Calcolare i seguenti integrali indefiniti applicando il metodo di integrazione per sostituzione:
Esercizio 1 \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx \] Ponendo \[ t=e^{x} \] ricaviamo x: \[ x=\ln t \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\rightarrow dx=\frac{1}{t}dt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{1+t}\cdot\frac{1}{t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{t\left(t+1\right)}dt \] Cerchiamo ora A e B tali che \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1} \] \[ \frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{\left(A+B\right)t+A}{t\left(t+1\right)} \] \[ A=1\;;\; B=-1 \] L’integrale diventa: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\int\frac{1}{t}dt-\int\frac{1}{t+1}dt \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\ln\left|t\right|-\ln\left|t+1\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=\ln e^{x}-\ln\left(e^{x}+1\right)+C \] \[ \int\frac{1}{1+e^{x}}dx=x-\ln\left(e^{x}+1\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx \] Ponendo \[ x=\sin t \] ricaviamo t: \[ t=\arcsin x \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=\cos t\rightarrow dx=\cos tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int\sqrt{1-\sin^{2}t}\cos tdt \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\int\cos^{2}tdt \] Ricordando la formula di riduzione del coseno: \[ \cos^{2}t=\frac{1+\cos2t}{2} \] abbiamo che \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(\int dt+\int\cos2tdt\right) \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{2}\sin2t\right)+C \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(t+\sin t\cos t\right)+C \] \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(t+\sin t\sqrt{1-\sin^{2}t}\right)+C \] Risulta quindi: \[ \int\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\left(\arcsin x+x\sqrt{1-x^{2}}\right)+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx \] Ponendo \[ t=\sqrt{x} \] ricaviamo x: \[ x=t^{2} \] e quindi \[ \frac{dx}{dt}=2t\rightarrow dx=2tdt \] Ora, ritornando all’integrale iniziale: \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=\int\frac{2t}{1+t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2\int\frac{t+1-1}{1+t}dt \] \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2\left(\int dt-\int\frac{1}{t+1}dt\right) \] \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2t-2\ln\left|t+1\right|+C \] Risulta quindi: \[ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}-2\ln\left(\sqrt{x}+1\right)+C \]
Perché nel terzo esercizio risulta t+1+1?
Salve Albert mi potresti dire come risolvere il seguente intergrale?
int(e^x+2e^x+3)/(e^x+1)dx. Ho sostituito e^x=t ma alla fine mi viene: int(t+2t+3)/(t*(t+1))dt. Non so più come continuare. Grazie in anticipo
es. 2- se al posto di x=sen(t) pongo t=x^2, cosa cambia? faccio un errore?
Salve Alber perchè nel secondo esercizio rad(1-sen^2t) cost dt = cos^2t?? –
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salve albert mi postrsti aiutare con questo esercizio int [(x^3)*e^(-2t^2)]dx
ciao albert,potresti spiegarmi nel primo esercizio,perche’ a=1 e b=-1??grazie mille
perchè a+b=0 è il coefficiente di t, mentre a=1 è il termine noto
Ciao Albert! Nel secondo esercizio , è possibile sostituire x^2 con cos^2x? grazie
Si certo!
io non capisco nel secondo esercizio perchè ∫cos2tdt=(1/2)sin2t
perchè hai bisogno all’interno dell’integrale della derivata della funzione interna (la derivata di 2t ovvero 2):
int cos2t dt = 1/2 int 2cos2t dt = 1/2 sen2t +C
ciao ma perche nel secondo es. il cos2t diventa 1/2sen2t?? la formula non è 1/2-sen^2t? spero di essermi spiegato bene..
no, perchè l’integrale di cosx è senx
;)
Albert davero,non so come ringraziarti. In questi giorni di preparazione all’esame sono sempre sul tuo sito!
Grazie,davvero
Matteo
Grazie a te Matteo! In bocca al lupo per l’esame!
ma la derivata dell arcsen come vieve cos ??
coseno è la derivata del seno:
x=sent –> dx/dt=cost
ma nell’esercizio prima non si era derivato t=e`x, ma x=lnt! perché ora é differente?
Non è diverso: si deriva sempre x=… in modo da trovare dx
Ciao Albert, volevo chiederti: ma A e B sono il metodo di calcolo dell’integrale di una funzione razionale?
Si, non per tutte però…se ti vedi tutti gli esercizi sugli integrali di funzioni razionali fratte qui pubblicati te ne accorgi, e impari quando applicare questo metodo e quando no…
ciao albert volevo sapere secondo quale criterio eguagli la variabile t, nel secondo esercizio, a senx. grazie
la variabile x a sent scusa l’ errore
Perchè sai che se al posto della x nella tua funzione integranda avessi sen(t): rad(1-sen^2)=cos(t)
Ciao Albert volevo sapere come hai trovato a e b nel primo esercizio grazie mille
Visto che i denominatori sono uguali:
1 = (A+B)t +A
0t +1 = (A+B)t +A
Quindi:
A+B=0
A=1
Il sistema diventa:
B=-A=-1
A=1
Scusa albert, ma non riesco proprio a capire questo passaggio.
Allora puoi rivederti sul sito gli esercizi sugli “integrali di funzioni razionali fratte”
La radice di (1 – (sin t)**2) non è uguale a cos t bensi a valore assoluto di cos t.
quindi la sostituzione finale non può essere (cost)**2 ma
|cos t| * cos t.
Cosi mi sembra!!
Bella obiezione, ti rispondo così: l’integrale iniziale ha una funzione integranda sempre positiva (rad(1-x^2)), quindi anche |cos t| * cos t che giustamente (rigorosamente) hai ottenuto tu dev’esserlo, ovvero deve valere (cos(t))^2.
In pratica in questo tipo di integrali per sostituzione non preoccuparti troppo dei valori assoluti…
Ciao Anonimo,
il tuo passaggio è corretto, ma non ottieni un integrale immediato. Avresti bisogno anche di un -2x (derivata della funzione 1-x^2) a moltiplicare la parentesi. E questo -2x non c’è purtroppo… :)
Salve Albert.
Volevo chiedere: l’esercizio 2 può essere risolto anche portanto 1-x^2 fuori dalla radice, cosicché diventi (1-x^2)^(1/2) e poi risolvere l’integrale immediato? GRazie….
Ciao,
– Portando fuori dall’integrale il 2, al numeratore mi rimane t
– Poi decido io di aggiungere e togliere 1 (tanto sappiamo che 1-1=0), in modo da poter separare l’integrale in due parti (terzo passaggio)
salve, come ha fatto ad ottenere:
t+1-1 nel terzo esercizio?
grazie