Testo
Determinare l’espressione analitica della funzione \(y=f(x) \) sapendo che la retta \( y=-2x+5 \) è tangente al grafico di f nel secondo quadrante e che \( f^{‘}(x)=-2x^2+6 \).

Soluzione
Dall’espressione della derivate prima della funzione si può ottenere l’espressione della funzione trovandone una primitive, cioè integrando:
\[ f(x)= \int(-2x^{2}+6) dx = -2 (\frac{x^{3}}{3}) + 6x + c \].
Bisogna quindi determinare la costante additiva c. A tal fine, la condizione che la retta rappresentata dall’ equazione \( y=-2x+5 \) sia tangente al grafico della f si traduce nell’uguaglianza delle rispettive derivate ossia nell’equazione:

\[ f^{‘}(x) = y^{‘} \Rightarrow f^{‘}(x) = D(-2x+5) \Rightarrow -2x^{2}+6=-2 \],

che come soluzione ha: \( x=\pm 2 \).
Siccome il punto di tangenza P appartiene al II quadrante la sua ascissa dev’ essere \( x_p = -2 \) mentre l’ordinata si deduce sostituendo tale valore nell’equazione della retta, ottenendo \( y_p=9 \). Pertanto il punto P risulta: \( P=(-2,9) \).

Possiamo ora conoscere la costante c e quindi la funzione incognita imponendo che P
appartenga al grafico di f ossia che sia \( f(-2)=9 \). Da qui risulta c=47/3.
L’equazione complete sarà dunque:

\[ f(x)= -\frac{2}{3} x^{3}+6x+ \frac{47}{3} \].