Testo

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più’’ due volte? Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno’’ due volte?

Soluzione

La probabilità che esca testa in un lancio di una moneta non truccata è \( p =1/2 \) mentre la probabilità di ottenere \( k \) volte testa in n lanci è descritta dalla distribuzione binomiale

\[P(k,p)= {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} = {n \choose k} \cdot \frac{1}{2}^n \],

(avendo posto \( p=1-p=1/2 \).
Per cui, siccome si chiede la probabilità che sia \( P(0 \leq k \leq 2) \), con un numero di lanci pari a \( n = 6 \), risulta

\[
P(0 \leq k \leq 2)= P(0, \frac{1}{2})+P(1, \frac{1}{2})+P(2, \frac{1}{2})
\]

\[
= {6 \choose 0} \cdot \frac{1}{2^6} + {6 \choose 1} \cdot \frac{1}{2^6} + {6 \choose 2} \cdot \frac{1}{2^6}
\]

\[
= \frac{1}{2^6} (1+6+15)\approx0,3438 \]
\]
Si chiede inoltre che il numero di successi (testa) sia almeno che formalmente vuol dire: \( P(k \geq 2) \). Possiamo utilizzare il teorema della probabilità contraria che afferma:

\[ P(k \geq 2)=1- P(k < 2) = 1-P(0, \frac{1}{2})-P(1, \frac{1}{2}) \approx 0,8906 \].