Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi

strutture algebriche

In questo capitolo, prendendo spunto dai numeri che abbiamo visto in aritmentica (naturali, interi, razionali, reali e complessi) evidenzieremo delle strutture che potranno essere applicate a vari enti ed insiemi matematici; in questo modo potremo catalogare vari enti ed ampliare la conoscenza delle proprieta’ degli insiemi stessi

metodo operativo e nomenclatura
struttura algebrica
semigruppo
gruppo
anello
corpo
spazi vettoriali

metodo operativo e nomenclatura

Metodo operativo e nomenclatura Inizieremo percorrendo passo passo la strada gia’ percorsa con i numeri Naturali, Interi, Razionali e Reali, partendo dalle strutture piu’ semplici fino ad arrivare a strutture piu’ complesse; infine vedremo che le strutture trovate non sono esclusive dei numeri ma si ritrovano anche nelle matrici, nei vettori ed in altri enti matematici.

Per indicare una operazione generica utilizzeremo il simbolo

\(\odot\)

, mentre se avremo bisogno di due operazioni contemporaneamente useremo i due simboli:

\(\oplus\)

\(\otimes\)

Indicheremo un insieme con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino A, B, C, ….. mentre ne indicheremo gli elementi con le lettere minuscole a, b, c, …….

struttura algebrica

Struttura algebrica Prima di introdurre il concetto fondamentale di struttura algebrica esaminiamo alcuni concetti che ci saranno necessari

Legge di composizione interna
Elemento neutro
Elemento simmetrico
Concetto di struttura algebrica

legge di composizione interna

Legge di composizione interna Dato un insieme di enti A diremo che un’ operazione

\(\odot\)

e’ di composizione interna se presi comunque due elementi di A quali a, b, esiste l’elemento c appartenente ad A tale che vale \(a b = c\)

In pratica significa che il risultato dell’operazione e’ anche lui un elemento dell’insieme di partenza

Si dice in modo equivalente che l’insieme A e’ chiuso rispetto all’operazione

\(\odot\)

Cioe’ l’operazione agisce sul prodotto cartesiano A x A e lo trasforma ancora in A : A x A -> A Si puo’ anche dire che componendo tramite l’operazione

\(\odot\)

una coppia di elementi di A il risultato appartiene ancora ad A : (a , b) -> c con a,b,c A

esempi: 1) Considero l’insieme N dei numeri naturali con l’operazione di somma: la somma e’ un’operazione di composizione interna, infatti posso sempre sommare tra loro due numeri naturali ed il risultato e’ sempre un numero naturale vedere anche somma in N 2) Considero l’insieme N dei numeri naturali con l’operazione di differenza: la differenza non e’ un’operazione di composizione interna in N, infatti posso fare la differenza fra due numeri naturali solamente se il primo ha un valore maggiore del secondo mentre non posso sottrarre un numero maggiore da un numero minore vedere anche differenza in N

elemento neutro

Elemento neutro Dato un insieme di enti A e su di esso un’ operazione

\(\odot\)

diremo che n appartenente ad A e’ l’elemento neutro rispetto all’operazione se per qualunque elemento a di A vale \(a n = n a = a\) cioe’ la composizione di qualunque elemento di a di A con n restituisce sempre lo stesso elemento a

esempi: 1) Considero l’insieme N dei numeri naturali con l’operazione di somma: In questo caso l’elemento neutro e’ lo zero, infatti chiamato a un qualunque numero naturale ho a + 0 = 0 + a = a 2) Considero l’insieme N dei numeri naturali con l’operazione di prodotto: In questo caso l’elemento neutro e’ l’uno, infatti chiamato a un qualunque numero naturale ho a x 1 = 1 x a = a

elemento simmetrico

Elemento simmetrico Dato un insieme di enti A e su di esso un’ operazione

\(\odot\)

diremo che a’ appartenente ad A e’ l’elemento simmetrico rispetto all’ elemento a di A vale a a' = a' a = n cioe’ la composizione di qualunque elemento di a di A con il proprio simmetrico restituisce sempre l’elemento neutro n

esempi: 1) Considero l’insieme Z dei numeri interi con l’operazione di somma: In questo caso l’elemento simmetrico di un qualunque numero e’ lo stesso numero cambiato di segno, infatti chiamato a un qualunque numero naturale ho a + (-a) = (-a) + a = 0 2) Considero l’insieme Q dei numeri razionali con l’operazione di prodotto: In questo caso l’elemento simmetrico di un qualunque elemento a e’ il suo inverso 1/a , infatti componendo ogni elemento con il suo inverso ottengo l’elemento neutro 1 a · 1 — a 1 = — · a a = 1

struttura algebrica Su ogni insieme non vuoto A si possono definire una o piu’ leggi di composizione interna; Si definisce struttura algebrica un insieme non vuoto A su cui siano definite una o piu’ leggi di composizione interna

Semplificando: struttura algebrica = insieme con operazione (i)

indicheremo una struttura algebrica nei seguenti modi: ( A ; )Struttura con una legge di composizione interna ( A ; , )Struttura con due leggi di composizione interna

semigruppo

la prima struttura e’ ricalcata sull’insieme N con l’operazione di addizione od anche con l’operazione di moltiplicazione: e’ la struttura piu’ semplice, ed e’ possibile individuarla in moltissimi argomenti

Si definisce semigruppo ogni insieme di enti A su cui sia definita un’ operazione interna

\(\odot\)

associativa Cioe’ ( A ; ) e’ semigruppo se

\(\odot\)

e’ associativa; vale a dire che per ogni elemento a, b, c di A vale \((a b) c = a (b c)\)

Se l’operazione e’ commutativa il semigruppo si dice commutativo od anche abeliano Se inoltre un semigruppo e’ dotato di elemento neutro allora si chiama monoide

esempi: 1) Considero l’insieme N dei numeri naturali con l’operazione di addizione: In questo caso ho un semigruppo perche’ l’addizione e’ associativa e’ abeliamno perche’ l’addizione e’ commutativa ed e’ un monoide perche’ esiste l’elemento neutro (lo zero)

2) Considero l’insieme N dei numeri naturali con l’operazione di moltiplicazione: In questo caso ho un semigruppo perche’ la moltiplicazione e’ associativa e’ abeliamno perche’ la moltiplicazione e’ commutativa ed e’ un monoide perche’ esiste l’elemento neutro (l’ uno)

3) Considero l’insieme P dei numeri naturali pari con l’operazione di prodotto: In questo caso ho un semigruppo perche’ la moltiplicazione e’ associativa e’ abeliamno perche’ la moltiplicazione e’ commutativa Non ed e’ un monoide perche’in P non esiste l’elemento neutro (l’uno non e’ pari)

(12 : 6) : 2

4) Considero l’insieme Q dei numeri Razionali con l’operazione di divisione L’operazione di divisione non e’ associativa infatti: \(\neq\) 12 : ( 6 : 2) eseguendo i calcoli nel primo caso ottengo (12 : 6) : 2 = 2 : 2 = 1 nel secondo caso ottengo 12 : ( 6 : 2) = 12 : 3 = 4 Quindi l’insieme dei numeri razionali con l’operazione di divisione non forma semigruppo

esempio di semigruppo

Un esempio da illusionista: i tre bicchieri Per farti capire l’importanza delle strutture ti faccio un semplice esempio, un gioco di prestigio, da fare ad un amico una volta sola, altrimenti si capisce il trucco: Prendi 3 bicchieri (possibilmente a calice: fa piu’ scena) e ponili nel seguente modo:

\(L'immagine mostra un'icona stilizzata a forma di calice o bicchiere da vino.\)

Poi dici al tuo amico: “Guarda come faccio: prendo due bicchieri vicini e li rovescio finche’ non ho tutti e tre i bicchieri con il calice in alto” Ed esegui nel seguente modo: prima rovesci i primi due a sinistra

\(L'immagine mostra un'icona stilizzata a forma di calice o bicchiere da vino.\)

poi rovesci il secondo ed il terzo ed ottieni il risultato

\(L'immagine mostra un'icona stilizzata a forma di calice o bicchiere da vino.\)

Adesso prendi il bicchiere centrale, lo rovesci e dici al tuo amico: “Hai visto come e’ semplice; adesso fallo tu” Siccome adesso la configurazione e’

\(L'immagine mostra un'icona stilizzata a forma di calice o bicchiere da vino.\)

potrai divertirti a vedere il tuo amico cercare di portare i tre bicchieri con il calice in alto, senza potervi riuscire, ma tu rifiuta di spiegarlo Perche’ non puo’ riuscire? Semplicemente perche’ le varie configurazioni dei due calici fanno parte di due semigruppi diversi e il rovesciare due bicchieri adiacenti e’ l’operazione associativa sull’insieme delle configurazioni ed e’ un’operazione interna nel senso che partendo da un oggetto del semigruppo ottieni sempre e solo elementi del semigruppo Ti mostro i due semigruppi delle configurazioni possibili Configurazioni del primo semigruppo Configurazioni del secondo semigruppo

\(L'immagine mostra un'icona stilizzata a forma di calice o bicchiere da vino.\)

\(Sono 8 possibili configurazioni perche' sono disposizioni con ripetizione su due elementi (diritto e rovescio) di classe 3 (numero dei bicchieri) (calici): 2^3=8\)

esercizio

esercizio L’operazione di rovesciare due bicchieri consecutivi e’ associativa perche’ ad esempio hai fatto le operazioni

Rovescio il primo ed il secondo
Rovescio il secondo ed il terzo

Avresti ottenuto lo stesso risultato facendo prima la seconda e poi la prima

Rovescio il secondo ed il terzo
Rovescio il primo ed il secondo

Provare per credere!

Altro esempio: il gioco del 15 E’ un vecchio gioco degli anni 60: si tratta di una cornice con 15 tesserine identiche numerate da 1 a 15 in disordine e devono essere messe in ordine dall’1 al 15; utilizzando il quadratino vuoto puoi fare scorrere le tessere adiacenti: la configurazione giusta da ottenere e’ la seguente:

\(Un diagramma mostra una griglia 4x4. Le prime 15 celle sono di colore verde chiaro e contengono i numeri da 1 a 15, disposti in ordine crescente da sinistra a destra e dall'alto verso il basso. La sedicesima cella, in basso a destra, è di colore blu solido e non contiene alcun numero.\)

Partendo da questa e spostando le varie tessere utilizzando la casella vuota e’ sempre possibile tornale alla configurazione iniziale Se pero’ estrai una tesserina e la rimonti ad esempio in questo modo

(ho scambiato il 15 con il 14) allora non sara’ piu’ possibile ottenere la configurazione delle tesserine numerate da 1 a 15 Anche qui, come nell’esempio precedente rispetto all’operazione di fare scorrere le tesserine utilizzando la casella vuota otteniamo due diversi semigruppi di configurazioni uno indipendente dall’altro.

gruppo

Abbiamo qui una struttura un po’ piu’ complessa che ci e’ suggerita dall’insieme Z con l’operazione di addizione od anche dall’insieme Q-{0} (Insieme dei razionali escluso il numero 0) con l’operazione di moltiplicazione

gruppo (A ;

\(\odot\)

Si definisce ) un insieme di enti A su cui sia definita un’ operazione

\(\odot\)

che goda delle seguenti proprieta’:

\(\odot\)

ogni elemento a possiede in

\(\odot\)

e’ interna cioe’ (a b) A
e’ associativa, cioe’ \((a b) c = a ( b c)\)
possiede l’elemento neutro n \(a n = n a = a\)
l’elemento simmetrico a’ tale che: a a' = a' a = n

Se il gruppo gode della proprieta’ commutativa allora il gruppo si dice commutativo o abeliano Se il gruppo ha un numero finito di elementi allora si chiama gruppo finito e dal numero n dei suoi elementi si dice anche gruppo di ordine n

Nella prossima pagina qualche esempio servira’ a chiarire meglio in concetto

esempi di strutture di gruppo

Esempi di strutture di gruppo 1) Consideriamo l’insieme Z dei numeri interi con l’operazione di addizione: allora la struttura ( Z; + ) e’ una struttura di gruppo; infatti

La somma in Z e’ un’operazione interna: il risultato della somma appartiene sempre a Z
La somma in Z e’ associativa, infatti presi comunque tre numeri interi a, b e c, vale sempre la proprieta’ \((a + b) + c = a + (b + c)\)
Lo zero e’ l’elemento neutro per la somma in Z, infatti preso comunque un numero intero a vale sempre la proprieta’ \(a + 0 = 0 + a = a\)
L’elemento simmetrico rispetto alla somma in Z e’ l’elemento che ha il segno cambiato (opposto), infatti preso comunque un numero intero a vale sempre la proprieta’ \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)

2) Consideriamo l’insieme Q dei numeri razionali con l’operazione di moltiplicazione ·: allora la struttura ( Q; · ) non e’ una struttura di gruppo, infatti: Sono verificate la prima e la seconda proprieta’ ma esiste un elemento, lo zero che non possiede l’elemento inverso e quindi non e’ verificata la terza proprieta’ dei gruppi.

Mentre per mostrare che una proprieta’ e’ vera devi dimostrarla per tutti gli elementi su cui agisce, per dimostrare che una proprieta’ e’ falsa e’ sufficiente far vedere che esiste un elemento per cui tale proprieta’ non e’ valida

3) Consideriamo invece l’insieme Q – {0} dei numeri interi senza lo zero con l’operazione di moltiplicazione: allora la struttura ( Q – {0}; · ) e’ una struttura di gruppo; infatti

L’elemento simmetrico rispetto al prodotto in Q – {0} e’ l’elemento del tipo 1/a (inverso), infatti preso comunque un numero intero a vale sempre la proprieta’ a · \(1---a\) \(=\) \(1---a\) · a = 1

Il prodotto in Q – {0} e’ un’operazione interna: il risultato del prodotto fra due numeri in Q – {0} appartiene sempre a Q – {0}
Il prodotto in Q – {0} e’ associativo, infatti presi comunque tre numeri interi a, b e c, vale sempre la proprieta’ (a · b) · c = a · (b · c)
L’uno 1 e’ l’elemento neutro per il prodotto in Q – {0}, infatti preso comunque un numero razionale a vale sempre la proprieta’ a · 1 = 1· a = a
e, non essendoci lo zero, ogni elemento ha un suo inverso

4) Vediamo un gruppo parecchio “strano” Prendiamo l’insieme composto dal solo numero uno { 1 } con l’operazione di moltiplicazione · ({ 1 } , ·) e’ un gruppo, infatti:

L’operazione di prodotto e’ interna: il risultato e’ sempre 1
Il prodotto in { 1 } e’ associativo, infatti (1 · 1) · 1 = 1 · (1 · 1)
L’uno 1 e’ l’elemento neutro per il prodotto in { 1 }, infatti 1 · 1 = 1· 1 = 1
L’elemento simmetrico rispetto al prodotto in { 1 } e’ lo stesso 1 infatti 1 · 1 = 1· 1 = 1 essendo l’1 finale l’elemento neutro

Esercizio Prova a dimostrare che l’insieme composto dal solo numero zero { 0 } con l’operazione di addizione + ( { 0 } , + ) e’ un gruppo questo ed il gruppo precedente vengono anche chiamati gruppo banale

proprieta' dei gruppi

Proprieta' dei gruppi Vediamo ora alcune proprieta’ dei gruppi e facciamone la dimostrazione: vedrai un tipo di ragionamento piuttosto “originale” ma che porta ad ottimi risultati

Unicita’ dell’elemento neutro
Unicita’ dell’elemento simmetrico
Ogni elemento e’ semplificabile

unicita' dell'elemento neutro

In ogni gruppo (A ;

\(\odot\)

Unicita' dell'elemento neutro Proprieta’: ) l’elemento neutro e’ unico Cioe’ in ogni gruppo c’e’ un elemento neutro ed uno solo

Dimostrazione: Ipotesi: (A ;

\(\odot\)

) e’ un gruppo Tesi: l’elemento neutro n e’ unico Per definizione di gruppo un elemento neutro deve esistere quindi bastera’ dimostrare che c’e n’e’ uno solo (e’ unico) Per assurdo supponiamo che esistano due elementi neutri n ed u, allora avro’ per ogni elemento a di A:

\(n a = a n = a\)
\(u a = a u = a\)

Ora, essendo u un elemento di A considero a = u ed ottengo dalla prima \(n u = u n = u\) Poi essendo n un elemento di A considero a = n ed ottengo dalla seconda \(u n = n u = n\) Confrontando le uguaglianze sopra ottengo \(n = u\) Cioe’ se esistono due elementi neutri essi sono uguali, come volevamo dimostrare.

unicita' dell'elemento simmetrico

In ogni gruppo (A ;

\(\odot\)

Unicita' dell'elemento simmetrico Proprieta’: ) per ogni elemento a esiste un solo elemento simmetrico

Dimostrazione: Ipotesi: (A ;

\(\odot\)

) e’ un gruppo Tesi: per ogni elemeto a e’ unico a’ tale che a’=n Per definizione di gruppo dato un elemento a il simmetrico deve esistere quindi bastera’ dimostrare che c’e n’e’ uno solo (e’ unico) Per assurdo supponiamo che, dato l’elemento a esistano due elementi simmetrici a’ ed a”, allora avro’ per definizione di elemento simmetrico :

a a' = a' a = n
a a" = a" a = n

\(\odot\)

Sviluppo a’ fino ad ottenere a” a' = a' n = al posto di n metto a” ) = a' ( a a" ) = Uso la proprieta’ associativa per collegare a con a’ = (a' a ) a" = Ma a ) = n quindi = n a" = e, per la proprieta’ dell’elemento neutro n = a" Quindi leggendo il primo e l’ultimo termine dell’uguaglianza ottengo a' = a" Cioe’ se esistono due elementi simmetrici essi sono uguali, come volevamo dimostrare.

ogni elemento e' semplificabile

In ogni gruppo (A ;

\(\odot\)

) per ogni elemento a, b, c da a

\(\odot\)

b = a

\(\odot\)

Ogni elemento e' semplificabile Proprieta’: c segue b = c Cioe’ posso togliere la a, sarebbe a dire che ogni elemento si ottiene da un altro in modo unico

(A ;

\(\odot\)

b = a

\(\odot\)

( a’

\(\odot\)

Dimostrazione: Ipotesi: ) e’ un gruppo, c Tesi: b = c Partiamo dall’uguaglianza dell’ipotesi Per arrivare alla tesi dobbiamo eliminare la a quindi componiamo i due membri dell’uguaglianza con a’ (un elemento si elimina con il suo inverso) a' ( a b) = a' ( a c) Ora applico la proprieta’ associativa in modo da mettere a’ con a ( a' a ) b = ( a' a ) c Ora so che a ) e’ l’elemento neutro n \(n b = n c\) E, per definizione di elemento neutro, \(b = c\) Come volevamo dimostrare.

insieme dei resti modulo p

Insieme dei resti modulo p (o relazione di congruenza modulo p)

Dipendentemente dal tuo libro di testo avrai la prima o la seconda denominazione

Ricordo quando all’Universita’ incontrai per la prima volta l’algebra astratta: non riuscivo a dare un senso a tutta quella teoria campata in aria: semigruppi, gruppi… non ci vedevo nient’altro che una generalizzazione degli insiemi numerici! Poi finalmente il Professore ci fece una lezione sull’insieme dei resti modulo p e, finalmente, tutto quanto mi apparve sotto una nuova luce: non si trattava solo di una generalizzazione degli insiemi numerici, ma di di una nuova costruzione logica che prometteva grandi risultati

Per comprendere bene lo svolgimento e’ necessario conoscere bene la teoria degli insiemi in generale e le relazioni di equivalenza in particolare

Cosa significa resto modulo p
Relazione di equivalenza ed insieme quoziente su N
Collegamento ai sistemi di numerazione
Rappresentazione di un gruppo finito mediante la tabella di Cayley
Insieme dei resti modulo p (o relazione di congruenza modulo p)

cosa significa resto modulo p

Cosa significa resto modulo p Consideriamo l’insieme N dei numeri naturali con l’operazione di divisione per un numero ad esempio divisione per 5: allora per ogni numero naturale otterro’ un quoziente ed un resto: ad esempio 7 : 5 da' quoziente 1 e resto 2 10 : 5 da' quoziente 2 e resto 0 12 : 5 da' quoziente 2 e resto 2 19 : 5 da' quoziente 3 e resto 4 in pratica per i quozienti posso ottenere vari risultati mentre per i resti i risultati saranno solamente \(0, 1, 2, 3, 4.\)Non ho capito

Se la divisione la facciamo per 4 allora anche qui otterro’ per ogni numero naturale un quoziente ed un resto: esempio 7 : 4 da' quoziente 1 e resto 3 10 : 4 da' quoziente 2 e resto 2 12 : 4 da' quoziente 3 e resto 0 19 : 4 da' quoziente 4 e resto 3 in questo caso per i quozienti posso ottenere vari risultati mentre per i resti i risultati saranno solamente \(0, 1, 2, 3.\)Non ho capito

Proviamo la divisione per 9, anche qui otterro’ per ogni numero naturale un quoziente ed un resto: esempio 7 : 9 da' quoziente 0 e resto 7 10 : 9 da' quoziente 1 e resto 1 12 : 9 da' quoziente 1 e resto 3 19 : 9 da' quoziente 2 e resto 1 in questo caso per i quozienti posso ottenere vari risultati mentre per i resti i risultati saranno solamente \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.\)vorrei vedere meglio

esercizio facciamo la divisione per 5 per tutti i numeri naturali 0 : 5 da' quoziente 0 e resto 0 1 : 5 da' quoziente 0 e resto 1 2 : 5 da' quoziente 0 e resto 2 3 : 5 da' quoziente 0 e resto 3 4 : 5 da' quoziente 0 e resto 4 5 : 5 da' quoziente 1 e resto 0 6 : 5 da' quoziente 1 e resto 1 7 : 5 da' quoziente 1 e resto 2 8 : 5 da' quoziente 1 e resto 3 9 : 5 da' quoziente 1 e resto 4 10 : 5 da' quoziente 2 e resto 0 11 : 5 da' quoziente 2 e resto 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . se osservi i resti essi sono: 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, . . . . . Cioe’ partono da fino a 4 poi si ripetono Quindi i resti possibili sono solamente 0, 1, 2, 3, 4.

esercizio facciamo la divisione per 4 per tutti i numeri naturali 0 : 4 da' quoziente 0 e resto 0 1 : 4 da' quoziente 0 e resto 1 2 : 4 da' quoziente 0 e resto 2 3 : 4 da' quoziente 0 e resto 3 4 : 4 da' quoziente 1 e resto 0 5 : 4 da' quoziente 1 e resto 1 6 : 4 da' quoziente 1 e resto 2 7 : 4 da' quoziente 1 e resto 3 8 : 4 da' quoziente 2 e resto 0 9 : 4 da' quoziente 2 e resto 1 10 : 4 da' quoziente 2 e resto 2 11 : 4 da' quoziente 2 e resto 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . se osservi i resti essi sono: 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3 . . . . . Cioe’ partono da fino a 3 poi si ripetono Quindi i resti possibili sono solamente 0, 1, 2, 3.

esercizio facciamo la divisione per 9 per tutti i numeri naturali 0 : 9 da' quoziente 0 e resto 0 1 : 9 da' quoziente 0 e resto 1 2 : 9 da' quoziente 0 e resto 2 3 : 9 da' quoziente 0 e resto 3 4 : 9 da' quoziente 0 e resto 4 5 : 9 da' quoziente 0 e resto 5 6 : 9 da' quoziente 0 e resto 6 7 : 9 da' quoziente 0 e resto 7 8 : 9 da' quoziente 0 e resto 8 9 : 9 da' quoziente 1 e resto 0 10 : 9 da' quoziente 1 e resto 1 11 : 9 da' quoziente 1 e resto 2 12 : 9 da' quoziente 1 e resto 3 13 : 9 da' quoziente 1 e resto 4 14 : 9 da' quoziente 1 e resto 5 15 : 9 da' quoziente 1 e resto 6 16 : 9 da' quoziente 1 e resto 7 17 : 9 da' quoziente 1 e resto 8 18 : 9 da' quoziente 2 e resto 0 19 : 9 da' quoziente 2 e resto 1 11 : 9 da' quoziente 1 e resto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . se osservi i resti essi sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1 . . . . . Cioe’ partono da fino a 8 poi si ripetono Quindi i resti possibili sono solamente 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

relazione di equivalenza ed insieme quoziente

Ora procediamo su un esempio numerico per il divisore (5): poi potremo generalizzare a tutti i naturali maggiori di 1

Considero il resto dell’operazione di divisione su N per 5: La relazione “Avere lo stesso resto nell’operazione di divisione di un numero naturale per 5” e’ una relazione di equivalenza: Dimostrazione Questa relazione di equivalenza, applicata all’insieme N, lo suddivide nei sottoinsiemi (partizione di N):

Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto
Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 1
Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 2
Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 3
Sottoinsieme degli elementi che hanno come resto 4

Se ora considero l’insieme quoziente allora da N ottengo l’insieme dei resti modulo 5 \(r_5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }\) Lo chiamo con la lettera minuscola per non confonderlo con l’insieme R dei numeri reali.

Potro’ applicare lo stesso ragionamento con qualunque divisore che sia un elemento di N diverso da 0 ed 1 Nelle prossime pagine su questi insiemi r\(_{_5}\), r\(_{_4}\), r\(_{_3}\), r\(_{_2}\), r\(_{_6}\), r\(_{_7}\), r\(_{_8}\), r\(_{_9}\), . . . . studieremo nei particolari le strutture di gruppo con le operazioni

\(\oplus\)

\(\otimes\)

Inizio prima da r\(_{_5}\) perche’ siamo partiti da questo esempio, poi sviluppero’ r\(_{_4}\)r\(_{_3}\) e, particolarmente importante, r\(_{_2}\), poi riprendero’ da r\(_{_6}\) e continuero’ fino ad r\(_{_9}\), ma potrei continuare tranquillamente fin dove voglio

Posso considerare solo i numeri Naturali maggiori di 1 perche’:

Non posso considerare lo zero perche’ non ha senso la divisione di un numero per zero
Se faccio la divisione per 1, essendo 1 il divisore di tutti i numeri, ottengo come resto sempre lo zero; quindi, per i resti, non avrebbe senso considerare la divisione per 1

Dimostriamo che la relazione su N: “Avere lo stesso resto nell’operazione di divisione di un numero naturale per 5” e’ una relazione di equivalenza: Dobbiamo dimostrare che la relazione e’ riflessiva, simmetrica e transitiva

E’ riflessiva perche’ lo stesso numero diviso per 5 avra’ sempre lo stesso resto
E’ simmetrica perche’ se il numero a ha lo stesso resto del numero b allora anche il numero b ha lo stesso resto del numero a esempio se 7 ha lo stesso resto di 12 allora anche 12 ha lo stesso resto di 7
E’ transitiva: se a ha lo stesso resto di b e b ha lo stesso resto di c allora a ha lo stesso resto di c esempio se 7 ha lo stesso resto di 12 e 12 ha lo stesso resto di 27 allora 7 ha lo stesso resto di 27

collegamento ai sistemi di numerazione

Non posso procedere senza fare notare i profondi collegamenti che esistono fra i resti modulo p e i sistemi di numerazione in base p Dopo sviluppati i sistemi di numerazione sostituire la pagina con un link ai sistemi di numerazione

Vedremo, nei sistemi di numerazione, che , per trovare le cifre di un numero in base qualunque p (sistema di numerazione in base p) bastera’ calcolarne i successivi resti della divisione del numero per p e poi considerare tali resti in ordine inverso: cio’ deriva dal fatto che consideriamo i numeri in forma polinomiale e quindi, dividendo un numero per p troviamo i successivi temini con le potenze di p Due esempi serviranno a rendere meglio l’idea

prima un esempio banale: consideriamo il numero decimale 34567 in forma polinomiale posso scriverlo come 3·10\(^{^4}\) + 4·10\(^{^3}\) + 5·10\(^{^2}\) + 6·10\(^{^1}\) + 7·10 Se ora divido questo numero per 10 ottengo che tutte le potenze del 10 diminuiscono di 1 e l’ultimo termine e’ il resto quoziente = 3·10\(^{^3}\) + 4·10\(^{^2}\) + 5·10\(^{^1}\) + 6·10 resto = \(7\) dividendo ancora per 10 avro’ quoziente = 3·10\(^{^2}\) + 4·10\(^{^1}\) + 5·10 resto = \(6\) dividendo ancora per 10 avro’ quoziente = 3·10\(^{^1}\) + 4·10 resto = \(5\) divido ancora per 10 ed ho quoziente = 3·10 resto = \(4\) divido ancora per 10 ed ho quoziente = resto = \(3\) Se scrivo i resti in ordine inverso ottengo il numero in base 10 (naturalmente coincide con il numero di partenza 34567

quoziente resto

34567

6913 \(2\)

1382 \(3\)

276 \(2\)

55 \(1\)

2 \(1\)

0 \(2\)

Proviamo ora a scrivere lo stesso numero in base 5 (34567)\(_{_{10}}\) = ( … )\(_{_5}\) Divido il numero per 5 una prima volta quoziente = 6913 resto = \(2\) divido per 5 quoziente = 1382 resto = \(3\) divido per 5 quoziente = 276 resto = \(2\) divido per 5 quoziente = 55 resto = \(1\) divido per 5 quoziente = 11 resto = divido per 5 quoziente = 2 resto = \(1\) divido per 5 quoziente = resto = \(2\) Quindi ottengo: (34567)\(_{_{10}}\) = (2101232)\(_{_5}\) Equivale a dire che 3·10\(^{^4}\) + 4·10\(^{^3}\) + 5·10\(^{^2}\) + 6·10\(^{^1}\) + 7·10 = 2·5\(^{^6}\) + 1·5\(^{^5}\) + 0·5\(^{^4}\) + 1·5\(^{^3}\) + 2·5\(^{^2}\) + 3·5\(^{^1}\) + 2·5

Visti questi legami potremo anche considerare le tabelle di Cayley (che faremo nella prossima pagina) come le tavole pitagoriche per la somma e per la moltiplicazione dei vari sistemi di numerazione, pero’ ristrette al solo numero finale

rappresentazione di un gruppo finito mediante la tabella di Cayley

Rappresentazione di un gruppo finito mediante la tabella di Cayley E’ possibile rappresentere i gruppi finiti (gruppi con un numero finito di elementi) mediante dei particolari diagrammi chiamati diagrammi di Cayley; vediamoli su un paio di gruppi

Considero l’insieme A che ha come elementi: Primo elemento = insieme dei numeri pari = p Secondo elemento = insieme di numeri dispari= d \(A = { p , d }\) considero l’operazione di addizione

\(\oplus\)

Allora { A , } e’ un gruppo Posso rappresentarlo come p d

p p d

d d p

\(\oplus\)

E’ come una tavola pitagorica: i dati sono quelli neri; quelli rossi li trovo come incrocio, ad esempio: p = p pari piu’ pari uguale pari d = d pari piu’ dispari uguale dispari p = d dispari piu’ pari uguale dispari d = p dispari piu’ dispari uguale pari Se non hai capito bene ferma il mouse sulla casella che ti interessa Osservando la tabella di Cayley vedi la struttura di gruppo: nel nostro caso p e’ l’elemento neutro L’elemento inverso lo trovi guardando le caselle che hanno come risultato l’elemento neutro: nel nostro caso l’inverso di d e’ d.

Altro esempio: (devi saper usare i numeri immaginari) Considero l’insieme \(A = { i, -1, -i, 1 }\)sono le potenze di i con l’operazione di moltiplicazione

\(\otimes\)

La struttura { A , } e’ un gruppo Posso rappresentarlo come 1 i -1 -i

1 \(1\) i \(-1\) \(-i\)

i i \(-1\) \(-i\) \(1\)

-1 \(-1\) \(-i\) \(1\) i

-i \(-i\) \(1\) i \(-1\)

Per i calcoli ferma il mouse sulla casella con il risultato (in rosso) che ti interessa. Dalla tabella puoi vedere che 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 1 e’ l’opposto di se’ stesso -1 e’ l’opposto di se’ stesso i e’ l’opposto di -i

Se il gruppo e’ commutativo allora la tabella di Cayley e’ simmetrica rispetto alla diagonale principale (questo aiuta molto nel costruirla)

Vediamone un altro: Consideriamo tutte le possibili rotazioni attorno al punto di incontro delle diagonali da far eseguire ad un quadrato in modo che i vertici siano sempre coincidenti L’operazione di rotazione

\(\odot\)

avra’ solamente 4 valori (essendo ciclica per 360° cioe’ dopo 360 ° si ripete) a\(_{_1}\) = 0° a\(_{_2}\) = 90° a\(_{_3}\) = 180° a\(_{_4}\) = 270° La tabella di Cayley sara’ quindi: \(a_1\) \(a_2\) \(a_3\) \(a_4\)

\(a_1\) \(a_1\) \(a_2\) \(a_3\) \(a_4\)

\(a_2\) \(a_2\) \(a_3\) \(a_4\) \(a_1\)

\(a_3\) \(a_3\) \(a_4\) \(a_1\) \(a_2\)

\(a_4\) \(a_4\) \(a_1\) \(a_2\) \(a_3\)

Da notare che ponendo a\(_{_1}\) = 1 a\(_{_2}\) = i a\(_{_3}\) = -1 a\(_{_4}\) = -i i due gruppi precedenti coincidono: infatti i numeri complessi e le rotazioni nel piano sono diversi aspetti della stessa realta’

insieme dei resti modulo n, relazione di congruenza modulo n

Insieme dei resti modulo p (o relazione di congruenza modulo p)

\(Per ogni insieme di resti r_p considereremo sia la struttura con operazione addittiva ( r_p , ) che la struttura con operazione moltiplicativa ( r_p , )\)

Insieme dei resti modulo 5
Insieme dei resti modulo 4
Insieme dei resti modulo 3
Insieme dei resti modulo 2
Insieme dei resti modulo 6
Insieme dei resti modulo 7
Insieme dei resti modulo 8
Insieme dei resti modulo 9

insieme dei resti modulo 5, relazione di congruenza modulo 5

Insieme dei resti modulo 5 (o relazione di congruenza modulo 5)

Per vedere i calcoli ferma il mouse sul numero della tabella che ti interessa

(r\(_{_5}\) ,

\(\oplus\)

Vediamo prima il gruppo additivo ) 1 2 3 4

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

2 \(2\) \(3\) \(4\) \(1\)

3 \(3\) \(4\) \(1\) \(2\)

4 \(4\) \(1\) \(2\) \(3\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento neutro (sommandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 0: gli 0 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 2 e’ l’opposto di 3 e viceversa 1 e’ l’opposto di 4 e viceversa e’ l’opposto di se’ stesso quando abbiamo un gruppo additivo l’elemento inverso si chiama anche opposto

(r\(_{_5}\) ,

\(\otimes\)

Vediamo quindi la tabella di Cayley per ) 1 2 3 4

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

2 \(2\) \(4\) \(1\) \(3\)

3 \(3\) \(1\) \(4\) \(2\)

4 \(4\) \(3\) \(2\) \(1\)

(r\(_{_5}\) -{0} ,

\(\otimes\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento assorbente (moltiplicandolo per gli altri li fa diventare 0 (li assorbe); per poter avere la struttura di gruppo dovresti togliere lo zero, ) perche’ lo zero non ha elemento inverso Questo ragionamento sara’ possibile farlo quando l’ordine del gruppo e’ un numero primo, invece per basi quali 4,6,8,9,… vedremo che nella tabella moltiplicativa compariranno dei divisori dello zero, di conseguenza non potremo piu’ parlare di gruppo. 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 2 e’ l’inverso di 3 e viceversa 1 e’ l’inverso di se’ stesso 4 e’ l’inverso di se’ stesso Tabelle di questo tipo ci suggeriscono una nuova struttura: l’anello

insieme dei resti modulo 4, relazione di congruenza modulo 4

Insieme dei resti modulo 4 (o relazione di congruenza modulo 4)

Per vedere i calcoli ferma il mouse sul numero della tabella che ti interessa

(r\(_{_4}\) ,

\(\oplus\)

Vediamo prima il gruppo additivo ) 1 2 3

\(1\) \(2\) \(3\)

1 \(1\) \(2\) \(3\)

2 \(2\) \(3\) \(1\)

3 \(3\) \(1\) \(2\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento neutro (sommandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 0: gli 0 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 1 e’ l’opposto di 3 e viceversa 2 e’ l’opposto di se’ stesso quando abbiamo un gruppo additivo l’elemento inverso si chiama anche opposto

(r\(_{_4}\) ,

\(\otimes\)

Vediamo quindi la tabella di Cayley per ) 1 2 3

1 \(1\) \(2\) \(3\)

2 \(2\) \(2\)

3 \(3\) \(2\) \(1\)

(r\(_{_4}\) -{0} ,

\(\otimes\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento assorbente: moltiplicandolo per gli altri li fa diventare 0 (li assorbe). Qui non puoi avere la struttura di gruppo nemmeno togliendo lo zero, ) perche’ il valore 2 e’ un divisore dello zero : 2 = 0 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: non ha inverso 2 non ha inverso 1 e’ l’inverso di se’ stesso 3 e’ l’inverso di se’ stesso

Da notare che troveremo un numero divisore dello zero quando il numero p di r\(_{_p}\) non e’ primo, cioe’ troveremo divisori dello zero in r\(_{_4}\), r\(_{_6}\), r\(_{_8}\), r\(_{_9}\), . . . inoltre il numero per se’ stesso dara’ 0 quando p e’ un quadrato perfetto, cioe’ in r\(_{_4}\), r\(_{_9}\), r\(_{_{16}}\), . . .

insieme dei resti modulo 3, relazione di congruenza modulo 3

Insieme dei resti modulo 3 (o relazione di congruenza modulo 3)

Per vedere i calcoli ferma il mouse sul numero della tabella che ti interessa

(r\(_{_3}\) ,

\(\oplus\)

Vediamo prima il gruppo additivo ) 1 2

\(1\) \(2\)

1 \(1\) \(2\)

2 \(2\) \(1\)

(r\(_{_3}\) ,

\(\otimes\)

Vediamo quindi la tabella di Cayley per ) 1 2

1 \(1\) \(2\)

2 \(2\) \(1\)

(r\(_{_3}\) -{0} ,

\(\otimes\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento assorbente: moltiplicandolo per gli altri li fa diventare 0 (li assorbe). Per poter avere la struttura di gruppo dovresti togliere lo zero, ) perche’ lo zero non ha elemento inverso 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: non ha inverso 1 e’ l’inverso di se’ stesso 2 e’ l’inverso di se’ stesso

insieme dei resti modulo 2, relazione di congruenza modulo 2

Insieme dei resti modulo 2 (o relazione di congruenza modulo 2)

Questa e’importantissima: e’ alla base del sistema di numerazione a base 2, cioe’ del sistema di numerazione su cui si basa l’Informatica Inoltre puoi trovarne strutture isomorfe in varie discipline (mettere vari link)

Per vedere i calcoli ferma il mouse sul numero della tabella che ti interessa

(r\(_{_2}\) ,

\(\oplus\)

Vediamo prima il gruppo additivo ) 1

\(1\)

1 \(1\)

(r\(_{_2}\) ,

\(\otimes\)

Vediamo quindi la tabella di Cayley per ) 1

1 \(1\)

(r\(_{_3}\) -{0} ,

\(\otimes\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento assorbente: moltiplicandolo per gli altri li fa diventare 0 (li assorbe). Per poter avere la struttura di gruppo dovresti togliere lo zero, ) perche’ lo zero non ha elemento inverso, ma ottieni il gruppo banale (vedi il 4º esempio e l’esercizio della pagina) 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia) Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: non ha inverso 1 e’ l’inverso di se’ stesso

insieme dei resti modulo 6, relazione di congruenza modulo 6

Insieme dei resti modulo 6 (o relazione di congruenza modulo 6)

Per vedere i calcoli ferma il mouse sul numero della tabella che ti interessa

(r\(_{_6}\) ,

\(\oplus\)

Vediamo prima il gruppo additivo ) 1 2 3 4 5

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

2 \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(1\)

3 \(3\) \(4\) \(5\) \(1\) \(2\)

4 \(4\) \(5\) \(1\) \(2\) \(3\)

5 \(5\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento neutro (sommandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 0: gli 0 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 1 e’ l’opposto di 5 e viceversa 2 e’ l’opposto di 4 e viceversa 3 e’ l’opposto di se’ stesso e’ l’opposto di se’ stesso quando abbiamo un gruppo additivo l’elemento inverso si chiama anche opposto

(r\(_{_6}\) ,

\(\otimes\)

Vediamo quindi la tabella di Cayley per ) 1 2 3 4 5

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

2 \(2\) \(4\) \(2\) \(4\)

3 \(3\) \(3\) \(3\)

4 \(4\) \(2\) \(4\) \(2\)

5 \(5\) \(4\) \(3\) \(2\) \(1\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento assorbente (moltiplicandolo per gli altri li fa diventare 0 (li assorbe); stavolta anche togliendo lo 0 non hai strutture di gruppo 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 2, 3 e 4 sono divisori dello zero e non hanno inversi 1 e’ l’inverso di se’ stesso 5 e’ l’inverso di se’ stesso

insieme dei resti modulo 7, relazione di congruenza modulo 7

Insieme dei resti modulo 7 (o relazione di congruenza modulo 7)

Per vedere i calcoli ferma il mouse sul numero della tabella che ti interessa

(r\(_{_7}\) ,

\(\oplus\)

Vediamo prima il gruppo additivo ) 1 2 3 4 5 6

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)

2 \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(1\)

3 \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(1\) \(2\)

4 \(4\) \(5\) \(6\) \(1\) \(2\) \(3\)

5 \(5\) \(6\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

6 \(6\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento neutro (sommandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 0: gli 0 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 1 e’ l’opposto di 6 e viceversa 2 e’ l’opposto di 5 e viceversa 3 e’ l’opposto di 4 e viceversa e’ l’opposto di se’ stesso quando abbiamo un gruppo additivo l’elemento inverso si chiama anche opposto

(r\(_{_7}\) ,

\(\otimes\)

Vediamo quindi la tabella di Cayley per ) 1 2 3 4 5 6

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)

2 \(2\) \(4\) \(6\) \(1\) \(3\) \(5\)

3 \(3\) \(6\) \(2\) \(5\) \(1\) \(4\)

4 \(4\) \(1\) \(5\) \(2\) \(6\) \(3\)

5 \(5\) \(3\) \(1\) \(6\) \(4\) \(2\)

6 \(6\) \(5\) \(4\) \(3\) \(2\) \(1\)

(r\(_{_7}\) -{0} ,

\(\otimes\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento assorbente (moltiplicandolo per gli altri li fa diventare 0 (li assorbe); per poter avere la struttura di gruppo dovresti togliere lo zero, ) perche’ lo zero non ha elemento inverso 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 2 e’ l’inverso di 4 e viceversa 3 e’ l’inverso di 5 e viceversa 6 e’ l’inverso di se’ stesso Queste tabelle ci suggeriscono una nuova struttura: l’anello

insieme dei resti modulo 8, relazione di congruenza modulo 8

Insieme dei resti modulo 8 (o relazione di congruenza modulo 8)

Per vedere i calcoli ferma il mouse sul numero della tabella che ti interessa

(r\(_{_8}\) ,

\(\oplus\)

Vediamo prima il gruppo additivo ) 1 2 3 4 5 6 7

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(6\)

2 \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(6\) \(1\)

3 \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(1\) \(2\)

4 \(4\) \(5\) \(6\) \(6\) \(1\) \(2\) \(3\)

5 \(5\) \(6\) \(7\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

6 \(6\) \(7\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

7 \(7\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento neutro (sommandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 0: gli 0 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 1 e’ l’opposto di 7 e viceversa 2 e’ l’opposto di 6 e viceversa 3 e’ l’opposto di 5 e viceversa 4 e’ l’opposto di se’ stesso e’ l’opposto di se’ stesso quando abbiamo un gruppo additivo l’elemento inverso si chiama anche opposto

(r\(_{_8}\) ,

\(\otimes\)

Vediamo quindi la tabella di Cayley per ) 1 2 3 4 5 6 7

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)

2 \(2\) \(4\) \(6\) \(2\) \(4\) \(6\)

3 \(3\) \(6\) \(1\) \(4\) \(7\) \(2\) \(5\)

4 \(4\) \(4\) \(4\) \(4\)

5 \(5\) \(2\) \(7\) \(4\) \(1\) \(6\) \(3\)

6 \(6\) \(4\) \(2\) \(6\) \(4\) \(2\)

7 \(7\) \(6\) \(5\) \(4\) \(3\) \(2\) \(1\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento assorbente (moltiplicandolo per gli altri li fa diventare 0 (li assorbe); anche togliendo lo zero stavolta non hai strutture di gruppo 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 2 non ha inverso 4 non ha inverso 6 non ha inverso non ha inverso 1 e’ l’inverso di se’ stesso 3 e’ l’inverso di se’ stesso 5 e’ l’inverso di se’ stesso 7 e’ l’inverso di se’ stesso

insieme dei resti modulo 9, relazione di congruenza modulo 9

Insieme dei resti modulo 9 (o relazione di congruenza modulo 9)

Per vedere i calcoli ferma il mouse sul numero della tabella che ti interessa

(r\(_{_9}\) ,

\(\oplus\)

Vediamo prima il gruppo additivo ) 1 2 3 4 5 6 7 8

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\)

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(6\) \(8\)

2 \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(6\) \(8\) \(1\)

3 \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(1\) \(2\)

4 \(4\) \(5\) \(6\) \(6\) \(1\) \(2\) \(3\)

5 \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

6 \(6\) \(7\) \(8\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

7 \(7\) \(8\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)

8 \(8\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento neutro (sommandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 0: gli 0 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 1 e’ l’opposto di 8 e viceversa 2 e’ l’opposto di 7 e viceversa 3 e’ l’opposto di 6 e viceversa 4 e’ l’opposto di 5 e viceversa e’ l’opposto di se’ stesso quando abbiamo un gruppo additivo l’elemento inverso si chiama anche opposto

(r\(_{_9}\) ,

\(\otimes\)

Vediamo quindi la tabella di Cayley per ) 1 2 3 4 5 6 7 8

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(7\)

2 \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(1\) \(3\) \(5\) \(7\)

3 \(3\) \(6\) \(3\) \(6\) \(3\) \(6\)

4 \(4\) \(8\) \(3\) \(7\) \(2\) \(6\) \(1\) \(5\)

5 \(5\) \(1\) \(6\) \(2\) \(7\) \(3\) \(8\) \(4\)

6 \(6\) \(3\) \(6\) \(3\) \(6\) \(3\)

7 \(7\) \(5\) \(3\) \(1\) \(8\) \(6\) \(4\) \(2\)

8 \(8\) \(7\) \(6\) \(5\) \(4\) \(3\) \(2\) \(1\)

Dalla tabella puoi vedere che e’ l’elemento assorbente (moltiplicandolo per gli altri li fadiventare 0 (li assorbe); anche togliendo lo zero stavolta non hai strutture di gruppo 1 e’ l’elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l’inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all’incrocio di elementi inversi, quindi: 2 e’ l’inverso di 5 4 e’ l’inverso di 7 3 e’ divisore dello zero e non ha inverso 6 e’ divisore dello zero e non ha inverso non ha inverso 1 e’ l’inverso di se’ stesso 8 e’ l’inverso di se’ stesso

Proprieta' dei gruppi Dovremmo ora studiare le onozioni di omomorfismo, sottogruppo normale di un gruppo, gruppo quoziente, eccetera… Tali nozioni, pero’, eccedono i vari programmi della scuola media superiore e quindi non verranno trattati, almeno per ora. Penso che sviluppero’ tali argomenti, in modo elementare, nella seconda stesura del sito

anello

Veniamo quindi ad una struttura piu’ complessa che corrisponde alla struttura dell’insieme Z con le due operazioni di addizione e moltiplicazione: la struttura ad anello: consideriamo un insieme con due operazioni, una addittiva ed una moltiplicativa, pero’ per la struttura moltiplicativa gli elementi non hanno inverso; quindi tale fatto impedira’ di poter considerare un gruppo moltiplicativo e potremo considerare solo un semigruppo

anello (A ;

\(\oplus\)

\(\otimes\)

Si definisce ) un insieme di enti A su cui siano definite due operazioni

\(\oplus\)

\(\otimes\)

che godano delle seguenti proprieta’:

(A ;

\(\oplus\)

(A ;

\(\otimes\)

l’operazione

\(\otimes\)

e’ distributiva rispetto all’operazione

\(\oplus\)

) e’ un gruppo abeliano (commutativo)
) e’ un semigruppo
, sia a destra che a sinistra, cioe’ \(a (b c) = (a b) (a c) (b c) a = (b a) (c a)\)

Attenzione: per la seconda operazione

\(\otimes\)

non e’ richiesta ne’ la proprieta’ commutativa, ne’ che l’insieme A abbia l’elemento neutro. quindi avremo: Se l’operazione

\(\otimes\)

e’ commutativa allora l’anello si dice commutativo se l’insieme A e’ dotato di elemento neutro rispetto all’operazione

\(\otimes\)

allora l’anello si dice unitario

Facciamo il punto della situazione: le strutture sono ricavate dagli insiemi dei numeri e poi vengono applicate e ricercate in vari enti matematici; per procedere in modo logico avremo bisogno di seguire l’evoluzione dei numeri partendo dai numeri naturali, passando agli interi, ai razionali eccetera: la struttura ad anello la troviamo nell’insieme Z dei numeri interi. Proseguendo oltre Z avremo poi una struttura per i numeri razionali Q: il campo

Senza approfondire le proprieta’ degli anelli (lo farete all’universita’) vediamo nella prossima pagina qualche semplice esempio della struttura ad anello

esempi di anello

Esempi di struttura ad anello Consideriamo i seguenti esempi e mostriamo per ciascuno la presenza della struttura ad anello: per ognuno dovremo mostrare:

la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima

Insieme Z dei numeri interi con le operazioni di addizione e moltiplicazione dimostrazione
Insieme A = { p, d } composto da due elementi con p pari e d dispari con le operazioni di addizione e moltiplicazione dimostrazione
Insieme P(x) dei polinomi in x a coefficienti reali con le operazioni di addizione e moltiplicazione dimostrazione
Insieme r\(_{_5}\) dei resti modulo 5 con le operazioni di addizione e moltiplicazione dimostrazione
L’insieme P(a) potenza dell’insieme A con le operazioni di differenza simmetrica ed intersezione dimostrazione
L’insieme H(2) delle matrici 2×2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione riga per colonna dimostrazione

esercizio Mostrare la presenza della struttura ad anello per l’insieme Z dei numeri interi con le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·)

E’ l’esempio piu’ semplice perche’ e’ quello da cui abbiamo ricavato la struttura di anello, ma questo esempio ci servira’ soprattutto per mostrare come bisogna procedere per mostrare la struttura ad anello su un qualunque altro insieme

Dimostrazione: dovremo mostrare:

la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima

Cominciamo dal primo punto

Mostriamo che ( Z, +) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

+ e’ interna infatti chiamati a e b due elementi di Z allora anche c = a+b appartiene a Z
+ e’ associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di Z abbiamo: (a + b) + c = a + ( b + c) infatti presi 3 numeri abbiamo sempre 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 2 + 7 = 5 + 4 9 = 9 cioe’ il primo membro e’ uguale al secondo
+ possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento tale che per ogni elemento a di Z abbiamo a + 0 = 0 + a = a cioe’ per qualunque numero, ad esempio 3, vale sempre 3 + 0 = 0 + 3 = 3

ogni elemento a di Z possiede in + l’elemento simmetrico a’ tale che: a + a’ = a’ + a = 0 Infatti dato un numero basta considerare lo stesso numero con segno contrario; es: 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 Quindi ( Z, +) e’ un gruppo; inoltre il gruppo e’ commutativo perche’ per ogni elemento a e b appartenenti a Z avemo che vale a + b = b +a Mostriamo che ( Z, ·) e’ un semigruppo

Basta mostrare che · e’ associativa, cioe’ chiamati a, b e c tre elementi di Z abbiamo: (a · b) · c = a · ( b · c) infatti presi 3 numeri abbiamo sempre 2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4 2 · 12 = 6 · 4 24 = 24

Quindi ( Z, ·) e’ un semigruppo Mostriamo infine che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ dati a, b e c appartenenti a Z avremo sempre a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a infatti prendendo 3 numeri qualunque avremo: 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4 2 ·7 = 6 + 8 14 = 14 (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2 7 · 2 = 6 + 8 14 = 14 Quindi la struttura (Z, +, ·) e’ un anello Siccome la moltiplicazione in Z e’ commutativa avremo che l’anello e’ commutativo Poiche’ la moltiplicazione in Z ha come elemento neutro l’elemento 1 l’anello e’ unitario

esercizio Mostrare la presenza della struttura ad anello per l’insieme composto da due elementi A = {p, d } con p indicante i numeri pari e d indicante i numeri dispari con le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·)

E’ l’anello piu’ semplice che possiamo pensare: composto da due soli elementi: tale insieme e’ inoltre isomorfo (fare link) all’insieme dei resti modulo 2 (basta porre p = 0 e d = 1)

Dimostrazione: dovremo mostrare:

la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima

Cominciamo dal primo punto

Mostriamo che ( A, +) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

+ e’ associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo: (a + b) + c = a + ( b + c) Per mostrarlo dovrei considerare le possibilita’

Veramente potrei fare ricorso al fatto che la somma e la moltiplicazione hanno qui le stesse proprieta’ che hanno nell’insieme dei numeri naturali essendo in questo insieme una restrizione di tali operazioni, pero’ come esercizio proviamo a sviluppare tutto il ragionamento

+ e’ interna infatti avremo sempre che p + p = pp + d = dd + d = p e tutti i risultati apaprtengono ad A Se non hai capito ferma il mouse su una delle somme
(p + p) + p = p + ( p + p) (p + p) + d = p + ( p + d) (p + d) + p = p + ( d + p) (d + p) + p = d + ( p + p) (p + d) + d = p + ( d + d) (d + p) + d = d + ( p + d) (d + d) + p = d + ( d + p) (d + d) + d = d + ( d + d) e in tutte queste espressioni il primo membro e’ uguale al secondo: mostriamo come esempio la dimostrazione della validita’ dell’ultima espressione sviluppando il primo membro ed il secondo membro e controllando che il risultato sia identico (d + d) + d = p + d = d d + (d + d) = d + p = d ottengo lo stesso risultato
+ possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento p tale che per ogni elemento di A abbiamo p + p = p p + q = q cioe’ sommando p a qualunque elemento l’altro elemento non cambia

ogni elemento di A possiede in + l’elemento simmetrico: infatti p + p = p e p e’ simmetrico di se’ stesso d + d = p e d e’ simmetrico di se’ stesso Quindi ( A, +) e’ un gruppo; inoltre il gruppo e’ commutativo perche’ per ogni elemento p e q appartenente a A avemo che vale p + q = q + p Mostriamo che ( A, ·) e’ un semigruppo

Basta mostrare che · e’ associativa, cioe’ chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo: (a · b) · c = a · ( b · c) Per mostrarlo dovrei considerare le possibilita’ (p · p) · p = p · ( p · p) (p · p) · d = p · ( p · d) (p · d) · p = p · ( d · p) (d · p) · p = d · ( p · p) (p · d) · d = p · ( d · d) (d · p) · d = d · ( p · d) (d · d) · p = d · ( d · p) (d · d) · d = d · ( d · d) e in tutte queste espressioni il primo membro e’ uguale al secondo: mostriamo come esempio la dimostrazione della validita’ dell’ultima espressione (d · d) · d = d · d = d d · (d · d) = d · d = d

Quindi ( A, ·) e’ un semigruppo Mostriamo infine che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ dati a, b e c appartenenti a A avremo sempre a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a Per mostrarlo dovrei considerare le possibilita’ p · ( p + p) = p · p + p · p p · ( p + d) = p · p + p · d p · ( d + p) = p · d + p · p d · ( p + p) = d · p + d · p p · ( d + d) = p · d + p · d d · ( p + d) = d · p + d · d d · ( d + p) = d · d + d · p d · ( d + d) = d · d + d · d ed anche le commutate rispetto al · (p + p) · p = p · p + p · p (p + d) · p = p · p + d · p (d + p) · p = d · p + p · p (p + p) · d = p · d + p · d (d + d) · p = d · p + d · p (p + d) · d = p · d + d · d (d + p) · d = d · d + p · d (d + d) · d = d · d + d · d e in tutte queste espressioni il primo membro e’ uguale al secondo: mostriamo come esempio la dimostrazione della validita’ dell’ultima espressione (d + d) · d = p · d = p d · (d + d) = d · p = p Quindi la struttura (A, +, ·) e’ un anello Siccome la moltiplicazione in A e’ commutativa avremo che l’anello e’ commutativo Poiche’ la moltiplicazione in A ha come elemento neutro l’elemento d l’anello e’ unitario: d e’ l’elemento neutro moltiplicativo perche’ moltiplicando d per qualunque altro termine l’altro termine non cambia: d · d = d d · p = p

esercizio Mostrare la presenza della struttura ad anello per l’insieme P(x) dei polinomi in x a coefficienti reali con le normali operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) fra polinomi

Per insieme dei polinomi in x si intende l’insieme dei polinomi della forma a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a con n = 0,1,2,….n,n+1,….non ho capito L’operazione di addizione significa l’addizione fra polinomi per cui sommiamo algebricamente i coefficienti dei termini con x allo stesso grado: cioe’, se n e maggiore di m avremo \((a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} .... a_2x^2 + a_1x + a) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} .... b_2x^2 + b_1x + b) = = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} .... + (a_m+b_m)x^m + (a_{m-1}+b_{m-1})x^{m-1} .... + (a_2+b_2)x^2 + (a_1+b_1)x + (a+b)\) Il prodotto fra polinomi e’ il normale prodotto fra polinomi gia’ visto

Dimostrazione: dovremo mostrare:

la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima

Mostriamo che ( P, +) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

+ e’ interna infatti avremo sempre che la somma di due polinomi in x e’ sempre ancora un polinomio in x: facciamo un esempio pratico: (2x\(^{^3}\) + 5x\(^{^2}\) -4x + 3) + (3x\(^{^2}\) + 4) = 2x\(^{^3}\) + 8x\(^{^2}\) -4x + 7

In pratica la somma nei polinomi si riduce alla somma dei coefficienti numerici di stesso grado e quindi le proprieta’ della somma sono le stesse che hanno i numeri reali

+ e’ associativa, infatti chiamati A(x), B(x) e C(x) tre elementi di P(x) abbiamo: [A(x) + B(x)] + C(x) = A(x) + [ B(x) + C(x)] facciamo anche qui un esempio pratico: [(2x\(^{^3}\) + 5x\(^{^2}\) -4x + 3) + (3x\(^{^2}\) + 4)] + (2x\(^{^2}\) + 3x -4) = = (2x\(^{^3}\) + 5x\(^{^2}\) -4x + 3) + [(3x\(^{^2}\) + 4) + (2x\(^{^2}\) + 3x -4)] per mostrarlo basta che fai i calcoli prima e dopo l’uguale e mostri che i risultati sono uguali: lo sono perche’ la somma fra i coefficienti (essendo numeri reali) gode della proprieta’ associativa
+ possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento P(0), intendendo P(0) come il polinomio 0x\(^{^n}\)+….+0x\(^{^2}\)+0x+0 tale che per ogni elemento A(x) di P(x) abbiamo A(x) + P(0) = A(x) P(0) + A(x) = A(x) cioe’ sommando P(0) a qualunque elemento l’altro elemento non cambia

ogni elemento A(x) di P(x) possiede in + l’elemento simmetrico: infatti preso A(x) = a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a il simmetrico e’ A'(x)= -a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) – a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. -a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) – a\(_{_1}\)x – a infatti A(x) + A'(x) = 0 Quindi ( P, +) e’ un gruppo; inoltre il gruppo e’ commutativo perche’ commutativa e’ la somma fra i coefficienti numerici (numeri reali) Mostriamo che ( P(x), ·) e’ un semigruppo

Basta mostrare che · e’ associativa, cioe’ chiamati A(x), B(x) e C(x) tre elementi di P(x) abbiamosempre: [A(x) · B(x)] · C(x) = A(x) · [B(x) · C(x)] cioe’ dati tre polinomi qualunque se moltiplichi il primo per il secondo e poi quello che viene per il terzo ottieni lo stesso risultato che moltiplicando prima il secondo col terzo e poi quello che viene per il primo. Se vuoi puoi costruirti un esempio da solo

Mostriamo infine che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ dati A(x), B(x) e C(x) appartenenti a P(x) avremo sempre A(x) · [B(x) + C(x)] = A(x) · B(x) + A(x) · C(x) [B(x) + C(x)] · A(x) = B(x) · A(x) + C(x) · A(x) Anche qui deriva dal fatto che per i coefficienti numerici, che sono numeri reali, vale la proprieta’ distributiva della somma rispetto alla moltiplicazione

Quindi la struttura (P(x), +, ·) e’ un anello Siccome la moltiplicazione in P(x) e’ commutativa avremo che l’anello e’ commutativo Poiche’ la moltiplicazione in A deve avere come elemento neutro l’elemento ….1x\(^{^n}\) + 1x\(^{^{n-1}}\) …. 1x\(^{^2}\) + 1x + 1 ma tale elemento non puo’ essere definito in modo univoco perche’ dovrebbe avere esattamente lo stesso numero di termini ( e dello stesso grado) del polinomio con cui si moltiplica, allora non posso parlare di un elemento neutro e l’anello non e’ unitario

significa che considero tutti i polinomi a cominciare da a\(_{_1}\)x + a mettendo al posto di a\(_{_1}\) e a qualunque numero reale cioe’ 3x+2, 4x-3, 5x+0….. passando poi a considerare a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a mettendo al posto di a\(_{_2}\), a\(_{_1}\) e a qualunque numero reale cioe’ 2x\(^{^2}\)+3x+2, x\(^{^2}\)+4x-3, 6x\(^{^2}\)+5x+1….. e cosi’ via aumentando i termini inoltre posso anche considerare 3 come un polinomio in x infatti considero 0x+3 addirittura sara’ considerato un polinomio con tutti i coefficienti nulli ….+0x\(^{^2}\)+0x+0

\(\oplus\)

\(\otimes\)

esercizio Mostrare la presenza della struttura ad anello per l’insieme r\(_{_5}\), insieme dei resti modulo 5 con le relative operazioni di addizione () e moltiplicazione ()

\(Per ripassare l'insieme r_5\)

Dimostrazione: dovremo mostrare:

la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione

\(\oplus\)

la presenza di un semigruppo con la seconda operazione

\(\otimes\)

il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima

Cominciamo dal primo punto \(La struttura di gruppo addittivo (r_5 , ) l'abbiamo gia' evidenziata in precedenza ma qui la ripetiamo\) 1 2 3 4

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

2 \(2\) \(3\) \(4\) \(1\)

3 \(3\) \(4\) \(1\) \(2\)

4 \(4\) \(1\) \(2\) \(3\)

( r\(_{_5}\),

\(\oplus\)

Mostriamo che ) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

\(\oplus\)

(a\(_{_5}\)

\(\oplus\)

b\(_{_5}\))

\(\oplus\)

c\(_{_5}\) = a\(_{_5}\)

\(\oplus\)

(b\(_{_5}\)

\(\oplus\)

1 = 1

\(\oplus\)

0 = 1 0

\(\oplus\)

2 = 2

\(\oplus\)

0 = 2 0

\(\oplus\)

3 = 3

\(\oplus\)

0 = 3 0

\(\oplus\)

4 = 4

\(\oplus\)

e’ interna infatti avremo sempre che la somma di due termini qualunque e’ ancora un termine della tabella \(esempio: 4 2 = (6)_5 = 1 se fermi il cursore del mouse su una casella della tabella ti viene mostrata l'operazione relativa\)
e’ associativa, infatti chiamati a\(_{_5}\), b\(_{_5}\) e c\(_{_5}\) tre elementi di r\(_{_5}\) abbiamo: c\(_{_5}\)) \(facciamo anche qui un esempio pratico: (3 2) 4 = (5)_5 4 = 0 4 = 4 ma vale anche 3 (2 4) = 3 (6)_5 = 3 1 = 4\)
e’ l’elemento neutro: infatti sommando qualunque elemento con otteniamo sempre lo stesso elemento 0 = 4
ogni elemento di r\(_{_5}\) possiede in l’elemento simmetrico: infatti hai: \(0 0 = 0 1 4 = 4 1 = (5)_5 = 0 2 3 = 3 2 = (5)_5 = 0\)

( r\(_{_5}\),

\(\oplus\)

( r\(_{_5}\),

\(\otimes\)

Mostriamo che ) e’ un semigruppo

\(\otimes\)

(a\(_{_5}\)

\(\otimes\)

b\(_{_5}\))

\(\otimes\)

c\(_{_5}\) = a\(_{_5}\)

\(\otimes\)

(b\(_{_5}\)

\(\otimes\)

Basta mostrare che e’ associativa, cioe’ chiamati a\(_{_5}\), b\(_{_5}\) e c\(_{_5}\) tre elementi di r\(_{_5}\) abbiamo sempre: c\(_{_5}\)) questo discende dalla moltiplicazione fra numeri naturali, ma vediamone un esempio pratico \((3 2) 4 = (6)_5 4 = 1 4 = 4 3 (2 4) = 3 (8)_5 = 3 9 = (9)_5 = 4\) per vederlo meglio ti ripeto la tabella di Cayley per la moltiplicazione: se vai sui risultati con il mouse vedi l’operazione svolta. 1 2 3 4

1 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

2 \(2\) \(4\) \(1\) \(3\)

3 \(3\) \(1\) \(4\) \(2\)

4 \(4\) \(3\) \(2\) \(1\)

Quindi ) e’ un gruppo’; la commutativita segue dal fatto che la tabella per l’addizione e’ simmetrica rispetto alla diagonale principale;

a\(_{_5}\)

\(\otimes\)

(b\(_{_5}\)

\(\oplus\)

c\(_{_5}\)) = a\(_{_5}\)

\(\otimes\)

b\(_{_5}\)

\(\oplus\)

a\(_{_5}\)

\(\otimes\)

c\(_{_5}\) (b\(_{_5}\)

\(\oplus\)

c\(_{_5}\))

\(\otimes\)

a\(_{_5}\) = b\(_{_5}\)

\(\otimes\)

a\(_{_5}\)

\(\oplus\)

c\(_{_5}\)

\(\otimes\)

\(\oplus\)

\(\otimes\)

\(\oplus\)

3) = 4

\(\otimes\)

\(\oplus\)

3) = 4

\(\otimes\)

\(\oplus\)

\(\otimes\)

3 = 4

\(\oplus\)

(12)\(_{_5}\) = 4

\(\oplus\)

Mostriamo infine che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ dati a\(_{_5}\), b\(_{_5}\) e c\(_{_5}\) appartenenti a r\(_{_5}\) avremo sempre a\(_{_5}\) ti faccio un esempio sulla prima: mostro che se eseguo l’operazione oppure se applico la proprieta’ distributiva ottengo lo stesso risultato; fai un esempio anche tu sulla seconda per esercizio 3) = se eseguo la somma ottengo 4 = (16)\(_{_5}\) = 1 se prima applico la proprieta’ distributiva e poi faccio la somma ottengo 2 = (6)\(_{_5}\) = 1

r\(_{_5}\),

\(\oplus\)

\(\otimes\)

Quindi la struttura () e’ un anello Inoltre siccome la moltiplicazione in r\(_{_5}\) e’ commutativa avremo che l’anello e’ commutativo Poiche’ 1 elemento neutro della moltiplicazione in r\(_{_5}\) e’ unico l’anello e’ unitario

esercizio Mostrare la presenza della struttura ad anello per l’insieme P(A) insieme potenza dell’insieme A con le operazioni di differenza simmetrica

\(\triangle\) ed intersezione

\(\cap\)

Per ripassare l’insieme P(A)la differenza simmetrica l’intersezione

Dimostrazione: dovremo mostrare:

la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima

Cominciamo dal primo punto

( P(A),

Mostriamo che \(\triangle\)) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

\(\triangle\) e’ interna: avremo sempre che la differenza simmetrica di due elementi di P(A) e’ sempre ancora un elemento di P(A)

Infatti P(A) e’ costituito da tutti i sottoinsiemi di A cioe’ gli insiemi che posso costruire con gli elementi di A, insieme vuoto compreso, quindi se da due sottoinsiemi tolgo alcuni elementi dell’insieme A avremo ancora un sottoinsieme di A

(A\(_{_1}\)

\(\triangle\) A\(_{_2}\))

\(\triangle\) A\(_{_3}\) = A\(_{_1}\)

\(\triangle\) ( A\(_{_2}\)

\(\triangle\) e’ associativa, infatti chiamati A\(_{_1}\), A\(_{_2}\) e A\(_{_3}\) tre elementi di P(A) abbiamo: \(\triangle\)A\(_{_3}\)) Infatti siccome la differenza simmetrica toglie elementi da entrambe gli insiemi che coinvolge, sia che li tolga prima o dopo, quando coinvolge gli stessi insiemi da’ sempre lo stesso risultato

(A\(_{_1}\)

\(\triangle\) A\(_{_2}\))

\(\triangle\) A\(_{_3}\) = A\(_{_1}\)

\(\triangle\) ( A\(_{_2}\)

({ 1, 2, 4 }

\(\triangle\){ 1, 3, 4 })

\(\triangle\) { 1, 4 } = { 3 }

{ 1, 2, 4 }

\(\triangle\)( { 1, 3, 4 }

\(\triangle\) { 1, 4 }) = { 1, 2, 4 }

mostriamolo anche su un esempio pratico: Considero l’insieme A = { Ø, 1, 2, 3, 4 } Allora l’insieme potenza e’ l’insieme composto dagli elementi { Ø } { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 1, 2 } { 1 3 } { 1 4 } { 2, 3 } { 2, 4 } { 3, 4 } { 1, 2, 3 } { 1, 2, 4 } { 1, 3, 4 } { 2, 3, 4 } { 1, 2, 3, 4 } Consideriamo: A\(_{_1}\) = { 1, 2, 4 } A\(_{_2}\) = { 1, 3, 4 } A\(_{_3}\) = { 1, 4 } \(\triangle\)A\(_{_3}\)) per mostrarlo facciamo i calcoli prima e dopo l’uguale e mostriamo che i risultati sono uguali: \(\triangle\) { 1, 4 } = { 1, 3, 4 } \(\triangle\) { 3 } = { 1, 3, 4 }

+ possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento Ø, cioe’ il sottoinsieme vuoto e la differenza simmetrica fra l’insieme vuoto e qualsiasi sottoinsieme e’ sempre lo stesso sottoinsieme

\(A_nØ = Ø A_n = A_n\)

ogni elemento A\(_{_n}\) di P(A) possiede in \(\triangle\) l’elemento simmetrico: basta considerare l’insieme complementare di A\(_{_n}\) rispetto ad A perche’ la differenza simmetrica dia come risultato l’insieme vuoto

{ 1, 2 }

\(\triangle\) { 3, 4 } = { 3, 4 }

se ad esempio considero l’insieme { 1, 2 } il suo complementare rispetto ad A sara { 3, 4 } e facendo la differenza complementare avremo che spariscono tutti gli elementi e resta il vuoto \(\triangle\) { 1, 2 } = Ø

( P(a),

Quindi \(\triangle\)) e’ un gruppo; la commutativita’ deriva dal fatto che l’operazione restituisce gli elementi non comuni fra due insiemi, quindi e’ indifferente l’ordine in cui li considero

( P(A),

Mostriamo che \(\cap\)) e’ un semigruppo

(A\(_{_1}\)

\(\cap\) A\(_{_2}\))

\(\cap\) A\(_{_3}\) = A\(_{_1}\)

\(\cap\) (A\(_{_2}\)

Basta mostrare che \(\cap\) e’ associativa, cioe’ chiamati A\(_{_1}\), A\(_{_2}\) e A\(_{_3}\) tre elementi di P(x) abbiamosempre: \(\cap\) A\(_{_3}\)) Infatti, poiche’ l’operazione intersezione fr insiemi restituisce gli elementi che gli insiemi hanno in comune, in qualunque ordine considereremo i 3 insiemi avremo sempre lo stesso risultato (cioe’ gli elementi comuni ai 3 insiemi)

A\(_{_1}\)

\(\cap\) (A\(_{_2}\)

\(\triangle\) A\(_{_3}\)] = A\(_{_1}\)

\(\cap\) A\(_{_2}\)

\(\triangle\) A\(_{_1}\)

\(\cap\) A\(_{_3}\) (A\(_{_2}\)

\(\triangle\) A\(_{_3}\)]

\(\cap\) A\(_{_1}\) = A\(_{_2}\)

\(\cap\) A\(_{_1}\)

\(\triangle\) A\(_{_3}\)

Mostriamo infine che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ dati A\(_{_1}\), A\(_{_2}\) e A\(_{_3}\) appartenenti a P(A) avremo sempre \(\cap\) A\(_{_1}\)

{ 1, 2, 4 }

\(\cap\) ({ 1, 3, 4 }

\(\triangle\) { 2, 4 }) = { 1, 2, 4 }

{ 1, 2, 4 }

\(\cap\) { 1, 3, 4 }

\(\triangle\) { 1, 2, 4 }

\(\cap\){ 2, 4 } = { 1, 4 }

\(\triangle\) { 2, 4 }

A\(_{_1}\) = { 1, 2, 4 } A\(_{_2}\) = { 1, 3, 4 } A\(_{_3}\) = { 2, 4 } mostriamo che, nella prima uguaglianza sono uguali i risultati sviluppando prima dell’uguale e dopo l’uguale Prima dell’uguale: \(\cap\) { 1, 2, 3 } = { 1, 2 } dopo l’uguale \(\cap\) { 1, 2 }

Questo e’ un po’ difficile da dimostrare: limitiamoci amostrare che e’ vero su un esempio Consideriamo i tre insiemi

( P(A),

\(\triangle\),

Quindi la struttura \(\cap\)) e’ un anello Siccome l’operazione

\(\cap\) in P(A) e’ commutativa avremo che l’anello e’ commutativo Poiche’ l’intersezione in A ha come elemento neutro l’ insieme A stesso e tale elemento e’ definito in modo univoco allora posso parlare di un solo elemento neutro e l’anello e’ unitario

\(\oplus\)

\(\otimes\)

esercizio Mostrare la presenza della struttura ad anello per l’insieme H(2) delle matrici 2×2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione riga per colonna

Per ripassare le matrici quadrateaddizione prodotto righe per colonne

Il ragionamento fatto per le matrici quadrate 2X2 vale in generale per le matrici quadrate nXn per la parte relativa al gruppo

Dimostrazione: dovremo mostrare:

la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima

Cominciamo dal primo punto

( H\(_{_2}\),

\(\oplus\)

Mostriamo che ) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

\(\oplus\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(\oplus\)

\(b_{1,1} b_{1,2} b_{2,1} b_{2,2}\)

\(=\)

\(a_{1,1}+b_{1,1} a_{1,2}+b_{1,2} a_{2,1}+b_{2,1} a_{2,2}+b_{2,2}\)

e’ interna infatti avremo sempre che la somma di due matrici quadrate e’ ancora una matrice quadrata dello stesso tipo facciamo un esempio pratico: essendo la somma di due numeri interi ancora un numero intero segue quello che cercavamo

[H\(_{_2}\)(A)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(B)]

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C) = H\(_{_2}\)(A)

\(\oplus\)

[ H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

possiede l’elemento neutro che e’ la matrice

\(0 0 0 0\)

+ e’ associativa, infatti chiamati H\(_{_2}\)(A), H\(_{_2}\)(B) e H\(_{_2}\)(C) tre elementi di H\(_{_2}\) abbiamo: H\(_{_2}\)(C)] Deriva dal fatto che la somma fra numeri naturali e’ commutativa
infatti sommando 0 a qualunque elemento tale elemento non cambia

\(\oplus\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(\oplus\)

\(-a_{1,1} -a_{1,2} -a_{2,1} -a_{2,2}\)

\(=\)

\(0 0 0 0\)

( H\(_{_2}\),

\(\oplus\)

( H\(_{_2}\),

\(\otimes\)

ogni elemento H\(_{_2}\)(A) di H\(_{_2}\) possiede in l’elemento simmetrico: infatti basta considerare la matrice formata dagli opposti della matrice di partenza Quindi ) e’ un gruppo; e’ commutativo perche’ la somma fra elementi delle matrici discende dalla somma fra numeri interi Mostriamo che ) e’ un semigruppo

\(\otimes\)

Basta mostrare che e’ associativa, cioe’ chiamate H\(_{_2}\)(A), H\(_{_2}\)(B) e H\(_{_2}\)(C) tre elementi di H\(_{_2}\) abbiamo sempre: [H\(_{_2}\)(A) · H\(_{_2}\)(B)] · H\(_{_2}\)(C) = H\(_{_2}\)(A) · [H\(_{_2}\)(B) · H\(_{_2}\)(C)] Questo deriva dal fatto che nelle matrici quadrate 2×2 il prodotto riga per colonna e’ associativo: Mostriamolo: siccome la dimostrazione e’ piuttosto lunga ti faccio un esempio in una pagina a parte: segui il link

H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

[H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C)] = H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(C) [H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C)]

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(A) = H\(_{_2}\)(B)

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(A)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C)

\(\otimes\)

Mostriamo infine che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ presi H\(_{_2}\)(A), H\(_{_2}\)(B) e H\(_{_2}\)(C) tre elementi di H\(_{_2}\)avremo sempre H\(_{_2}\)(A) Anche qui i calcoli sono molto laboriosi, ma intuitivamente epossiamo dire che questo deriva dalle proprieta’ dell’operazione somma fra numeri interi; comunque limitiamoci ad un esempio

H\(_{_2}\),

\(\oplus\)

\(\otimes\)

Quindi la struttura () e’ un anello Siccome la moltiplicazione in H\(_{_2}\) non e’ commutativa avremo che l’anello non e’ commutativo Poiche’ la moltiplicazione in H\(_{_2}\) ha come elemento neutro l’elemento

1 0 0 1

e tale elemento e’ definito in modo univoco posso parlare di un solo elemento neutro e l’anello e’ unitario

esempio

esempio E’ sufficiente mostrare che il termine prima dell’uguale e’ uguale al termine dopo l’uguale per matrici 2×2 con termini generici termine prima dell’uguale (

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(\otimes\)

\(b_{1,1} b_{1,2} b_{2,1} b_{2,2}\)

\(\otimes\)

\(c_{1,1} c_{1,2} c_{2,1} c_{2,2}\)

\(=\)

\(a_{1,1}b_{1,1}+a_{1,2}b_{2,1} a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2} a_{2,1}b_{1,1}+a_{2,2}b_{1,2} a_{2,1}b_{2,1}+a_{2,1}b_{1,2}\)

\(\otimes\)

\(c_{1,1} c_{1,2} c_{2,1} c_{2,2}\)

\(=\)

\(= eccetera\) questo sarebbe il primo termine della matrice risultato \(a_{1,1}b_{1,1}c_{1,1}+a_{1,2}b_{2,1}c_{1,1} + a_{1,1}b_{1,1}c_{2,1}+a_{1,2}b_{2,1}c_{2,1}\) poi dovrei calcolare il termine dopo l’uguale

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(\otimes\)

\(b_{1,1} b_{1,2} b_{2,1} b_{2,2}\)

\(\otimes\)

\(c_{1,1} c_{1,2} c_{2,1} c_{2,2}\)

\(=\)

\(= eccetera\)

come vedi i calcoli sono chilometrici; io non ho pazienza, quindi ti mostro che la regola e’ valida su delle matrici 2×2 con termini numerici; questa quindi non e’ una dimostrazione ma un esempio

Mostriamo, come esempio, che vale (

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2 4 3 5\)

\(\otimes\)

\(6 7 8 9\)

\(=\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2 4 3 5\)

\(\otimes\)

\(6 7 8 9\)

Calcoliamo la prima (

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2 4 3 5\)

\(\otimes\)

\(6 7 8 9\)

\(=\)

1·2+2·3 1·4+2·5 0·2+1·3 0·4+1·5

\(\otimes\)

\(6 7 8 9\)

\(=\)

\(8 14 3 5\)

\(\otimes\)

\(6 7 8 9\)

\(=\)

8·6+14·8 8·7+14·9 3·6+5·8 3·7+5·9

\(=\)

160 182 58 66

Calcoliamo la seconda

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2 4 3 5\)

\(\otimes\)

\(6 7 8 9\)

\(=\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

2·6+4·8 2·7+4·9 3·6+5·8 3·7+5·9

\(=\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(44 50 58 66\)

\(=\)

1·44+2·58 1·50+2·66 0·44+1·58 0·50+1·66

\(=\)

160 182 58 66

come volevamo

H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

[H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C)] = H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

esempio Amche qui sarebbe sufficiente mostrare che il termine prima dell’uguale e’ uguale al termine dopo l’uguale per matrici 2×2 con termini generici come ho detto lo sviluppo richiede molta pazienza: limitiamoci ad un esempio che coinvolga la prima parte della proprieta’ (solo la prima riga) H\(_{_2}\)(C)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2 4 3 5\)

\(\oplus\)

\(6 7 8 9\)

\(=\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2 4 3 5\)

\(\oplus\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(6 7 8 9\)

Calcoliamo il termine prima dell’uguale: prima eseguiamo la somma

\(\oplus\)

poi il prodotto

\(\otimes\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2 4 3 5\)

\(\oplus\)

\(6 7 8 9\)

\(=\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2+6 4+7 3+8 5+9\)

\(=\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(8 11 11 14\)

\(=\)

1·8+2·11 1·11+2·14 0·8+1·11 0·11+1·14

\(=\)

30 39 11 14

Calcoliamo il termine dopo l’uguale Prima esguiamo i prodotti poi la somma

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(2 4 3 5\)

\(\oplus\)

\(1 2 0 1\)

\(\otimes\)

\(6 7 8 9\)

\(=\)

1·2+2·3 1·4+2·5 0·2+1·3 0·4+1·5

\(\oplus\)

1·6+2·8 1·7+2·9 0·6+1·8 0·7+1·9

\(=\)

\(8 14 3 5\)

\(\oplus\)

\(22 25 8 9\)

\(=\)

\(8+22 14+25 3+8 5+9\)

\(=\)

30 39 11 14

come volevamo

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Campo (corpo): definizione e proprietà