Campo (corpo): definizione e proprietà

corpo

Continuiamo a evidenziare le proprieta’ che ci permettono di definire i vari tipi di numeri e cerchiamo di esplicitare quali di esse sono significative, nel senso che si possano applicare ad alcuni tipi di oggetti oppure no. Finora abbiamo trovato la struttuta ad anello, tipica dell’insieme dei numeri interi Z, ora dobbiamo enucleare la proprieta’ che trasforma un anello in qualcos’altro: proprieta’ che ci permette di passare dagli interi ai razionali Q: quello che contraddistingue l’insieme dei razionali dall’insieme degli interi e’ il fatto che, mentre negli interi la moltiplicazione non ha un elemento inverso, nei razionali possiamo definire l’elemento inverso per la moltiplicazione per ogni elemento dell’insieme eccetto lo zero (che non ha inverso)

1. Definizione
2. Campo
3. Esempi

definizione di corpo

Definizione di corpo Diamo ora la definizione di corpo: bastera’ aggiungere alla struttura di anello il fatto che esista per la seconda operazione un elemento neutro e che per ogni elemento sia presente un elemento opposto (con l’eccezione dell’elemento neutro della prima operazione)

Al solito consideriamo la prima operazione come “addizione” e la seconda come “moltiplicazione”, naturalmente dovremo adattare tale termini ed ogni insieme su cui studieremo le nostre strutture: parleremo comunque di moltiplicazione mentre, ad esempio, tra matrici quadrate considereremo il prodotto righe per colonne e negli insiemi considereremo l’operazione di intersezione

Corpo (K ;

\(\oplus\)

\(\otimes\)

Si definisce ) un insieme di enti K formato da almeno due oggetti, su cui siano definite due operazioni, una che chiameremo di addizione

\(\oplus\)

, e una che chiameremo di moltiplicazione

\(\otimes\)

che godano delle seguenti proprieta’:

(K ;

\(\oplus\)

l’operazione

\(\otimes\)

e’ distributiva rispetto all’operazione

\(\oplus\)

\(\otimes\)

\(\oplus\)

c) = (a

\(\otimes\)

\(\oplus\)

\(\otimes\)

c) (b

\(\oplus\)

\(\otimes\)

a = (b

\(\otimes\)

\(\oplus\)

\(\otimes\)

(K -{0} ;

\(\otimes\)

1. ) e’ un gruppo abeliano (commutativo)
2. , sia a destra che a sinistra, cioe’ a) E fin qui siamo ancora alla struttura ad anello
3. Gli elementi di K ad eccezione delle’elemento neutro rispetto all’addizione formano un gruppo rispetto alla moltiplicazione:) e’ un gruppo Sarebbe a dire che, oltre la struttura di semigruppo, esiste l’elemento neutro per la moltiplicazione e per ogni elemento (eccetto lo 0) esiste l’inverso moltiplicativo

Attenzione: per la seconda operazione

\(\otimes\)

\(\otimes\)

b = b

\(\otimes\)

non e’ richiesta ‘ la proprieta’ commutativa, cioe’ che: a

definizione di camp

Definizione di campo Abbiamo detto che nel concetto di corpo non abbiamo la commutativita’ per la seconda operazione (vedremo sugli esempi che il corpo delle matrici quadrate non e’ commutativo), siccome pero’ l’insieme Q, che ci guida nell’enucleare le strutture, e’ commutativo ci conviene introdurre la commutativita’ e quindi individuare una nuova struttura il campo il cui rappresentante tipico sara’ appunto l’insieme Q, che per questo sara’ anche chiamato campo dei numeri razionali

Quindi per la nuova struttura di campo bastera’ aggiungere che la seconda operazione (moltiplicazione) e’ commutativa

Campo (K ;

\(\oplus\)

\(\otimes\)

Si definisce ) un insieme di enti tali che

(K ;

\(\oplus\)

\(\otimes\)

l’operazione

\(\otimes\)

\(\otimes\)

b = b

\(\otimes\)

1. ) e’ un corpo
2. e’ commutativa, cioe’ per ogni coppia di elementi a e b di K vale la relazione a

esempi di strutture di corpo e campo

Esempi di struttura di corpo e campo Consideriamo i seguenti esempi e mostriamo per ciascuno la presenza della struttura di corpo e/o di campo, oppure mostriamo che tale struttura non esiste: per ognuno dovremo mostrare:

Per la struttura di corpo

• la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
• la presenza di un gruppo con la seconda operazione (escludendo l’elemento neutro addittivo)
• la distributivita’ della seconda operazione rispetto alla prima

per la struttura di campo aggiungeremo

• la proprieta’ commutativa per la seconda operazione

1. Insieme Q dei numeri razionali con le operazioni di addizione e moltiplicazione dimostrazione
2. Insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e moltiplicazione dimostrazione
3. Insieme r\(_{_2}\) dei resti modulo 2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione dimostrazione

esercizio

esercizio Individuare la struttura per l’insieme Q dei numeri razionali con le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·)

E’ l’esempio piu’ semplice perche’ e’ quello da cui abbiamo ricavato la struttura di campo, ma questo esempio ci servira’ soprattutto per mostrare come bisogna procedere per mostrare la struttura di campo su un qualunque altro insieme

Dimostrazione: dovremo mostrare per il corpo:

• la presenza di un gruppo commutativo con la somma
• la presenza di un gruppo con il prodotto escludendo l’elemento neutro per l’addizione (lo zero)
• il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima
• per il campo aggiungeremo la dimostrazione della commutativita’ della seconda operazione

Cominciamo dal primo punto

Mostriamo che ( Q, +) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

• + e’ interna infatti chiamati a e b due elementi di Q allora anche c = a+b appartiene a Q
• + e’ associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di Q abbiamo: (a + b) + c = a + ( b + c)
• + possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento tale che per ogni elemento a di Q abbiamo a + 0 = 0 + a = a
• ogni elemento a di q possiede in + l’elemento simmetrico -a tale che: a + (-a) = (-a) + a = 0 Infatti dato un numero basta considerare lo stesso numero con segno contrario;

Mostriamo che ( Q-{0}, ·) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

• · e’ interna infatti chiamati a e b due elementi di Q allora anche il prodotto c = a·b appartiene a Q
• · e’ associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di q abbiamo: (a · b) · c = a · ( b · c)
• · possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento 1 tale che per ogni elemento a di Q abbiamo a · 1 = 1 · a = a
• ogni elemento a di q possiede in · l’elemento simmetrico 1/a tale che: a · (1/a) = (1/a) · a = 1 Infatti dato un numero basta considerarne l’inverso;

• Quindi ( Q, +) e’ un gruppo; inoltre tale gruppo e’ commutativo perche’ presi comunque due elementi a e b di Q vale sempre a + b = b + a
• Quindi ( Q, ·) e’ un gruppo
• La seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ dati a, b e c appartenenti a Z avremo sempre a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a
• Mostriamo infine che la seconda operazione e’ commutativa, infatti dati comunque due elementi a e b appartenenti a Q avremo sempre a · b = b · a

Quindi la struttura (Q, +, ·) e’ un campo (qualche testo lo chiama anche dominio d’integrita’)

esercizio Individuare la struttura per l’insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) In pratica, l’insieme R dal punto di vista della struttura e’ identico all’insieme Q, quindi lo sviluppo e’ lo stesso dell’ esercizio precedente sostituendo il simbolo R al simbolo Q

Ti ricordo che R si ottiene da Q aggiungendovi i valori dati dai numeri decimali illimitati e non periodici, pensati come elementi separatori di classi contigue di numeri razionali, cioe’ mediante le sezioni di Dedekind: tale aggiunta non altera la struttura dell’insieme che resta sempre un campo: il campo dei numeri reali Se non hai capito quello che ho detto e’ meglio che ripassi la teoria della misura fino alla retta reale compresa.

esercizio Verificare la presenza delle strutture di corpo e di campo sull’ insieme r\(_{_2}\) dei resti modulo 2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione

Sara’ il campo piu’ semplice che possiamo pensare: composto da due soli elementi.

Dimostrazione: dovremo mostrare per il corpo:

• la presenza di un gruppo commutativo con la somma
• la presenza di un gruppo con il prodotto escludendo l’elemento neutro per l’addizione (lo zero)
• il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima
• per il campo aggiungeremo la dimostrazione della commutativita’ della seconda operazione

Cominciamo dal primo punto

Mostriamo che ( r\(_{_2}\), +) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

+ e’ associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo: (a + b) + c = a + ( b + c) Per mostrarlo posso considerare le 8 possibilita’

• + e’ interna infatti avremo sempre che 0 + 0 = 00 + 1 = 1 + 0 = 11 + 1 = (2)\(_{_2}\) = 0 tutti i risultati appartengono ad A inoltre l’operazione e’ commutativa perche’ scambiando l’ordine dei fattori il risultato e’ lo stesso Se non hai capito ferma il mouse sulla terza somma
• (0 + 0) + 0 = 0 + ( 0 + 0) = 0 (0 + 0) + 1 = 0 + ( 0 + 1) = 1 (0 + 1) + 0 = 0 + ( 1 + 0) = 1 (1 + 0) + 0 = 1 + ( 0 + 0) = 1 (0 + 1) + 1 = 0 + ( 1 + 1) = (2)\(_{_2}\) = 0 (1 + 0) + 1 = 1 + ( 0 + 1) = (2)\(_{_2}\) = 0 (1 + 1) + 0 = 1 + ( 1 + 0) = (2)\(_{_2}\) = 0 (1 + 1) + 1 = 1 + ( 1 + 1) = (3)\(_{_2}\) = 1
• + possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento tale che per ogni elemento di r\(_{_2}\) abbiamo 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 1 cioe’ sommando a qualunque elemento l’altro elemento non cambia

ogni elemento di r\(_{_2}\) possiede in + l’elemento simmetrico: infatti 0 + 0 = 0 e 0 e’ simmetrico di se’ stesso 1 + 1 = 0 e 1 e’ simmetrico di se’ stesso Quindi ( r\(_{_2}\), +) e’ un gruppo commutativo;

Mostriamo che ( r\(_{_2}\), ·) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

· e’ associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo: (a · b) · c = a · ( b · c) Per mostrarlo posso considerare le 8 possibilita’

• · e’ interna infatti avremo sempre che 0 · 0 = 00 · 1 = 1 · 0 = 11 · 1 = 1 tutti i risultati appartengono ad r\(_{_2}\) inoltre l’operazione e’ commutativa (scambiando i posti il risultato del prodotto e’ lo stesso)
• (0 · 0) · 0 = 0 · ( 0 · 0) = 0 (0 · 0) · 1 = 0 · ( 0 · 1) = 0 (0 · 1) · 0 = 0 · ( 1 · 0) = 0 (1 · 0) · 0 = 1 · ( 0 · 0) = 0 (0 · 1) · 1 = 0 · ( 1 · 1) = 0 (1 · 0) · 1 = 1 · ( 0 · 1) = 0 (1 · 1) · 0 = 1 · ( 1 · 0) = 0 (1 · 1) · 1 = 1 · ( 1 · 1) = 1
• + possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento 1 tale che per ogni elemento di r\(_{_2}\) abbiamo 1 · 1 = 1 0 · 1 = 1 · 0 = 0 cioe’ moltiplicando 1 a qualunque elemento l’altro elemento non cambia

ogni elemento di r\(_{_2}\) ad eccezione di possiede in · l’elemento simmetrico: infatti, togliendo ci resta solo 1 e poiche’ 1 · 1 = 1 allora 1 e’ elemento simmetrico di se’ stesso rispetto alla moltiplicazione Mostriamo infine che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ dati a, b e c appartenenti a r\(_{_2}\) avremo sempre a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a Per mostrarlo dovrei considerare le 16 possibilita’, ma preferisco dire che deriva dalla distributivita’ del prodotto rispetto alla somma che vale nell’insieme dei numeri naturali Quindi la struttura (r\(_{_2}\), +, ·) e’ un campo Infatti abbiamo visto che la moltiplicazione in r\(_{_2}\) e’ commutativa

\(\oplus\)

\(\otimes\)

esercizio Mostrare, se esiste, la presenza della struttura di corpo per l’insieme H(2) delle matrici 2×2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione riga per colonna

Per ripassare le matrici quadrateaddizione prodotto righe per colonne

Il ragionamento fatto per le matrici quadrate 2X2 vale in generale per le matrici quadrate nXn per la parte relativa al gruppo

Dimostrazione: dovremo mostrare:

• la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
• la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
• il fatto che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima

Cominciamo dal primo punto

( H\(_{_2}\),

\(\oplus\)

Mostriamo che ) e’ un gruppo; devono valere le proprieta’:

\(\oplus\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(\oplus\)

\(b_{1,1} b_{1,2} b_{2,1} b_{2,2}\)

\(=\)

\(a_{1,1}+b_{1,1} a_{1,2}+b_{1,2} a_{2,1}+b_{2,1} a_{2,2}+b_{2,2}\)

e’ interna infatti avremo sempre che la somma di due matrici quadrate e’ ancora una matrice quadrata dello stesso tipo facciamo un esempio pratico: essendo la somma di due numeri interi ancora un numero intero segue quello che cercavamo

[H\(_{_2}\)(A)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(B)]

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C) = H\(_{_2}\)(A)

\(\oplus\)

[ H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

\(\oplus\)

possiede l’elemento neutro che e’ la matrice

\(0 0 0 0\)

• + e’ associativa, infatti chiamati H\(_{_2}\)(A), H\(_{_2}\)(B) e H\(_{_2}\)(C) tre elementi di H\(_{_2}\) abbiamo: H\(_{_2}\)(C)] Deriva dal fatto che la somma fra numeri naturali e’ commutativa
• infatti sommando 0 a qualunque elemento tale elemento non cambia

\(\oplus\)

\(a_{1,1} a_{1,2} a_{2,1} a_{2,2}\)

\(\oplus\)

\(-a_{1,1} -a_{1,2} -a_{2,1} -a_{2,2}\)

\(=\)

\(0 0 0 0\)

( H\(_{_2}\),

\(\oplus\)

( H\(_{_2}\),

\(\otimes\)

ogni elemento H\(_{_2}\)(A) di H\(_{_2}\) possiede in l’elemento simmetrico: infatti basta considerare la matrice formata dagli opposti della matrice di partenza Quindi ) e’ un gruppo; e’ commutativo perche’ la somma fra elementi delle matrici discende dalla somma fra numeri interi Mostriamo che ) e’ un semigruppo

\(\otimes\)

• Basta mostrare che e’ associativa, cioe’ chiamate H\(_{_2}\)(A), H\(_{_2}\)(B) e H\(_{_2}\)(C) tre elementi di H\(_{_2}\) abbiamo sempre: [H\(_{_2}\)(A) · H\(_{_2}\)(B)] · H\(_{_2}\)(C) = H\(_{_2}\)(A) · [H\(_{_2}\)(B) · H\(_{_2}\)(C)] Questo deriva dal fatto che nelle matrici quadrate 2×2 il prodotto riga per colonna e’ associativo: Mostriamolo: siccome la dimostrazione e’ piuttosto lunga ti faccio un esempio in una pagina a parte: segui il link

H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

[H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C)] = H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(A)

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(C) [H\(_{_2}\)(B)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C)]

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(A) = H\(_{_2}\)(B)

\(\otimes\)

H\(_{_2}\)(A)

\(\oplus\)

H\(_{_2}\)(C)

\(\otimes\)

• Mostriamo infine che la seconda operazione e’ distributiva rispetto alla prima, cioe’ presi H\(_{_2}\)(A), H\(_{_2}\)(B) e H\(_{_2}\)(C) tre elementi di H\(_{_2}\)avremo sempre H\(_{_2}\)(A) Anche qui i calcoli sono molto laboriosi, ma intuitivamente epossiamo dire che questo deriva dalle proprieta’ dell’operazione somma fra numeri interi; comunque limitiamoci ad un esempio

H\(_{_2}\),

\(\oplus\)

\(\otimes\)

Quindi la struttura () e’ un anello Siccome la moltiplicazione in H\(_{_2}\) non e’ commutativa avremo che l’anello non e’ commutativo Poiche’ la moltiplicazione in H\(_{_2}\) ha come elemento neutro l’elemento

1 0 0 1

e tale elemento e’ definito in modo univoco posso parlare di un solo elemento neutro e l’anello e’ unitario

spazi vettoriali

Il prossimo passo e’ di evidenziare le struttura dei numeri Complessi: sia i numeri razionali Q sia i numeri Reali R hanno la struttura di Campo; per proseguire nel nostro ragionamento vediamo in cosa i numeri complessi differiscono per struttura dai numeri razionali e reali: questo ci portera’ a definire una nuova struttura: gli spazi vettoriali.

1. Caratteristiche di un numero complesso
2. I vettori in fisica
3. La moltiplicazione nei numeri complessi
4. Spazio vettoriale
5. Esempi di spazi vettoriali

caratteristiche vettoriali di un numero complesso

Consideriamo un numero complesso, cioe’ a+ib formato da una parte reale piu’ una parte immaginaria e consideriamolo come segmento nel piano complesso la prima cosa che e’ evidente e’ che si tratta di un numero composto di due parti fra loro indipendenti nel senso che una parte e’ un normale numero reale e l’altra ha una parte i che la rende diversa dalla prima. Quindi potrei anche rappresentare il numero complesso OP = a+ib come la coppia P = ( a, b) considerando che il numero a si trova sulla retta reale R mentre il numero b si trova sulla retta immaginaria iR, cioe’ considerare il numero complesso come una coppia di numeri in cui il primo appartiene ad R ed il secondo ad iR

questo modo di pensare un punto e’ abbastanza comune in matematica: basta pensare al piano cartesiano ed alla rappresentazione di un punto mediante le coordinate; pero’ invece di considerare il punto P consideriamo il segmento OP (vettore) P = ( x, y) ma posso anche pensare OP = xi+yj con i e j segmenti unitari il primo sull’asse x ed il secondo sull’asse y

come l’abbiamo fatto per il piano possiamo farlo per lo spazio: rappresentiamo un punto P mediante le cooordinate P(x,y,z) e consideriamo il segmento OP. P = ( x, y, z) ma posso anche pensare OP = xi+yj +zk con i, j e k segmenti unitari il primo sull’asse x, il secondo sull’asse y ed il terzo sull’asse z

I vari segmenti OP, qui sopra considerati, sono dei vettori

i vettori in fisica

Se pensiamo alla fisica noi abbiamo trovato spesso il concetto di vettore e delle sue componenti In fisica un vettore, e’ un ente caratterizzato da un modulo (lunghezza del segmento) un verso (la freccia) ed un punto di applicazione (se consideriamo il punto di applicazione diremo che il vettore e’ applicato) Se, ad esempio, consideriamo una forza il modulo e’ il valore della forza, il verso e’ verso dove tira la forza, ed il punto di applicazione e’ il punto P dove tale forza e’ applicata

L’importante in fisica e’ pensare un vettore come somma di due o piu’ componenti: ad esempio consideriamo un piano inclinato: sul corpo agisce la forza peso f; posso pensare tale forza come composta di due parti:

• la prima f\(_{_x}\), perpendicolare al piano inclinato che viene annullata dal piano stesso per il terzo principio della dinamica (e’ la forza che ti piega la tavola che forma il piano inclinato, ma noi pensiamo tale piano non flessibile)
• la seconda f\(_{_y}\), parallela al piano e’ quella responsabile del moto del corpo, cioe’ quella che fa scendere il corpo lungo il piano

quindi, anche qui, come nella pagina precedente, posso scrivere f = f\(_{_x}\) + f \(_{_y}\)

uno degli esperimenti che preferivo era quello di mostrare la scomposizione di una forza nelle sue componenti: te lo descrivo:

occorrente un filo di nylon tipo da pesca, circa 1 metro 2 carrucole fissate su un supporto un insieme di 12 pesi uguali con gancetti Facciamo un cappio agli estremi del filo, facciamolo passare per le carrucole e poi colleghiamo ad un estremo 4 pesi ed all’altro estremo 3 pesi. attacchiamo con un gancetto 5 pesi al filo teso tra le due carrucole: allora i pesi si disporranno come in figura siccome il sistema e’ in equilibrio allora le forze che esistono (i pesi) si annullano fra loro; andiamo a disegnare tali forze:

le forze che agiscono sono i pesi (te li evidenzio in rosso): il gruppo di 5 pesi tira verso il basso, mentre i gruppi di 3 e 5 pesi tendono nella direzione dei fili per colpa delle carrucole Se il sistema e’ in equilibrio allora la forza F\(_{_3}\) che tende verso il basso e’ bilanciata da una forza uguale e contraria -F\(_{_3}\) che tende verso l’alto: tale forza e’ la somma vettoriale delle due forze che agiscono lungo il filo verso le carrucole cioe’ F\(_{_1}\) e F\(_{_2}\) sono le componenti di -F\(_{_3}\) lungo le direzioni del filo La figura che si forma e’ un rettangolo con i lati proporzionali a 3 e 4 e la diagonale a 5 (il semirettangolo e’ un triangolo rettangolo speciale di lati 3, 4 e 5) quindi -F\(_{_3}\) = F\(_{_1}\) + F\(_{_2}\)

in matematica possiamo pensare un vettore sempre con origine in O e quindi semplicemente come formato da modulo e verso: ad esempio, vedendo la figura a fianco puoi considerare il vettore PO: il modulo e’ la lunghezza del segmento ed il verso e’ da O a P

se considero il vettore unitario (cioe’ di modulo 1) esso viene detto versore Il vettore OP sara’ la somma OP = xi+yj ove x ed y sono numeri ed i e j sono i versori sull’asse x e sull’asse y

la moltiplicazione sui numeri complessi

La moltiplicazione sui numeri complessi Consideriamo un numero complesso, cioe’ a+ib formato da una parte reale piu’ una parte immaginaria e consideriamo l’operazione di moltiplicazione. Se moltiplico un numero complesso per un numero reale tale numero si trasforma in modo che la parte reale resta reale e le parte immaginaria resta immaginaria. 4·(2 + 3i) = 8 + 12i mentre se moltiplico un numero complesso per un numero immaginario tale numero si trasforma trasformando la parte reale nella parte immaginaria e viceversa. \(4i \cdot (2 + 3i) = 8i + 12i^2 = 8i - 12\) Cio’ ci porta a considerare l’esistenza di due operazioni di tipo moltiplicazione:

• una esterna (numero reale per numero complesso) che pur modificando il numero ne lascia inalterata la struttura: numero reale + numero immaginario nelle stesse proporzioni (se una parte raddoppia allora raddoppia anche l’altra) 2·(2 – 3i) = 4 – 6i
• una interna (numero complesso per numero complesso) che puo’ trasformare il numero anche nella sua struttura trasformando in alcuni casi il risultato anche nella sola parte reale \((3 + 4i) \cdot (2 - 3i) = 6 - 9i + 8i - 12i^2 = 6 - 9i + 8i + 12 = 18 - i (2 + 3i) \cdot (2 - 3i) = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13\)

Da notare che, nell’isieme dei numeri complessi, la moltiplicazione esterna fa solo ingrandire o rimpicciolire il vettore che rappresenta il numero complesso stesso, mentre la moltiplicazione interna oltre ad ingrandire o rimpicciolire il vettore lo fa anche ruotare (ampliare l’argomento in futuro)

spazio vettoriale

Ora possiamo finalmente evidenziare una struttura, lo spazio vettoriale che e’ quella suggerita dai numeri complessi C e quindi completare, per ora, le strutture basate sui numeri. Tale struttura (spazio) sara’ detta vettoriale perche’ ogni elemento di essa potra’ essere posto in corrispondenza con un determinato vettore

Consideriamo un Insieme di enti V ed un corpo commutativo K

\(\oplus\)

\(\otimes\)

indicheremo con x, y, t,… gli elementi di V (vettori) e con a, b, c,… gli elementi di K (scalari) indichiamo sugli elementi di V l’ operazione di addizione vettoriale con il simbolo + indichiamo sugli elementi di k le operazioni di addizione e moltiplicazione con i simboli e l’ operazione

\(\otimes\)

opera oltre che in K anche come moltiplicazione (scalare) fra gli elementi di K e V.

Diremo che V e’ uno spazio vettoriale sul campo K se abbiamo:

\(\otimes\)

la moltiplicazione scalare e’ commutativa: a

\(\otimes\)

x = x

\(\otimes\)

Vale la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale a

\(\otimes\)

(x + y) = a

\(\otimes\)

x + a

\(\otimes\)

Vale la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari (a

\(\oplus\)

\(\otimes\)

x = a

\(\otimes\)

x + b

\(\otimes\)

x Dopo l’uguale devo usare il simbolo + perche’ a

\(\otimes\)

x e b

\(\otimes\)

Vale la proprieta’ associativa fra gli scalari a

\(\otimes\)

\(\otimes\)

x) = (a

\(\otimes\)

\(\otimes\)

Inoltre se 1 e’ l’elemento neutro moltiplicativo di K allora vale: 1

\(\otimes\)

• L’insieme (V, +) e’ un gruppo commutativo
• La moltiplicazione scalare V ha come codominio una porzione di V
• a per ogni elemento di V e K
• y
• x sono vettori e quindi devo sommare due vettori
• x
• x = x

Lo spazio vettoriale e’ una di quelle strutture che meglio si prestera’ a studiare vari enti matematici, dai polinomi, alle matrici, agli spazi ad n dimensioni fino alle applicazioni lineari, quindi andrebbe sviluppata nei particolari (dimensione, sottospazi, basi, somma di spazi vettoriali,….) lasciando, per ora, lo sviluppo di questi argomenti a studi universitari, vediamo nella prossima pagina alcuni semplici esempi di spazi vettoriali

esempi di strutture di spazio vettoriale

Esempi di struttura di spazio vettoriale Consideriamo i seguenti esempi e mostriamo per ciascuno la presenza della struttura di spazio vettoriale, oppure mostriamo che tale struttura non esiste: per ognuno dovremo mostrare:

Supponendo presente la struttura di corpo su

dovremo mostrare:

la commutativita’ del prodotto scalare

\(\otimes\)

• la presenza di un gruppo commutativo su V con la somma
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari
• la proprieta’ associativa fra gli scalari

\(\otimes\)

\(\otimes\)

\(\otimes\)

1. Insieme C dei numeri complessi sul corpo R con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione in C e con la moltiplicazione scalare C numero reale per numero complesso dimostrazione
2. Ogni corpo K e’uno spazio vettoriale su se’ stesso; in tal caso vettori e scalari coincidono dimostrazione
3. Insieme R\(^{^3}\) dello spazio ordinario con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con la moltiplicazione scalare R\(^{^3}\) dimostrazione
4. Insieme R\(^{^n}\) dello spazio ad n dimensioni con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con la moltiplicazione scalare R\(^{^n}\) dimostrazione
5. Uno spazio funzionale F(x) i cui elementi sono funzioni y=f(x) in cui e’ definita la somma vettoriale come f(x)+g(x) ed il prodotto scalare come a·f(x) con a appartenete ad R dimostrazione
6. Insieme P(x) dei polinomi in x a coefficienti reali con le normali operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) fra polinomi sul corpo R e con la normale moltiplicazione · come prodotto scalare dimostrazione

\(\otimes\)

esercizio Individuare la struttura di spazio vettoriale per l’insieme C dei numeri complessi sul corpo R con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione in C e con la moltiplicazione scalare C numero reale per numero complesso

E’ l’esempio piu’ semplice perche’ e’ quello da cui abbiamo ricavato la struttura di spazio: questo esempio ci servira’ soprattutto per mostrare come bisogna procedere per mostrare la struttura di spazio vettor iale su un qualunque altro insieme

Dimostrazione: dovremo mostrare che abbiamo

• la presenza di un gruppo commutativo su C con la somma fra complessi
• la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R) R · C
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari
• la proprieta’ associativa fra gli scalari

Cominciamo dal primo punto

Mostriamo che ( C, +) e’ un gruppo commutativo; devono valere le proprieta’:

• + e’ interna infatti chiamati a+ib e c+id due elementi di C allora anche e+if = (a+ib) + (c+id) appartiene a C infatti (a+ib) + (c+id) = a+ib + c+id = (a+c) + i(b+d) = e + if essendo e = a+c ed f = b+d Se non e’ chiaro ferma il mouse sull’operazione
• + e’ associativa, infatti chiamati a+ib, c+id e e+if tre elementi di C abbiamo: (a+ib + c+id) + e+if = a+ib + (c+id + e+if) siccome dobbiamo sommare le parti reali con le parti reali e, per le parti immaginarie, dobbiamo mettere in evidenza la i per poi sommare i numeri reali entro parentesi, allora l’associativita’ deriva dal fatto che la somma in R e’ associativa
• + possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento 0+i0 tale che per ogni elemento a+ib di C abbiamo a+ib + 0+i0 = 0+i0 + a+ib = a+ib
• ogni elemento a+ib di C possiede in + l’elemento simmetrico -a-ib tale che: a+ib + (-a-ib) = (-a-ib) + a+ib = 0+i0 Infatti dato un numero complesso basta considerare lo stesso numero con segni opposti;

• Quindi ( C, +) e’ un gruppo; inoltre tale gruppo e’ commutativo perche’ presi comunque due elementi a+ib e c+id di C vale sempre a+ib + c+id = (a+c)+i(b+d) = (c+a)+i(d+b) = c+id + a+ib siccome dobbiamo sommare le parti reali con le parti reali e, per le parti immaginarie, dobbiamo mettere in evidenza la i per poi sommare i numeri reali entro parentesi, allora la commutativita’ deriva dalla commutativita’ della somma fra numeri reali

Mostriamo la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R) x · (a+ib) = x·a + x·ib = ax + i bx = (a + ib )·x Il prodotto ordinario in R e’ commutativo, quindi… Mostriamo la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale x·[(a+ib)+(c+id)]= x·(a+ib+c+id)= x·a +x·ib +x·c +x·id = ax+ibx+cx+idx= x·(a+ib) +x·(c+id) Mostriamola proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari x·(y+z) = x·y + x·z siamo in R e quindi la proprieta’ e’ valida Mostriamo la proprieta’ associativa fra gli scalari x·(y·z) = (x·y)·z siamo sempre in R e quindi la proprieta’ e’ valida Quindi C) e’ uno spazio vettoriale sul campo R

esercizio Individuare la struttura di spazio vettoriale per un generico corpo K su se’ stesso Dimostrazione: dovremo mostrare che abbiamo

• la presenza di un gruppo commutativo su K con la somma fra elementi di K
• la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in K)
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari
• la proprieta’ associativa fra gli scalari

Cominciamo dal primo punto

• ( K, +) e’ un gruppo commutativo; infatti e’ un corpo quindi la proprieta’ di essere gruppo commutativo fa parte delle proprieta’ di un corpo
• la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in K) deriva sempre dalla definizione di corpo
• La proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale deriva dalla definizione di corpo
• La proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari deriva dalla definizione di corpo
• La proprieta’ associativa fra gli scalari deriva dalla definizione di corpo

Quindi K) e’ uno spazio vettoriale sul corpo K

Individuare la struttura di spazio vettoriale sullo spazio ordinario R\(^{^3}\) con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con moltiplicazione scalare la normale moltiplicazione R·R\(^{^3}\) Dimostrazione: dovremo mostrare che abbiamo

• la presenza di un gruppo commutativo su R\(^{^3}\) con l’operazione somma (nelle componenti si riduce a somma fra elementi di R)
• la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R)
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari
• la proprieta’ associativa fra gli scalari

Cominciamo dal primo punto

Mostriamo che ( R\(^{^3}\), +) e’ un gruppo commutativo; devono valere le proprieta’:

• + e’ interna infatti chiamati (a, b, c) e (d,e,f) due elementi di R\(^{^3}\) allora anche (a+d, b+e, c+f) appartiene a R\(^{^3}\) infatti abbiamo che sulle varie componenti vale l’addizione in R
• + e’ associativa, infatti chiamati (a, b, c), (d, e, f) e (g, h, i) tre elementi di R\(^{^3}\) abbiamo: [(a, b, c)+(d, e,f)]+(g,h,i) = (a+d, b+e, c+f)+(g, h, i) = = (a+d+g, b+e+h, c+f+i)= (a, b, c)+(d+g, e+h, f+i) = = (a, b, c)+[(d, e, f)+(g, h, i)] Infatti prioiettandoci sulle varie componenti l’addizione in R e’ associativa
• + possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento (0, 0, 0) tale che per ogni elemento (a, b, c) di R\(^{^3}\) abbiamo (0, 0, 0)+(a, b, c) = (0+a, 0+b, 0+c) = (a+0, b+0, c+0) = = (a, b, c) + (0, 0, 0) sulle componenti l’addizione e’ commutativa
• ogni elemento (a, b, c) di R\(^{^3}\) possiede in + l’elemento simmetrico (-a, -b, -c) tale che: (a, b, c) + (-a, -b, -c) = (a-a, b-b, c-c) = (0, 0, 0) Infatti dato su una componente un numero reale basta considerare lo stesso numero con segno opposto;

• Quindi ( R\(^{^3}\), +) e’ un gruppo; inoltre tale gruppo e’ commutativo perche’ presi comunque due elementi (a, b, c) e (d, e, f) di R\(^{^3}\) vale sempre (a, b, c)+(d, e, f) = (a+d, b+e, c+f) = (d+a, e+b, f+c) = (d, e, f)+(a, b, c) infatti su una componente posso applicare la legge commutativa valida in R

Mostriamo la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R) x · (a, b, c) = (x·a, x·b, x·c) = (a·x, b·x, c·x) = (a, b, c)·x Il prodotto ordinario in R e’ commutativo, quindi… Mostriamo la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale x·[(a, b, c)+(d, e, f)]= x·(a+d, b+e, c+f)= = [x·(a+d), x·(b+e), x·(c+f)] = (xa+xd, xb+xe, xc+xf) = = (ax+dx, bx+ex, cx+fx) =(dx+ax, ex+bx, fx+cx) = =(dx, ex, fx)+(ax, bx, cx) = (xd, xe, xf)+(xa, xb, xc) = x(d, e, f) + x(a, b, c) se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi Mostriamola proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari x·(y+z) = x·y + x·z siamo in R e quindi la proprieta’ e’ valida Mostriamo la proprieta’ associativa fra gli scalari x·(y·z) = (x·y)·z siamo sempre in R e quindi la proprieta’ e’ valida Quindi R\(^{^3}\)) e’ uno spazio vettoriale sul corpo R

esercizio Individuare la struttura di spazio vettoriale sullo spazio ordinario R\(^{^n}\) con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con moltiplicazione scalare la normale moltiplicazione R·R\(^{^n}\)

E’ la stessa dimostrazione fatta nella pagina precedente, solamente consideriamo n componenti invece delle tre ordinarie, quindi procede nello stesso modo: se hai fatto quella puoi non fare questa

Dimostrazione: dovremo mostrare che abbiamo

• la presenza di un gruppo commutativo su R\(^{^n}\) con l’oprazione somma (nelle componenti si riduce a somma fra elementi di R)
• la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R)
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari
• la proprieta’ associativa fra gli scalari

Cominciamo dal primo punto

Mostriamo che ( R\(^{^3}\), +) e’ un gruppo commutativo; devono valere le proprieta’:

• + e’ interna infatti chiamati (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) e (b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., b\(_{_n}\)) due elementi di R\(^{^n}\) allora anche (a\(_{_1}\)+b\(_{_1}\), a\(_{_2}\)+b\(_{_2}\), a\(_{_3}\)+b\(_{_3}\), ……, a\(_{_n}\)+b\(_{_n}\)) appartiene a R\(^{^n}\) infatti abbiamo che sulle varie componenti vale l’addizione in R
• + e’ associativa, infatti chiamati (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)), (b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., b\(_{_n}\)) e (c\(_{_1}\), c\(_{_2}\), c\(_{_3}\), ….., c\(_{_n}\)) tre elementi di R\(^{^3}\) abbiamo: [(a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\))+(b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., b\(_{_n}\))]+(c\(_{_1}\), c\(_{_2}\), c\(_{_3}\), ….., c\(_{_n}\)) = = (a\(_{_1}\)+b\(_{_1}\), a\(_{_2}\)+b\(_{_2}\), a\(_{_3}\)+b\(_{_3}\), ……, a\(_{_n}\)+b\(_{_n}\))+(c\(_{_1}\), c\(_{_2}\), c\(_{_3}\), ….., c\(_{_n}\))= = (a\(_{_1}\)+b\(_{_1}\)+c\(_{_1}\), a\(_{_2}\)+b\(_{_2}\)+c\(_{_2}\), a\(_{_3}\)+b\(_{_3}\)+c\(_{_3}\), ……, a\(_{_n}\)+b\(_{_n}\)+c\(_{_n}\))= = [a\(_{_1}\)+(b\(_{_1}\)+c\(_{_1}\)), a\(_{_2}\)+(b\(_{_2}\)+c\(_{_2}\)), a\(_{_3}\)+(b\(_{_3}\)+c\(_{_3}\)), ……, a\(_{_n}\)+(b\(_{_n}\)+c\(_{_n}\))]= = (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\))+(b\(_{_1}\)+c\(_{_1}\), b\(_{_2}\)+c\(_{_2}\), b\(_{_3}\)+c\(_{_3}\), ……, b\(_{_n}\)+c\(_{_n}\)) = = (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\))+[(b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., b\(_{_n}\))+(c\(_{_1}\), c\(_{_2}\), c\(_{_3}\), ….., c\(_{_n}\))] Infatti sulle varie componenti (in R) vale le proprieta’ associativa dell’addizione
• + possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento (0, 0, 0,……,0) tale che per ogni elemento (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) di R\(^{^3}\) abbiamo (0, 0, 0,…..,0)+(a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) = = (0+a\(_{_1}\), 0+a\(_{_2}\), 0+a\(_{_3}\), ….., 0+a\(_{_n}\)) = = (a\(_{_1}\)+0, a\(_{_2}\)+0, a\(_{_3}\)+0, ….., a\(_{_n}\)+0) = = (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) + (0, 0, 0,…..,0) Questo perche’ sulle componenti l’addizione e’ commutativa
• ogni elemento (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) di R\(^{^n}\) possiede in + l’elemento simmetrico (-a\(_{_1}\), -a\(_{_2}\), -a\(_{_3}\), ….., -a\(_{_n}\)) tale che: (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) + (-a\(_{_1}\), -a\(_{_2}\), -a\(_{_3}\), ….., -a\(_{_n}\)) = = (a\(_{_1}\)-a\(_{_1}\), a\(_{_2}\)-a\(_{_2}\), a\(_{_3}\)-a\(_{_3}\),…….. a\(_{_n}\)-a\(_{_n}\)) = (0, 0,0,…..,0) Infatti dato su una componente un numero reale basta considerare lo stesso numero con segno opposto;

• Quindi ( R\(^{^n}\), +) e’ un gruppo; inoltre tale gruppo e’ commutativo perche’ presi comunque due elementi (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) e (b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., n\(_{_n}\)) di R\(^{^n}\) vale sempre (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\))+(b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., b\(_{_n}\)) = = (a\(_{_1}\)+b\(_{_1}\), a\(_{_2}\)+b\(_{_2}\)+a\(_{_3}\)+b\(_{_3}\),…….. a\(_{_n}\)+b\(_{_n}\)) = =(b\(_{_1}\)+a\(_{_1}\), b\(_{_2}\)+a\(_{_2}\), b\(_{_3}\)+a\(_{_3}\), …….. b\(_{_n}\)+a\(_{_n}\)) = = (b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., b\(_{_n}\))+(a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) infatti su una componente posso applicare la legge commutativa valida in R

Mostriamo la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R) x · (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) = (x·a\(_{_1}\), x·a\(_{_2}\), x·a\(_{_1}\), ……..,x·a\(_{_n}\)) = =(a\(_{_1}\)·x, a\(_{_2}\)·x, a\(_{_3}\)·x,…..,a\(_{_n}\)·x ) = (a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\))·x Il prodotto ordinario in R e’ commutativo, quindi… Mostro la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale x·[(a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\))+(b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., b\(_{_n}\))]= =x·(a\(_{_1}\)+b\(_{_1}\), a\(_{_2}\)+b\(_{_2}\), a\(_{_3}\)+b\(_{_3}\),……., a\(_{_n}\)+b\(_{_n}\))= = [x·(a\(_{_1}\)+b\(_{_1}\), x·(a\(_{_2}\)+b\(_{_2}\)), x·(a\(_{_3}\)+b\(_{_3}\)),……., x·(a\(_{_n}\)+b\(_{_n}\))]= = (xa\(_{_1}\)+xb\(_{_1}\), xa\(_{_2}\)+xb\(_{_2}\), xa\(_{_3}\)+xb\(_{_3}\),……., xa\(_{_n}\)+xb\(_{_n}\)) = = (a\(_{_1}\)x+b\(_{_1}\)x, a\(_{_2}\)x+b\(_{_2}\)x, a\(_{_3}\)x+b\(_{_3}\)x,……., a\(_{_n}\)x+b\(_{_n}\)x) = =(b\(_{_1}\)x+a\(_{_1}\)x, b\(_{_2}\)x+a\(_{_2}\)x, b\(_{_3}\)x+a\(_{_3}\)x,……., b\(_{_n}\)x+a\(_{_n}\)x) = =(b\(_{_1}\)x, b\(_{_2}\)x, b\(_{_3}\)x,…….,b\(_{_n}\)x)+(a\(_{_1}\)x, a\(_{_2}\)x, a\(_{_3}\)x,……., a\(_{_n}\)x) = = (xb\(_{_1}\), xb\(_{_2}\), xb\(_{_3}\),…….,xb\(_{_n}\))+(xa\(_{_1}\), xa\(_{_2}\), xa\(_{_3}\),……., xa\(_{_n}\)) = = x(b\(_{_1}\), b\(_{_2}\), b\(_{_3}\), ….., b\(_{_n}\)) + x(a\(_{_1}\), a\(_{_2}\), a\(_{_3}\), ….., a\(_{_n}\)) se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi Mostriamola proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari x·(y+z) = x·y + x·z siamo in R e quindi la proprieta’ e’ valida Mostriamo la proprieta’ associativa fra gli scalari x·(y·z) = (x·y)·z siamo sempre in R e quindi la proprieta’ e’ valida Quindi R\(^{^n}\)) e’ uno spazio vettoriale sul corpo R

esercizio Individuare la struttura di spazio vettoriale sullo spazio funzionale F(x) i cui elementi sono funzioni y=f(x) (definite su tutto R)?, in cui e’ definita la somma vettoriale come la nuova funzione y = f(x)+g(x) ed il prodotto scalare come a·f(x) con a appartenete ad R Dimostrazione: dovremo mostrare che abbiamo

• la presenza di un gruppo commutativo su F(x) con l’operazione somma
• la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario)
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari
• la proprieta’ associativa fra gli scalari

Cominciamo dal primo punto

Mostriamo che ( F(x), +) e’ un gruppo commutativo; devono valere le proprieta’:

+ e’ associativa infatti chiamati f\(_{_1}\)(x), f\(_{_2}\)(x) e f\(_{_3}\)(x) tre elementi di F(x) abbiamo: [f\(_{_1}\)(x) + f\(_{_2}\)(x)]+ f\(_{_3}\)(x) = f\(_{_1}\)(x) + [f\(_{_2}\)(x) + f\(_{_3}\)(x)] Al solito le proprieta’ della somma in R si applicano anche alla somma dei termini delle funzioni: te lo mostro su un esempio Consideriamo le funzioni

y\(_{_1}\) = x\(^{^2}\) + log x y\(_{_2}\) = x\(^{^2}\) + 3x + 4 y\(_{_1}\) = e\(^{^x}\) + x Devo mostrare che vale [x\(^{^2}\) + log x + x\(^{^2}\) + 3x + 4]+ e\(^{^x}\) + x = x\(^{^2}\) + log x + [x\(^{^2}\) + 3x + 4 + e\(^{^x}\) + x] Basta applicare la proprieta’ associativa e dissociativa della somma [x\(^{^2}\) + log x + x\(^{^2}\) + 3x + 4]+ e\(^{^x}\) + x = x\(^{^2}\) + log x + x\(^{^2}\) + 3x + 4 + e\(^{^x}\) + x = x\(^{^2}\) + log x + [x\(^{^2}\) + 3x + 4 + e\(^{^x}\) + x] se fermi il mouse sui passaggi leggi la spiegazione

ogni elemento f\(_{_1}\)(x) di F(x) possiede in + l’elemento simmetrico -f\(_{_1}\)(x) tale che: f\(_{_1}\)(x)-f\(_{_1}\)(x) = 0 Infatti bastera’ considerare la funzione i cui termini hanno segno opposto.

Esempio: se f\(_{_1}\)(x) = x\(^{^2}\) + logx considero come simmetrica -f\(_{_1}\)(x) = -x\(^{^2}\) – logx

• + e’ interna infatti chiamati y=f\(_{_1}\)(x) e y = f\(_{_2}\)(x) due elementi di F(x) allora anche f\(_{_3}\)(x) = f\(_{_1}\)(x)+f\(_{_2}\)(x) appartiene a F(x) infatti una somma di funzioni e’ ancora una funzione
• + possiede l’elemento neutro: infatti esiste la funzione y = 0 tale che per ogni elemento (f\(_{_1}\)(x) + 0 = 0 + f\(_{_1}\)(x) = f\(_{_1}\)(x)

• Quindi ( F(x), +) e’ un gruppo; inoltre tale gruppo e’ commutativo perche’ presi comunque due elementi f\(_{_1}\)(x) e f\(_{_2}\)(x) di F(x) vale sempre f\(_{_1}\)(x) + f\(_{_2}\)(x) = f\(_{_2}\)(x) + f\(_{_1}\)(x) infatti la somma dei termini di una funzione e’ commutativa

x · f\(_{_1}\)(x) = f\(_{_1}\)(x) ·x

Mostriamo, su un esempio la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario) \(3 \cdot (x^2 + logx) = 3 \cdot x^2 + 3 \cdot logx = x^2 \cdot 3 + logx \cdot 3 = (x^2 + logx) \cdot 3\) se fermi il mouse sui passaggii leggi la spiegazione

Proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale x·[f\(_{_1}\)(x)+f\(_{_2}\)(x)] = x·f\(_{_1}\)(x)+x·f\(_{_2}\)(x)

Anche qui te la mostro su un esempio f\(_{_1}\)(x) = e\(^{^x}\) + x f\(_{_2}\)(x) = x\(^{^2}\) + x + 3 4· [(e\(^{^x}\) + x) + (x\(^{^2}\) + x + 3)] = 4· [e\(^{^x}\) + x + x\(^{^2}\) + x + 3] = = 4·e\(^{^x}\) + 4·x + 4·x\(^{^2}\) + 4·x + 4·3 = (4·e\(^{^x}\) + 4·x) + (4·x\(^{^2}\) + 4·x + 4·3) = = 4· (e\(^{^x}\) + x) + 4· (x\(^{^2}\) + x + 3) se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi

Mostriamola proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari x·(y+z) = x·y + x·z siamo in R e quindi la proprieta’ e’ valida Mostriamo la proprieta’ associativa fra gli scalari x·(y·z) = (x·y)·z siamo sempre in R e quindi la proprieta’ e’ valida Quindi F(x)) e’ uno spazio vettoriale sul corpo R

esercizio Individuare la struttura di spazio vettoriale sull’ insieme P(x) dei polinomi in x a coefficienti reali con le normali operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) fra polinomi sul corpo R e con la normale moltiplicazione · come prodotto scalare

Per insieme dei polinomi P(x) si intende l’insieme dei polinomi della forma a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a con n = 0,1,2,….,n,n+1,….non ho capito L’operazione di addizione significa l’addizione fra polinomi per cui sommiamo algebricamente i coefficienti dei termini con x allo stesso grado: cioe’, se n e maggiore di m avremo \((a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} .... a_2x^2 + a_1x + a) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} .... b_2x^2 + b_1x + b) = = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} .... + (a_m+b_m)x^m + (a_{m-1}+b_{m-1})x^{m-1} .... + (a_2+b_2)x^2 + (a_1+b_1)x + (a+b)\) Il prodotto fra polinomi e’ il normale prodotto fra polinomi gia’ visto

Dimostrazione: dovremo mostrare che abbiamo

• la presenza di un gruppo commutativo su P(x) con l’operazione somma
• la commutativita’ del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario su ogni termine)
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale
• la proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari
• la proprieta’ associativa fra gli scalari

Cominciamo dal primo punto: ti ripeto la dimostrazione gia’ fatta nell’esercizio sugli anelli

Mostriamo che ( P(x), +) e’ un gruppo commutativo; devono valere le proprieta’:

+ e’ interna infatti avremo sempre che la somma di due polinomi in x e’ sempre ancora un polinomio in x: facciamo un esempio pratico: (2x\(^{^3}\) + 5x\(^{^2}\) -4x + 3) + (3x\(^{^2}\) + 4) = 2x\(^{^3}\) + 8x\(^{^2}\) -4x + 7

In pratica la somma nei polinomi si riduce alla somma dei coefficienti numerici di stesso grado e quindi le proprieta’ della somma sono le stesse che hanno i numeri reali

• + e’ associativa, infatti chiamati A(x), B(x) e C(x) tre elementi di P(x) abbiamo: [A(x) + B(x)] + C(x) = A(x) + [ B(x) + C(x)] facciamo anche qui un esempio pratico: [(2x\(^{^3}\) + 5x\(^{^2}\) -4x + 3) + (3x\(^{^2}\) + 4)] + (2x\(^{^2}\) + 3x -4) = = (2x\(^{^3}\) + 5x\(^{^2}\) -4x + 3) + [(3x\(^{^2}\) + 4) + (2x\(^{^2}\) + 3x -4)] per mostrarlo basta che fai i calcoli prima e dopo l’uguale e mostri che i risultati sono uguali: lo sono perche’ la somma fra i coefficienti (essendo numeri reali) gode della proprieta’ associativa
• + possiede l’elemento neutro: infatti esiste l’elemento P(0), intendendo P(0) come il polinomio 0x\(^{^n}\)+….+0x\(^{^2}\)+0x+0 tale che per ogni elemento A(x) di P(x) abbiamo A(x) + P(0) = A(x) P(0) + A(x) = A(x) cioe’ sommando P(0) a qualunque elemento l’altro elemento non cambia

ogni elemento A(x) di P(x) possiede in + l’elemento simmetrico: infatti preso A(x) = a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a il simmetrico e’ A'(x)= -a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) – a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. -a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) – a\(_{_1}\)x – a infatti A(x) + A'(x) = 0 Quindi ( P(x), +) e’ un gruppo; inoltre il gruppo e’ commutativo perche’ commutativa e’ la somma fra i coefficienti numerici Cioe’ presi comunque due elementi P\(_{_1}\)(x) e P\(_{_2}\)(x) di P(x) vale sempre P\(_{_1}\)(x) + P\(_{_2}\)(x) = P\(_{_2}\)(x) + P\(_{_1}\)(x) La commutativita’ del prodotto scalare deriva dalla commutativita’ del prodotto ordinario fra numeri rali dovendo moltiplicare il numero dato per ogni coefficiente numerico h · (a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a) = =ha\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + ha\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. ha\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + ha\(_{_1}\)x + ha = = a\(_{_n}\)h x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)hx\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)hx\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)hx + ah = = (a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a) ·h

se fermi il mouse sui passaggi leggi la spiegazione

Proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale h·[P\(_{_1}\)(x)+P\(_{_2}\)(x)] = h·P\(_{_1}\)(x)+h·P\(_{_2}\)(x) Dimostriamolo: supponiamo m>n Supponiamo sia P\(_{_1}\)(x) un generico polinomio di grado n e P\(_{_2}\)(x) un polinomio generico di grado m ed inoltre supponiamo m>n h· [(a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a) + (b\(_{_m}\)x\(^{^m}\) + b\(_{_{m-1}}\)x\(^{^{m-1}}\) ….+b\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + b\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\)+….. +b\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + b\(_{_1}\)x + b)] = = h· (a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a + b\(_{_m}\)x\(^{^m}\) + b\(_{_{m-1}}\)x\(^{^{m-1}}\) ….+b\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + b\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\)+……. +b\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + b\(_{_1}\)x + b) = = ha\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + ha\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. ha\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + ha\(_{_1}\)x + ha + hb\(_{_m}\)x\(^{^m}\) + hb\(_{_{m-1}}\)x\(^{^{m-1}}\) ….+hb\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + hb\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) hb\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + hb\(_{_1}\)x + hb = = (ha\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + ha\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. ha\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + ha\(_{_1}\)x + ha) + (hb\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + hb\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\)+ …+hb\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + hb\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\)+… +hb\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + hb\(_{_1}\)x + hb) = = h· (a\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + a\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\) …. a\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + a\(_{_1}\)x + a) + h· (b\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + b\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\)+ ….+b\(_{_n}\)x\(^{^n}\) + b\(_{_{n-1}}\)x\(^{^{n-1}}\)+……. +b\(_{_2}\)x\(^{^2}\) + b\(_{_1}\)x + b) se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi

Mostriamola proprieta’ distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione di scalari h·(p+q) = h·p + h·q siamo in R e quindi la proprieta’ e’ valida Mostriamo la proprieta’ associativa fra gli scalari h·(p·q) = (h·p)·q siamo sempre in R e quindi la proprieta’ e’ valida Quindi F(x)) e’ uno spazio vettoriale sul corpo R