3 2(x + y) - xy = 4\) Sostituisco nella seconda -3 al posto di (x+y)
\(x + y = -3 2(-3) - xy = 4\)
\(x + y = -3 - xy = 4 +6\)
\(x + y = -3 xy = -10\) considero l’equazione associata \(z^2 - 3z - 10 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = -2\)\(z_2 = +5\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 =-2\)
\(x_2 = 5\)
\(y_1 = 5\) \(y_2 = -2\)
Risolvo il secondo:
\(x + y = 5 2(x + y) - xy = 4\) Sostituisco nella seconda 5 al posto di (x+y)
\(x + y = 5 2(5) - xy = 4\)
\(x + y = 5 - xy = 4 - 10\)
\(x + y = 5 xy = 6\) considero l’equazione associata \(z^2 - 5z + 6 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 2\) \(z_2 = 3\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = 2 y_1 = 3\)
\(x_2 = 3 y_2 = 2\)
Raccogliendo ho le 4 soluzioni
\(x_1 =-2\)
\(x_2 = 5\)
\(x_3 = 2\)
\(x_4 = 3\)
\(y_1 = 5\) \(y_2 = -2\) \(y_3 = 3\) \(y_4 = 2\)
Risolviamo l’equazione \(t^2 - 2t - 15 = 0\) applichiamo la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (b/2)
\(\pm\) \((b/2)^2 - ac\)
\(t_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -2 b/2 = -1 c = -15
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-(-1)
\(\pm\) \((-1)^2 - (1)(-15)\)
\(t_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(t_{1,2} =\) 1
\(\pm\) 1 + 15
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(t_{1,2} =\) 1
\(\pm\) 16
\(t_{1,2} = 1 4\) Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(t_1 = 1 - 4 = - 3\) \(t_2 = 1 + 4 = + 5\)
Ho quindi le soluzioni \(t_1 = -3 t_2 = 5\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 - 3z - 10 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(s_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -3 c = -10
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (-3)
\(\pm\) \((-3)^2 - 4(1)(-10)\)
\(z_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9 + 40
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 49
\(z_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ ed ottengo le soluzioni 3 – 7
\(z_1 =\) = -2
3 + 7
\(z_2 =\) = 5
Risolviamo l’equazione \(z^2 - 5z + 6 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(z_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -5 c = 6
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-(-5)
\(\pm\) \((-5)^2 - 4(1)(6)\)
\(z_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 25 – 24
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1
\(z_{1,2} =\)
\(\pm\) 1
\(z_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(z_1 =\) 5 – 1 ———- 2 4 = ——- = 2 2
\(z_2 =\) 5 + 1 ———- 2 6 = —- = 2 3
Ho quindi le soluzioni \(z_1 = 2 z_2 = 3\)
Ti faccio i calcoli passaggio per passaggio parto dal sistema
\(2(x + y) - xy = 4 (x+y)^2 - xy = 19\) Siccome sottraggo la prima dalla seconda per vederlo meglio scrivo il sistema mettendo al primo posto la seconda equazione
\((x+y)^2 - xy = 19 2(x + y) - xy = 4\) Ora sottraggo fra loro i termini delle equazioni \((x+y)^2 - xy\) = 19
2(x + y) – xy = 4
\((x+y)^2 - xy -[2(x + y) - xy]\) = 19 – 4
Nel risultato faccio cadere le parentesi e, dopo l’uguale, sommo \((x+y)^2 - xy - 2(x + y) + xy\) = 15
posso eliminare -xy con +xy ed ottengo \((x+y)^2 - 2(x + y)\) \(=\) \(15\)
Quest’equazione va rimessa a sistema con una delle due equazioni di partenza (la piu’ semplice)
Risolvere il sistema:
\(x^2 + 2xy + y^2 + 3x + 3y = 70 xy = 12\) Osserviamo bene le due equazioni: i primi tre termini della prima si possono raggruppare in un quadrato, mentre fra gli altri due termini posso raccogliere 3
\((x+y)^2 + 3(x + y) = 70 xy = 12\) Considero ora la prima equazione: si puo’ considerare un’equazione di secondo grado nell’incognita (x+y)=t \(t^2 + 3t - 70 = 0\) che ha soluzioni calcoli \(t_1 = -10\) \(t_2 = 7\) ottengo i due sistemi equivalenti al sistema di partenza
\(x + y = -10 xy = 12\)
\(x + y = 7 xy = 12\)
Risolvo il primo:
-5 –
[figura: radiceablu.jpg]
-5 +
[figura: radiceablu.jpg]
\(x + y = -10 xy = 12\) considero l’equazione associata \(z^2 + 10z + 12 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 =\) 13 \(z_2 =\) 13
ho quindi le soluzioni
\(x_1 = -5 - 13\)
\(y_1 = -5 + 13\)
\(y_1 = -5 + 13\) \(y_2 = -5 - 13\)
Risolvo il secondo:
\(x + y = 7 xy = 12\) considero l’equazione associata \(z^2 - 7z + 12 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 3\) \(z_2 = 4\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = 3 y_1 = 4\)
\(x_2 = 4 y_2 = 3\)
Raccogliendo ho le 4 soluzioni
\(x_1 = -5 - 13\)
\(x_2 = -5 + 13\)
\(x_3 = 3\)
\(x_4 = 4\)
\(y_1 = -5 + 13\) \(y_2 = -5 - 13\) \(y_3 = 4\) \(y_4 = 3\)
Risolviamo l’equazione \(t^2 + 3t - 70 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(t_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = 3 c = -70
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(3^2 - 4(1)(-70)\)
\(t_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 9 + 280
\(t_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 289
\(t_{1,2} =\)
\(\pm\)17
\(t_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(t_1 =\) -3 – 17 ———- 2 -20 = —- = 2 -10
\(t_2 =\) -3 + 17 ———- 2 14 = ——- = 2 7
Ho quindi le soluzioni \(t_1 = - 10 t_2 = 7\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 + 10z + 12 = 0\) applichiamo la formula ridotta
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
– (b/2)
\(\pm\) \((b/2)^2 - ac\)
\(z_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = 10 b/2 = 5 c = 12
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \(5^2 - (1)(12)\)
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(z_{1,2} =\) -5
\(\pm\) 25 – 12
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(z_{1,2} =\) -5
\(\pm\) 13
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ ed ottengo le soluzioni:
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(z_1 =\) \(-5 -\) \(13\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(z_2 =\) \(-5 +\) \(13\)
Risolviamo l’equazione \(z^2 - 7z + 12 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(z_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -7 c = 12
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-(-7)
\(\pm\) \((-7)^2 - 4(1)(12)\)
\(z_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 49 – 48
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 1
\(z_{1,2} =\)
\(\pm\) 1
\(z_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il meno ed una volta il piu’ \(z_1 =\) 7 – 1 ———- 2 6 = —- = 2 3
\(z_2 =\) 7 + 1 ———- 2 8 = ——- = 2 4
Ho quindi le soluzioni \(z_1 = 3 z_2 = 4\)
Soluzione generale di un sistema simmetrico Per risolverlo in modo automatico trasformiamo tutti i termini in gruppi del tipo (x+y) ed xy, magari utilizzando anche le formule di Waring; Una volta fatto cio’ consideriamo due nuove variabili: \(x+y = s xy = p\) e sostituiamole; otteremo un sistema di due equazioni in due incognite che potremo risolverecon i metodi noti Trovare le soluzioni reali del sistema:
\(x^2 + y^2 + x + y = 22 x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 85\) cerchiamo di evidenziare i gruppi (x+y) ed xy; nella seconda equazione raccolgo xy fra il secondo ed il terzo termine.
\(x^2 + y^2 + (x + y) = 22 x^3 + y^3 + xy(x + y) = 85\) ora applico le formule di Waring sia alla prima che alla seconda equazione
\((x+y)^2 - 2xy + (x + y) = 22 (x + y)^3 -3xy(x + y) + xy(x + y) = 85\) sommo i fattori simili
\((x+y)^2 - 2xy + (x + y) = 22 (x + y)^3 -2xy(x+y) = 85\) adesso pongo \(x+y = s xy = p\) ed ottengo
\(s^2 - 2p + s = 22 s^3 -2sp = 85\) mi conviene ricavare 2p da sopra e sostituirne il valore nella seconda equazione
\(2p = s^2 + s - 22 s^3 - s(s^2 + s - 22) = 85\) eseguo i calcoli
\(2p = s^2 + s - 22 s^3 - s^3 - s^2 + 22s = 85\)
\(2p = s^2 + s - 22 s^2 - 22s + 85 = 0\) la seconda equazione e’ un’equazione di secondo grado in s \(s^2 - 22s + 85 = 0\) la risolvo ed ottengo: \(s = 5 s=17\) ora sostituisco ad s nella prima equazione una volta 5 ed una volta 17
sostituisco 5
\(2p = 5^2 + 5 - 22 = 8 s = 5\) divido per 2 per ottenere p
sostituisco 7
\(2p = 17^2 + 17 - 22 = 284 s = 5\) divido per 2 per ottenere p
\(p = 142 s = 17\)
- \(p = 4 s = 5\)
Ora, sostituendo ad s e p le loro espressioni ottengo i due sistemi
\(x + y = 5 xy = 4\)
\(x + y = 17 xy = 142\)
Risolvo il primo:
\(x + y = 5 xy = 4\) considero l’equazione associata \(z^2 - 5z + 4 = 0\) risolvo ed ottengo \(z_1 = 1\) \(z_2 = 4\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = 1 y_1 = 4\)
\(x_2 = 4 y_2 = 1\)
Risolvo il secondo:
\(x + y = 17 xy = 142\) considero l’equazione associata \(z^2 - 17z + 142 = 0\) risolvo ed ottengo il termine sotto radice minore di zero Delta= 289 – 568 = -279 < 0 quindi non ho soluzioni reali
Raccogliendo ho le 2 soluzioni reali
\(x_1 = 1\)
\(x_2 = 4\)
\(y_1 = 4\) \(y_2 = 1\)
Come vedi non e’ che si lavori di meno, si lavora in modo automatico senza dover pensare, cosa che e’ del tutto contraria alla Matematica. Puo’ servire al massimo come metodo per scrivere un programma per calcolatore che risolva automaticamente i sistemi simmetrici
Risolvere il sistema:
\(x^4 + y^4 = 17 xy = 2\) Potremmo usare la formula di Waring, ma qui possiamo usare un procedimento piu’ semplice: eleviamo alla quarta la seconda espressione in modo da avere dappertutto x\(^{^4}\) ed y\(^{^4}\)
In questo modo trasformiamo un sistema di grado 8 in un sistema di grado 32, cioe’ con 32 soluzioni, ma poi vedrai che prenderemo solamente le soluzioni che verificano l’equazione iniziale xy=2 e quindi troveremo solo 8 soluzioni accettabili
\(x^4 + y^4 = 17 x^4y^4 = 16\) Ora poniamo x\(^{^4}\)=q ed y\(^{^4}\)=t; otteniamo
\(q + t = 17 q t = 16\) che e’ un sistema simmetrico elementare considero l’equazione associata \(z^2 - 17z + 16 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 16 z_2 = 1\) ho quindi le soluzioni
\(q_1 = 16\)
\(q_2 = 1\)
\(t_1 = 1\) \(t_2 = 16\)
Ora devo risolvere i sistemi
\(x^4= 16 y^4=1\) ed anche
\(x^4= 1 y^4=16\)
Risolvo il primo
\(x^4= 16 Come si calcola y^4=1\) (mettiamo anche le soluzioni complesse) dovrei considerare 16 soluzioni: per ottenere tutte le soluzioni devi combinare ognuna delle 4 soluzioni della x con ognuna delle 4 soluzioni della y, ma poi siccome devo rispettare la condizione xy=2 allora avremo accettabili solamente le 4 soluzioni:
\(x_1 = 2\)
\(x_2 = -2\)
\(x_3 = 2i\)
\(x_4 = -2i\)
\(y_1 = 1\) \(y_2 = -1\) \(y_3 = -i\) \(y_4 = +i\)
il secondo sistema
\(x^4= 1 y^4=16\) mi dara’ le soluzioni simmetriche
\(x_5 = 1\)
\(x_6 = -1\)
\(x_7 = -i\)
\(x_8 = +i\)
\(y_5 = 2\) \(y_6 = -2\) \(y_7 = 2i\) \(y_8 = -2i\)
Anche qui considero accettabili solo le 4 soluzioni appaiate nel modo sopraddetto perche’ devono rispettare la condizione iniziale xy=2
Risolviamo l’equazione \(z^2 - 17z + 16 = 0\) applichiamo la formula
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) \((b)^2 - 4ac\)
\(z_{1,2} =\)
Abbiamo: a = 1 b = -17 c = 16
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
-(-17)
\(\pm\) \((-17)^2 - 4(1)(16)\)
\(z_{1,2} =\)
2(1)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 289 – 64
\(z_{1,2} =\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\pm\) 225
\(z_{1,2} =\)
\(\pm\) 15
\(z_{1,2} =\)
Ora prendo una volta il piu’ ed una volta il meno \(z_1 =\) 17 + 15 ———- 2 32 = —- = 2 16
\(z_2 =\) 17 – 15 ———- 2 2 = ——- = 2 1
Ho quindi le soluzioni \(z_1 = 3 z_2 = 4\)
Per risolvere \(x^4= 16\) lo scrivo come \(x^4- 16 = 0\) adesso scompongo il termine prima dell’uguale come un polinomio: e’ una differenza di quadrati che si scompone: \(x^4- 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\) Adesso basta uguagliare a zero ogni fattore ed ottengo le soluzioni \(x-2 = 0 x = 2 x+2 = 0 x = -2 x^2 + 4= 0 x^2 + 4= 0 x = -4 x = 2i x_1 = 2 x_2 = -2 x_3 = 2i x_4 = -2i\)
sistemi riconducibili a simmetrici
Sistemi riconducibili a simmetrici Talvolta osservando bene un sistema e’ possibile, anche se non e’ simmetrico, trasformarlo in un sistema simmetrico in modo da riuscire a risolverlo piu’ agevolmente Vediamone alcuni esempi:
\(2x + 3y = 5 4x^2 + 9y^2 = 13\) Svolgimento
\(2x + 3y = 20 xy = 6\) Svolgimento
\(x - y = -5 xy = -6\) Svolgimento
\(x - y = 1 x^3 - y^3 = 37\) Svolgimento
Risolvere il sistema:
\(2x + 3y = 5 4x^2 + 9y^2 = 13\) Osserviamo che nella seconda equazione ci sono i quadrati dei termini presenti nella prima equazione Poniamo allora 2x=q e 3y=t; otteniamo
\(q + t = 5 q^2 + t^2 = 13\) ora applichiamo la prima formula di Waring
\(q + t = 5 (q+t)^2 -2tq = 13\) sostituisco il valore di (q+t) nella seconda equazione
\(q + t = 5 (5)^2 -2tq = 13\) eseguo i calcoli ed ottengo
q + t = 5 -2tq = 13 – 25
q + t = 5 -2tq = -12
q + t = 5 t q = 6 che e’ un sistema simmetrico elementare; considero l’equazione associata \(z^2 -5z + 6 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 2 z_2 = 3\) ho quindi le soluzioni
\(q_1 = 2\)
\(q_2 = 3\)
\(t_1 = 3\) \(t_2 = 2\)
ora essendo 2x = q avro’ x = q/2 3y = t avro’ y = t/3 e quindi:
\(x_1 = 1\)
\(x_2 = 3/2\)
\(y_1 = 1\) \(y_2 = 2/3\)
Da notare che le soluzioni non sono simmetriche
Risolvere il sistema:
\(2x + 3y = 20 xy = 6\) Poniamo 2x=q e 3y=t; avremo quindi x=q/2 ed y=t/3 otteniamo
q + t = 20 q/2 · t/3 = 6
q + t = 20 qt/6 = 6 faccio il minimo comune multiplo nella seconda equazione e tolgo i denominatori
q + t = 20 qt = 36 che e’ un sistema simmetrico elementare; considero l’equazione associata \(z^2 -20z + 36 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 2 z_2 = 18\) ho quindi le soluzioni
\(q_1 = 2\)
\(q_2 = 18\)
\(t_1 = 18\) \(t_2 = 2\)
ora essendo x = q/2 e y = t/3 sostituisco ed ottengo
\(x_1 = 1\)
\(x_2 = 9\)
\(y_1 = 6\) \(y_2 = 2/3\)
Risolvere il sistema:
\(x - y = -5 xy = -6\) Stavolta poniamo y= -k; otteniamo
x – (-k) = -5 x (-k) = -6
x + k = -5 -kx = -6
x + k = -5 kx = 6 E’ un sistema simmetrico elementare; considero l’equazione associata \(z^2 +5z + 6 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = -2 z_2 = -3\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = -2\)
\(x_2 = -3\)
\(k_1 = -3\) \(k_2 = -2\)
ora essendo y = -k sostituisco ed ottengo
\(x_1 = -2\)
\(x_2 = -3\)
\(y_1 = 3\) \(y_2 = 2\)
Risolvere il sistema:
\(x - y = 1 x^3 - y^3 = 37\) Anche qui poniamo y= -k; otteniamo
\(x - (-k) = 1 x^3 - (-k)^3 = 37\)
\(x + k = 1 x^3 + k^3 = 37\) Applico la relativa formula di Waring
\(x + k = 1 (x+k)^3 - 3kx(x+k) = 37\) Ora sostituisco il valore (x+k)=1 nella seconda equazione
\(x + k = 1 (1)^3 - 3kx(1) = 37\)
x + k = 1 1 – 3kx = 37
x + k = 1 – 3kx = 37 – 1
x + k = 1 – 3kx = 36
x + k = 1 kx = -12 E’ un sistema simmetrico elementare; considero l’equazione associata \(z^2 - z - 12 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = -4 z_2 = 3\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = 4\)
\(x_2 = -3\)
\(k_1 = -3\) \(k_2 = 4\)
ora essendo y = -k sostituisco ed ottengo
\(x_1 = 4\)
\(x_2 = -3\)
\(y_1 = 3\) \(y_2 = -4\)
sistemi omogenei
Sistemi omogenei Un sistema si dice omogeneo se le equazioni, con l’eccezione dei termini noti, hanno tutti i termini con lo stesso grado; ad esempio e’ omogeneo il sistema:
\(x^2 + y^2 + xy = 96 x + y = 11\) Questo sopra si puo’ risolvere anche per sostituzione; vediamo invece come si risolvono quando le equazioni sono di secondo grado Risolvere il seguente sistema
\(2x^2 + y^2 - 3xy = 3 x^2 - 3y^2 + 2xy = 5\) Poniamo \(y = tx\) otteniamo
\(2x^2 + t^2x^2 - 3tx^2 = 3 x^2 - 3t^2x^2 + 2tx^2 = 5\) Metto in evidenza x\(^{^2}\) in entrambe le espressioni prima dell’uguale
\(x^2(2 + t^2 - 3t ) = 3 x^2(1 - 3t^2 + 2t) = 5\) adesso dividiamo membro a membro entrambe le equazioni \(x^2(2 + t^2 - 3t ) ------------------------------ x^2(1 - 3t^2 + 2t)\) \(3 = ----- 5\)
semplifichiamo per x\(^{^2}\) ed otteniamo \(2 + t^2 - 3t -------------------------- 1 - 3t^2 + 2t\) \(3 = ----- 5\)
e, facendo il m.c.m., dopo aver supposto il denominatore diverso da zero (si annulla per t=1 e t=-1/3 fare link), ottengo \(5(2 + t^2 - 3t) = 3( 1 - 3t^2 + 2t)\) \(10 + 5t^2 - 15t = 3 - 9t^2 + 6t\) \(14t^2 - 21t + 7 = 0\) dividiamo tutto per 7 (cosi’ abbiamo meno calcoli) \(2t^2 - 3t + 1 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(t_1 = 1/2 t_2 = 1\) ora costruisco un sistema con l’equazione y=tx e con una delle due equazioni del sistema con la t (la piu’ facile)
\(y = tx x^2(1 - 3t^2 + 2t) = 5\) e vi sostituisco i valori trovati uno alla volta
sostituisco t=1/2
\(y = 1/2 x x^2[1 - 3(1/2)^2 + 2(1/2)] = 5\) calcolo
\(y = 1/2 x 5/4 x^2 = 5\)
\(y = 1/2 x x = 2\)
\(y = 1/2 ( 2) x = 2\) ottengo le soluzioni
\(y = 1 x = 2\)
sostituisco t=1
\(y = 1 \cdot x x^2[1 - 3(1)^2 + 2(1)] = 5\) calcolo
\(y = x x^2 \cdot (0) = 5\) Impossibile perche’ nessun numero moltiplicato per zero da’ 5 Da notare che per t=1 si annulla il denominatore che avevamo supposto diverso da zero
quindi abbiamo le soluzioni
\(x_1 = -2\)
\(x_2 = 2\)
\(y_1 = -1\) \(y_2 = 1\)
sistemi che si risolvono con artifici
Sistemi che si risolvono con artifici Talvolta e’ possibile risolvere dei sistemi introducendo alcuni artifici di calcolo; purtroppo non esistono regole generali ma solo l’osservazione e l’esercizio ti possono rendere “bravo”. Vediamo pero’ assieme alcuni casi che e’ possibile classificare
- Sostituire un valore od un gruppo di valori con variabili ausiliarie
- Calcolare un’espressione parzialmente
- Utilizzo di espressioni particolari (tipo formule di Waring)
- sommare o sottrarre membro a membro
- Eseguire il rapporto membro a membro
sostituire un valore od un gruppo di valori con variabili ausiliarie
Sostituire un valore od un gruppo di valori con variabili ausiliarie Devi controllare se un termine o un gruppo di termini compare piu’ volte e sostituirlo con altre variabili in modo da rendere il sistema piu’ semplice
Esempio 1; risolvere il sistema:
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+1\) \(+\) \(y-1\) \(= 5\)
\(x+y\) \(= 13\)
Osserviamo la seconda equazione: \(x + y = 13\) per avere gli stessi gruppi di variabili presenti nell’equazione sopra basta aggiungere e togliere 1 (cosa che non cambia di valore l’espressione) \(x + 1 + y - 1 = 13\) ora pongo
[figura: radiceablu.jpg]
[figura: radiceablu.jpg]
x+1 = t y-1 = u
quindi il sistema diventa
\(t + u = 5 t^2 + u^2 = 13\) Che e’ un normalissimo sistema simmetrico; applico la prima formula di Waring alla seconda equazione
\(t + u = 5 (t+u)^2 -2tu = 17\) Sostituisco 5 al posto di (t+u)
t + u = 5 25 -2tu = 13 eseguo i calcoli ed ottengo
t + u = 5 tu = 6 considero l’equazione associata \(z^2 - 5z + 6 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(z_1 = 2\) \(z_2 = 3\)
\(t_1 = 2 u_1 = 3\)
\(t_2 = 3 u_2 = 2\)
devo quindi risolvere i due sistemi
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+1\) \(= 2\) \(x+1\) \(= 3\)
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(y-1\) \(= 3\) \(y-1\) \(= 2\)
Ed ottengo come risultato Calcoli
\(x_1 = 3 y_1 = 10\)
\(x_2 = 8 y_2 = 5\)
Particolarmente importante e’ il caso che si presenta nei problemi con l’ellisse e l’iperbole
calcolare un'espressione parzialmente
Calcolare un'espressione parzialmente A volte conviene calcolare il valore di tutto un gruppo per poter risolvere Vediamone un esempio
Esempio 1; risolvere il sistema:
[figura: radicearossa.jpg]
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+y-----xy\) \(+\) \(xy-----x+y\) \(- 2 = 0\)
\(x-y\) \(= 0\)
Intanto avremo subito le condizioni di realta’ (considerando i denominatori diversi da zero) x
\(\neq\) 0 ; y
\(\neq\) 0 ; x
\(\neq\) -y Osserviamo poi che le radici sono l’una inversa dell’altra, quindi poniamo:
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+y-----xy\) \(= t\)
allora la prima equazione del sistema sara’ t + 1 — t – 2 = 0
cioe’, facendo il minimo comune multiplo e supponendo t
\(\neq\) 0 \(t^2 + 1 - 2t = 0 t^2 - 2t + 1 = 0 (t - 1)^2 = 0\) ed ottengo la soluzione (doppia: due soluzioni coincidenti) t = 1 Quindi posso scrivere
[figura: radicearossa.jpg]
\(x+y-----xy\) \(= 1\)
che equivale, elevando al quadrato entrambe i membri
\(x+y-----xy\) \(= 1\)
cioe’ \(x + y = xy\) devo quindi risolvere il sistema:
\(x + y = xy x - y = 0\) Possiamo farlo per sostituzione; ricavo x dalla seconda equazione e sostituisco nella prima
\(x + y = xy x = y\)
\(y + y = y^2 x = y\)
\(y^2 - 2y = 0 x = y\) ottengo dalla prima equazione i due valori \(y = 0\) che non e’ accettabile per le condizioni di realta’ iniziali \(y = 2\) ottengo quindi la soluzione
\(y = 2 x = 2\) o meglio
x = 2 y = 2
utilizzo di espressioni particolari (tipo formule di Waring)
Utilizzo di espressioni particolari (tipo formule di Waring) Talvolta e’ possibile utilizzando espressioni particolari riuscire a semplificare le equazioni componenti del sistema e quindi risolverlo piu’ facilmente Vediamone un esempio utilizzando le formule di Waring
Esempio 1; risolvere il sistema:
\(x^2 - y^2 + z^2 - t^2 = 10\) \(x + z = 6\) \(y + t = 4\) \(y t = 3\) scriviamola cosi’
\((x^2 + z^2) - (y^2 + t^2) = 10\) \(x + z = 6\) \(y + t = 4\) \(y t = 3\) ora applichiamo la prima formula di Waring
\((x + z)^2 - 2xz - [(y + t)^2 - 2yt] = 10\) \(x + z = 6\) \(y + t = 4\) \(y t = 3\)
\((x + z)^2 - 2xz - (y + t)^2 + 2yt = 10\) \(x + z = 6\) \(y + t = 4\) \(y t = 3\) Adesso sostituisco ed ottengo
\(6^2 - 2xz - 4^2 + 2(3) = 10\) \(x + z = 6\) \(y + t = 4\) \(y t = 3\) cioe’, eseguendo i calcoli
\(xz = 8\) \(x + z = 6\) \(y + t = 4\) \(y t = 3\) ora il sistema e’ scomponibile in due sistemi simmetrici risolvo il sistema fra le prime due equazioni considero l’equazione associata \(k^2 - 6k + 8 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(k_1 = 2\) \(k_2 = 4\) risolvo il sistema fra la terza e la quarta equazione considero l’equazione associata \(s^2 - 4s + 3 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(k_1 = 1\) \(k_2 = 3\) ho quindi le soluzioni
\(x_1 = 2 z_1 = 4 y_1 = 1 t_1 = 3\)
\(x_2 = 2 z_2 = 4 y_2 = 3 t_2 = 1\)
\(x_3 = 4 z_3 = 2 y_3 = 1 t_3 = 3\)
\(x_4 = 4 z_4 = 2 y_4 = 3 t_4 = 1\)
o meglio, mettendo in ordine, ottengo le 4 quaterne di soluzioni
\(x_1 = 2 y_1 = 1 z_1 = 4 t_1 = 3\)
\(x_2 = 2 y_2 = 3 z_2 = 4 t_2 = 1\)
\(x_3 = 4 y_3 = 1 z_3 = 2 t_3 = 3\)
\(x_4 = 4 y_4 = 3 z_4 = 2 t_4 = 1\)
sommare o sottrarre termine a termine
Sommare o sottrarre termine a termine Puo’ essere molto utile se abbiamo gruppi di termini uguali (oppure opposti) nelle due equazioni, bastera’ sottrarre (sommare) per eliminarli ed ottenere un’equazione piu’ semplice da mettere a sistema Questo metodo viene normalmente utilizzato in geometria analitica per trovare le coordinate dei punti comuni a due circonferenze
Esempio 1; risolvere il sistema:
\(x^2 + 3xy + 2y^2 - 5y = -2\) \(x^2 + 3xy + y^2 = 4\) dalla prima equazione sottraiamo la seconda Strano il termine sottraiamo, e ti va anche bene, il mio Prof di analisi all’universita’ diceva “sottragghiamo” \(x^2 + 3xy + 2y^2 - 5y = -2\) \(x^2 + 3xy + y^2 = 4\) ——————————– \(// // y^2 - 5y = -6\) quindi posso considerare il sistema equivalente (come seconda equazione prendo la piu’ semplice)
\(y^2 - 5y + 6 = 0\) \(x^2 + 3xy + y^2 = 4\) considero la prima equazione \(y^2 - 5y + 6 = 0\) risolvo ed ottengo Calcoli \(y_1 = 2\) \(y_2 = 3\) quindi il mio sistema si scinde nei due sistemi
\(y = 2\)
\(y = 3\)
\(x^2 + 3xy + y^2 = 4\) \(x^2 + 3xy + y^2 = 4\)
ossia sostituendo il valore di y
\(y = 2\)
\(y = 3\)
\(x^2 + 6x + 4 = 4\) \(x^2 + 9x + 9 = 4\)
e sommando i termini simili
\(y = 2\)
\(y = 3\)
\(x^2 + 6x = 0\) \(x^2 + 9x + 5 = 0\)
Risolvo il primo
\(y = 2\)
\(x^2 + 6x = 0\)
risolvendo la seconda equazione ottengo \(x_1 = 0\) e \(x_2 = -6\)Calcoli ottengo quindi le soluzioni
\(x_1 = 0\)
\(x_2 = -6\)
\(y_1 = 2\) \(y_2 = 2\)
Risolvo il secondo
\(y = 3\)
\(x^2 - 9x +5 = 0\)
risolvendo la seconda equazione ottengo \(x_1 = (9+61)/2\) e \(x_2 = (9-61)/2\)Calcoli ottengo quindi le soluzioni
\(x_1 =(9-61)/2\)
\(x_2 = (9+61)/2\)
\(y_1 = 3\) \(y_2 = 3\)
Ottengo quindi le 4 coppie di soluzioni
\(x_1 = 0 y_1 = 2\)
\(x_2 = -6 y_2 = 2\)
\(x_3 = (9-61)/2 y_3 = 3\)
\(x_4 = (9+61)/2 y_4 = 3\)
dividere membro a membro
Dividere membro a membro E’ un metodo alternativo al precedente: invece di sommare o sottrarre si possono isolare i termini uguali o proporzionali in un membro e poi dividere; solo provando puoi vedere se conviene piu’ questo metodo oppure il precedente; di solito e’ poco usato preferendosi usare altri metodi piu’ intuitivi
Esempio 1; risolvere il sistema:
\(x^2 - 3xy + y^2 - 2x + y + 2 = 0\) \(x^2 - 3xy + y^2 + y = 0\) Isoliamo i termini uguali prima dell’uguale
\(x^2 - 3xy + y^2 = 2x - y - 2\) \(x^2 - 3xy + y^2 = -y\) supponendo x\(^{^2}\) – 3xy + y\(^{^2}\) diverso da zero ed y diverso da zero divido membro a membro \(x^2 - 3xy + y^2\) 2x – y – 2
\(x^2 - 3xy + y^2\) -y
ottengo 2x – y – 2
e calcolando -y = 2x -y -2 2x – 2 = 0 x = 1 Posso sostituire questa equazione ad una qualunque del mio sistema (naturalmente la prendo al posto della piu’ complicata) quindi il mio sistema equivale al sistema
\(x = 1\) \(x^2 - 3xy + y^2 = -y\) sostituisco il valore x=1 nella seconda equazione
\(x = 1\) \(1 - 3y + y^2 = -y\)
\(x = 1\) \(y^2 -2y + 1 = 0\) Nella seconda equazione, senza risolvere, posso osservare che ho il quadrato di un binomio
\(x = 1\) \((y-1)^2 = 0\) ottengo quindi la soluzione (doppia)
\(x_1 = 1\) \(y_1 = 1\) devo infine controllare che questi valori sostituiti ad x ed y nei termini che ho messo al denominatore non me li annullino (altrimenti la soluzione non sarebbe accettabile) \(x^2 -3xy +y^2 = 1 - 3 + 1 0 y = 1 0\) La soluzione e’ accettabile