Testo

Sia f la funzione, definita per tutti gli x reali, da
\[ 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)^2 + (𝑥 − 2)^2 + (𝑥 − 3)^2 + (𝑥 − 4)^2 + (𝑥 − 5)^2 \],
determinare il minimo di f.

Soluzione
La funzione data nel testo è un polinomio di secondo grado per cui il suo grafico sarà rappresentato da una parabola.
La concavità di questa parabola è rivolta verso l’alto (direzione positiva delle ordinate) in quanto il coefficiente del termine di II grado è positivo e pari a 5. Sviluppando infatti tutti I quadrati del testo si ottiene la seguente espressione si ottiene \( 5 x^2 \).
Calcoliamo la sua derivate prima:
\[ 𝑓^{‘}(𝑥) = 2(𝑥 − 1) + 2(𝑥 − 2) +2 (𝑥 − 3) + 2(𝑥 − 4) + 2(𝑥 − 5)=10x-30 \].

Studiamone ora il segno: \( f^{‘}(x)\geq0 \), vuol dire pore: \( 10x-30 \geq0 \), che come soluzione ha \( x \geq3 \). La funzione è decrescente per \( x < 3 \) e crescente per \( x \geq3 \), come mostra la seguente figura:

Come si nota, si ha un minimo per x=3. La corrispondente ordinate si trova sostituendo alla x il valore 3 nell’espressione della f(x). Con questa sostituzione si trova: \( f(3= 10) \). Il vertice ha quindi coordinate: \( V(3,10) \).