Testo
Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula:
\[ V= \frac{1}{3} \pi \cdot h \cdot (R^{2}+r^{2}+Rr) \],
dove R ed r sono i raggi e h l’altezza.
Soluzione
Per risolvere questo quesito ci possono essere due strade: una geometrica ed una analitica.
Per prima mostriamo la via geometrica. La seguente figura mostra un tronco di cono avente per basi due cerchi di raggio rispettivamente R e r con R > r ed altezza h.
La base minore del tronco è ottenuta dal cono sezionando questo solido con un piano parallelo alla base maggiore e perpendicolare all’altezza. Se x è la distanza della base minore dal vertice del cono, un qualsiasi piano passante per l’altezza permette di riconoscere due triangoli rettangoli simili aventi in comune il vertice del cono (colorati). Si può scrivere allora la seguente proporzione:
\[ \frac{x}{r}=\frac{x+h}{R} \],
da cui si ricava: \( x=\frac{hr}{R-r} \)
Il volume V è dato dalla differenza del volume del cono \( V_{1} \) con quello di un secondo cono \( V_{2} \) avente come base la base minore del tronco. In formule, sapendo il volume del cono:
\[ V= \frac{1}{3} (\pi R^{2}) (h+x) – \frac{1}{3} (\pi r^{2}) x \].
Inserendo il valore di x si ottiene:
\[ V= \frac{1}{3} \pi \cdot h \cdot (R^{2}+r^{2}+Rr) \].
Il secondo metodo di risoluzione è quello analitico. Definiamo i seguenti punti: A(0, r) e
B(h,R) ( 0 < r < R e h > 0 ) in un piano cartesiano e determiniamo la retta passante per
questi come mostrato nella figura sottostante.
Questa retta ha termine noto yA = r ed equazione \( y = m_{AB}x+r \) con il coefficiente angolare dato da:
\[ m_{AB}= \frac{yB-yA}{xB-xB}= \frac{R-r}{h} \].
La regione S genera, in una rotazione completa attorno all’asse x il tronco di cono con raggi r e R e altezza h come definiti dal testo del quesito. Il suo volume si determina quindi utilizzando la formula per i solidi di rotazione:
\[ V= \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx= \pi \int_{0}^{h} (\frac{R-r}{h} \cdot x + r)^2 dx\].
Come risultato, sviluppando il quadrato e risolvendo l’integrale, si ritrova il volume V richiesto dal testo.